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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳-函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有则称函数列在上一致收敛于，记作，设是定义在数集上的一个函数列，表达式称为定义在上的函数项级数,简记为或；称,为函数项级数的部分和函数列设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项定义1设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或
2、称在上一致收敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义定义2设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛同时由，故在上一致收敛于0定义3设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛例1试证在上一致收敛，但在内不一致收敛证明显然在内收敛于对任意的，欲使当和时，恒有成立,只要当时,恒有成立,只要当时,恒有成立,只要当时，恒有成立，只要取即可依定义，在上一致收敛
3、于存在，对任意自然数，都存在和，使成立，依定义，在内不一致收敛二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy一致收敛准则函数项级数在数集上一致敛的充要条件为：对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有或或特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于定理2函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是：定理3放大法是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.证明因,故对任给的,(与无关),使得当时,对一切,都有.由
4、定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于.注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,需要知道.定理4确界法函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是证明充分性设是函数项级数的部分和函数列,为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数.必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题定理5若在区间上收敛,则在上一致收敛的充要条件是,有.证明充分性假设在上不一致收敛,则,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾.必要性因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得.例2设，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于证明已
5、知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且0,时,有.将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当时,.从而时更有即,仅当.如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.如此:构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为,于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.定理6判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有则函数项级数在上一致收敛.证明由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛
6、.注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的.推论2设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数在区间一致收敛证明已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛.由广义调和级数,当时收敛,故当=时,有推论设有函数项级数,若存在极限且,则函数项级数在区间一致收敛.例4 证明函数项级数在是一致收敛的.证明对于,存在收敛的正项级数,且由的推论2与推论得,在一致收敛.定理7比较判别法两个函数项级数与,若,当有(其中为正常数),且函数项级数在区间绝对一致收敛,则
7、函数区间绝对一致收敛.证明已知在区间绝对一致收敛,即对(其中为正常数),及,有；又由条件知有；取当,有由收敛级数一致收敛Cauchy准则知，函数项级数在区间一致收敛，从而函数项级数在区间绝对一致收敛.定理8若有函数级数与,有(其中为正常数),且函数项级数在区间一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.证明已知,有(其中为正常数).又函数项级数在区间绝对一致收敛,即,有；取当有从而函数项级数在区间绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数与,且有且,若级数在区间绝对一致收敛,则函数在区间也绝对一致收敛.证明由且,即当有使且.即及有,又级数在区间绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数在区间绝对一致收敛
8、.推论4有函数列在区间上一致有界,且函数级数在区间绝对一致收敛,则函数级数在区间上也绝对一致收敛.证明由已知函数列在区间上一致有界,即有,使当有,又因函数级数在区间绝对一致收敛,由比较判法定理7知,函数级数在区间上绝对一致收敛.例5若函数级数在区间一致收敛,且,有,则函数项级数在区间上一致收敛.证明由条件函数在区间一致收敛,则级数在区间上一致收敛.又有,故且级数在区间绝对一致收敛,由定理8知,级数在区间上一致收敛.又已知在区间一直收敛,从而级数在区间上一致收敛.推论5设函数项级数定义在数集上，在上一致收敛且，若对一切，有，则函数项级数在上一致收敛.定理9逼近法若对任意的自然数和,都有成立,又和
9、都在数集上一致收敛于,则也在上一致收敛于.证明设，因为都有,所以有.又,在区间上一致收敛于,即,当时,对一切有及；所以,当时,对一切有.由函数项级数一致收敛定义知,在上也一致收敛于.定理10由有性质判别若和在点集上一致收敛，则在上也一致收敛证明由和均在点集上一致收敛知，对（自然数），使得当时，对自然数和有所以由函数项级数一致收敛的Cauchy收敛准则知，在上也一致收敛定理11Dini定理设在上连续，又在上收敛于连续函数，则函数项级数在一致收敛使用步骤：判定且连续；求和函数；判定求和函数在上连续Abel引理定理12Abel判别法证明推论6设函数项级数在上一致收敛，函数在上有界，则在上一致收敛.证
10、明因为在上有界,所以使,对成立.因在上一致收敛,使当,时有,对成立,此式表明.由Cauchy准则知在上一致收敛.定理13Dirichlet判别法设(i)的部分和函数列在上一直致有界;(ii)对每一个，单调;()在上,则级数和在上一致收敛.证明充分性由(i)正数,对一切,有,因此当为任何正整数时,对任何一个,再由(ii)及Abel引理,得到.再由()对当时,对一切,有；所以于是由一致收敛的Cauchy准则级数在上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知在上一致收敛,可推出(i)(ii)()成立,这里不再赘述.例6若数列单调且收敛于0,则级数在上一致收敛.证明由得在上有,所以级数的部分和函数列在上
11、一致有界,于是令,则由Dirichlet判别法可得级数在上一致收敛.定理14积分判别法设为区域上的非负函数,是定义在数集上的正项函数级,如果在上关于为单调减函数,若含参变量反常积分在数集上一致收敛,则在数集上一致收敛.证明由在数集上一致收敛,对,一个,当时,对一切自然数和一切,有.由,所以在数集上一致收敛.例7设,证明在区间连续.证明首先对任意取定一点,都存在,使得,我们只要证明在即可.令,由,并且无穷级数收敛,所以含参积分在上一致收敛.又因为即对任意固定,关于在区间上是单调递减的,由定理14知,函数级数在区间上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得,在区间连续,从而在区间也连续,所以在连续,
12、由在的任意性可知,在上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15函数列在上连续且单调,级数和级数收敛,则级数在上一致收敛.证明级数和收敛.则+收敛.由在上连续且单调,则+,由判别法知,级数在上一致收敛.定理16设函数,在上可微(其中为有限数),且满足如下条件:(i)函数项级数在上收敛;(ii)存在常数,使得对任意
13、的自然树,任意的实数,恒有,则函数项级数在上一致收敛.证明对,因为为有限数,所以存在自然数,使得,我们在闭区间上插入分点,于是,闭区间被分成个小区间,.从而有=.又因为函数项级在上是收敛的,故对任意,存在自然数,使得时,对任意,有.于是,对任意,在自然数,使得时,对任意,有因此,对,存在自然数,使得当时,任意,任意自然数,均有.即函数项级数在上一致收敛.定理17设为定义在数集上的函数项级数,为的收敛点,且每个在上一致可微,在上一致收敛,记.定理18设函数列在闭区间上连续可微,且存在一点,使得在点处收敛;在上一致收敛,则函数项级数在上一致收敛.证明已知在点处收敛,在上一致收敛.即对,使得时,对,
14、有成立.对,有.根据拉格朗日中值定理,有,(介于与之间)于是，即在上一致收敛.引理2若函数项级数在上收敛，则在一致收敛的必要条件是收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准则有，有.又,在(4)的两端取极限,令得,于是由Cauchy收敛准则知收敛.（若,则在一致收敛的必要条件是收敛.若在连续,则在一致收敛收敛.)定理19利用内闭一致收敛判别若函数项级数在内闭一致收敛,则在一致收敛,级数收敛.证明必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例8证明在内闭一致收敛,且在端点收敛,但在不一致收敛
15、.证明的部分和函数列在一致有界,而在一致收敛于0,于是由Dirichlet判别法知,在一致收敛,从而在内闭一致收敛.当或时,级数显然收敛.取,则但发散,故由定理19知,在不一致收敛.推论7若在内闭一致收敛,则在一致收敛的充要条件是,皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20设函数级数在收敛,且满足引理2中必要条件,则在一致收敛,皆收敛.证明必要性用反证法.假设,而发散.若或,则由定理20知不可;若,则存在的子列或或,于是由定理19知在或在不一致收敛,从而在不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设在不一致收敛,则由定理18的证明可得,且而发散,矛盾.推论8设在收敛,且满足引理的必要条件,则
16、在一致收敛或,皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12设使定义在数集上的正项函数项级数，在上有界，若时，一致收敛于，设，则当时，在上一致收敛证明由，时,一致收敛于，取，时，对一切，有，所以，取，有，取，当时，对一切,有，因此，所以，由时，收敛，由优级数判别法可知在上一致收敛推论13函数列定义于数集上，且在上有界，若对一切的，有，则函数项级数在上一致收敛证明不妨设对于,有，即，则，假设当，成立，则当，也成立，故由数学归纳法得，且在有界，即，对，有所以，又已知几何级数收敛，故级数收敛，由优级数判别法知在上一致收敛推论14函数列定义于数集上，且在上有界，若，有，则函数项级数在上一致收敛证明因为即,
17、对一切，有，即，由推论10得函数项级数在数集上一致收敛例11判断函数项级数在上一致收敛性证明因为，且，由推论13可知函数项级数在上一致收敛定理23（根式判别法）设为定义在数集上的函数项级数，记，若存在正整数，正数，使得对一切的，成立，则函数项级数在上一致收敛证明由定理条件对一切，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛推论15（根式判别法的极限形式）设为定义在数集上的函数列，若一致收敛于，且，即，对成立，则函数项级数在上一致收敛证明由一致收敛于，取，,当时，对一切有，所以，所以，又因为，由优级数判别法知在上一致收敛推论设为定义在数集上的正项函数项级数，记，若，则函数项级数
18、在上一致收敛证明由假设，则存在正整数,使得当时，有，则对任意的，有，而几何级数收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知在上一致收敛，即得证例12函数项级数在上一致收敛，（其中是实常数且），因为，设，由推论得函数项级数在上一致收敛推论16有函数项级数，若对，有，则函数项级数在上一致收敛证明因，则，有，即，从而依定理8得函数项级数在上一致收敛例13判别函数项级数在上的一致收敛性证明因，依推论15函数项级数在上一致收敛定理24（对数判别法）设为定义在上的正的函数列，若存在，那么若，对，则函数项级数一致收敛；若对，则函数项级数不一致收敛证明由定理条件知，对任意，使得对一切，有，即，则当对成立时，有，
19、而级数当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收；而当，对成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数不一致收敛定理25设函数项级数，都是定义在数集上的正项函数项级数，当，时，一致收敛于，设，；当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛当时，与在数集上同时一致收敛，或同时不一致收敛证明由当，时，一致收敛于，则任取，总，当时，对一切有，得到即当时，由上式的右半部分可知若在上一致收敛，则在上也一致收敛；当时，由上式左半部分可知若在一致收敛，则在上也一致收敛；当时，取易知与同时一致收敛或同时不一致收敛Lipschitz（莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别定义4设有
20、函数项级数，其中,是区间上的连续函数,且函数列在区间上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz型函数项级数定理26若，为L型函数项级数，则此级数在上一致收敛；证明因为是上的连续函数，函数列在区间上单调减少且收于连续函数所以在连续非负，而，由Dini定理知函数项级数在区间一致收敛于0，从而函数列在一致收敛于0又，所以,故一致有界，由Dirichlet判别法知交错函数项级数在区间上一致收敛由得一致收敛，设，于是例14试证在区间一致收敛证明是任意闭区间上的连续函数列且，由定理26知函数项级数在上一致收敛推论17设函数列在上收敛于，若可写成L型函数项级数的部分和，则函数列在上一致收敛于证明设
21、有L型函数项级数一致收敛于，而，则对，都有，即，故函数列在上一致收敛于例15证明在上一致收敛证明因为，由，有，由与无关且故，由Cauchy准则证毕定理27利用结论：设幂级数的收敛半径，则当(或)收敛时，在或一致收敛；在内一致收敛，当且仅当在上一致收敛注：1Cauchy准则与M判别法比较实用一般优先考虑；2Cauchy准则、M判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大三非一致收敛性的判别1利用非一致收敛的定义定义3，略例16讨论函数项级数在是否一致收敛解当时，有取使，无论多大只要，就有，故在上非一致收敛2利用确界原理的逆否命题定理28若函数项级数在数集上
22、非一致收敛的充要条件是证明它是确界原理的逆否命题，故成立例17函数项级数的部分和函数为，讨论在上是否一致收敛证明部分和函数，当时，又当时，故在内非一致收敛注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设，若存在使得，则在上不一致收敛证明略注：此定理比较实用4利用Cauchy准则逆否命题定理30函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件是存在，,，使得证明它是Cauchy准则的逆否命题，故成立例18讨论在上的一致收敛性解取，对,，及使故在上非一致收敛注：该类型关键是要找出与及之间的关系，从而凑出，该类型题也有一种简便方法，即取能适用于很多例题此方法比较实用，优先考虑推论18函数列在上非一致收
23、敛于0，则函数项级数在数集上非一致收敛证明它是推论1的逆否命题，故成立例19设，讨论函数项级数的一致收敛性解取，则，此极限不存在，所以在定义域内非一致收敛于0，则在内非一致收敛推论19若函数项级数在区间上逐点收敛，且在区间中存在一点列，使，则函数项级数在区间上非一致收敛例20讨论在上的一致收敛性解因为使，有，知在上非一致收敛5利用求极值的方法定理31，若，则在上不一致收敛例21证在上处处收敛，但不一致收敛证明因为，对，与都收敛，所以收敛，时收敛，故在上处处收敛；而,所以，又，故在非一致收敛注：极限函数知道时，可考虑用6利用一致收敛函数列的一个性质判别引理2若连续函数列在区间上一致收敛于，则，有
24、证明由在上一致收于，即有,，：，有，得根据连续函数列在区间上一致收敛于，则也必在上连续，从而定理32连续函数项级数在区间上逐点收于，且，有则函数项级数在区间上非一致收敛于例22讨论在上一致收敛性解显然在上逐点收，且每一项都在上连续，取，则再设，由定积分概念故知在上非一致收敛推论20设连续函数列在区间上逐点收敛，且在中存在数列和满足条件，；，而则在上不一致收敛例23讨论，在上的一致收敛性解这个连续函数列在上逐点收，先取，则有又取，则且由，极限不同，所以由推论20连续函数列在上不一致收敛7利用端点发散性判别定理33函数项级数定义在（或）上对函数都在点右连续，但级数发散，则函数项级数在（或）上非一致
25、收敛（注：在（或）内也有相应结论）证明反证法设在（）上一致收敛，即，或，有又因，在左端点（右）连续，令（或），对上式两端取极限得，知收敛，与已知矛盾，故在（或）上非一致收敛例24讨论函数项级数在上一致收敛性解显然函数项级数在逐点收敛，且每一项都在处连续，而在处发散，故函数项级数在上非一致收敛定理34如果在内，每一个在点左连续，但不存在，则在内不一致收敛（注：在内也有相应结论）8利用和函数的连续性来判别（若连续函数项级数在区间上一致收敛于和函数，则和函数在区间上必连续）定理35若连续函数项级数在区间上逐点收敛于和函数，且，在处不连续，则函数项级数在区间上非一致收敛于和函数例25讨论函数项级数在上
26、一致收敛性解这个函数项级数的部分和为，即得，知和函数在处不连续故知该函数项在上非一致收敛注：在和函数方便求解时，能简化证明过程9定理36设对任意自然数，函数在区间上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列，使得级数发散，则函数项级数在上非一致收敛证明反证法设在上一致收敛，由Cauchy准则，对，总，使对任意及，不等式，对一切成立，不妨设有在上单调增，又设，则有，所以有，所以收敛，与假设矛盾证毕例26证在内非一致收敛证明对，显然在区间内都是单调减小的，其次，取，级数发散，于是由本定理得证定理37设对任意，为单调数列，如果存在数列，使得不存在，或存在但不等0，则函数项级数在区间上非一致收敛证明用
27、反证法假设函数项级数在区间上一致收敛，则对，总，使对任意及，对一切成立令，则对及一切，有成立，其次由题设及归谬假设推出，对任意的，为同号数列及为单调减小数列，所以有成立，由，所以及，数列收敛于0，与题设矛盾证毕例27设，对，显然为单调数列，若取，则，由定理37函数项级数在上非一致收敛10利用结论设幂级数的收敛半径，若或发散，则在（或）上不一致收敛综上可知，判别函数项级数一致收敛与非一致收敛有多种方法，有的方法对某一类函数项级数能显示其优点，熟练掌握函数项级数一致收敛与非一致收敛判别方法，这对研究收敛函数项级数所确定的函数分析性质至关重要参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.北京:高
28、等教育出版社,2001:179190.2吕通庆.一致连续与一致收敛M.北京:人民教育出版社,1981:249274.3肖宏治.放大法在判别函数项级数函数列一致收敛时的应用J.安顺师范高等专科学校学报.2005.8（3）:8081.4金玮.函数项级数一致收敛的判别法J.甘肃联合大学学报(自然科学版).2009.9（5）:111114.5陈妙铃.函数项级数一致收敛判别法J.长春理工大学学报.2010.6（6）:2930.6陈玲.关于函数级数一致收敛的两个判别法J.绵阳师范高等专科学校学报.2002.4（2）:1920.7郭祖胜.函数项级数一致收敛的一个充要条件J.湖北三峡学院学报.1999.4（2）:1415.8毛一波.函数项级数一致收敛性的判别J.重庆文理学院学报(自然科学版).2006.10（4）:5556.9关东月.关于一致收敛性的几个问题J.内蒙古农业大学学报.2003.9（3）:8485.10赵香兰.几种判别函数项级数非一致收敛的方法J.大同职业技术学院数理系，2003.12（4）:6061.-