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1、第七节函数项级数的分歧收敛性散布图示引例(课本例1)分歧收敛的观点例2例3魏尔斯特拉斯判不法例4例5分歧收敛级数的根天性子定理2定理3定理4幂级数的分歧收敛性定理5定理6内容小结讲堂训练 习题127前往内容要点一、分歧收敛的观点：函数项级数在收敛域上收敛于跟，指的是它在上的每一点都收敛，即对恣意给定的及收敛域上的每一点，总响应地存在天然数，使妥事先，恒有.普通来说，这里的不只与有关，并且与也有关.假如对某个函数项级数能够寻到如此的一个只与有关而不依附于的天然数，那么事先，不等式对于区间上每一点都成破，这类函数项级数确实是所谓的分歧收敛的级数.界说1设函数项级数在区间上收敛于跟函数,假如对恣意给
2、定的，都存在着一个与有关的天然数N,使妥事先,对区间I上的所有x恒有，那么称该函数项级数在区间I上分歧收敛于跟，如今也称函数序列在区间I上分歧收敛于.二、定理1魏尔斯特拉斯判不法假如函数项级数在区间I上满意前提：12正项级数收敛.那么该函数项级数在区间I上分歧收敛.三、分歧收敛级数的根天性子定理2假如级数的各项在区间上都延续，且级数在区间上分歧收敛于那么在上也延续.定理3设在上延续，且级数在区间上分歧收敛于，那么存在，且级数在上能够逐项积分，即(7.2)此中且上式右真个级数在上也分歧收敛.定理4假如级数在区间上收敛于跟,它的各项都有延续导数，同时级数在上分歧收敛，那么级数在上也分歧收敛，且可逐
3、项求导，即有(7.3)四、幂级数的分歧收敛性定理5假如幂级数的收敛半径为那么此级数在内的任一闭区间上分歧收敛.定理6假如幂级数的收敛半径为那么其跟函数在内可导，且有逐项求导公式逐项求导后所失掉的幂级数与原级数有一样的收敛半径.例题选讲分歧收敛的观点例1E01调查函数项级数的跟函数的延续性.解因为该级数每一项都在是延续的，且其局部跟故该级数的跟函数易见，跟函数在处延续.注:本例阐明:即便函数项级数的每一项都在a,b上延续，同时级数在a,b上收敛，但其跟函数却不必定在a,b上延续；异样也可举例阐明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的跟也不必定即是它们的跟函数的导数及积分.那么在什么前提下，
4、咱们才干够从级数每一项的延续性得出它的跟函数的延续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之跟得出原级数的跟函数的导数及积分呢?要答复那个咨询题，就需求引入函数项级数的分歧收敛性观点.例2E02研讨级数在区间上的分歧收敛性.解事先，有因为假设要只需因而对任给的取事先，对于所有都有因而,级数在上分歧收敛.例3E03研讨级数在区间0,1上的分歧收敛性.解因为因而取不管多年夜,要紧取就有因而，级数在上收敛，但不分歧收敛.例4E04证实级数在上分歧收敛.证因为在内而正项级数收敛，故由魏尔斯特拉斯判不法知，题设级数在内分歧收敛.例5E05判不级数在上能否分歧收敛.解因为因而又级数收敛，故级数在上分歧收敛
5、.讲堂训练1.研讨级数在区间上的分歧收敛性.魏尔斯特拉斯Weierstrass,KarlWilhelm，18151897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地域的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名当局官员，受过初等教导，颇具才智，但对后代相称跋扈。魏尔斯特拉斯11岁时失恃，翌年其父再婚。他有一弟二妹；两位妹妹毕生未身未嫁，厥后不断在生涯上照顾毕生未娶的魏尔斯特拉斯。威廉要小孩长年夜落后入普鲁士初等文官阶级，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送往波恩年夜学攻读财政与治理，使其学到充沛的执法、经济跟治理常识，为谋得当局初级职位制
6、造前提。魏尔斯特拉斯不喜爱父亲所选专业，破志毕生研讨数学，并令人惊奇地保持成为法学博士候选人，因而在分开波恩年夜学时，他不获得学位。在父亲的一位冤家的倡议下，他被送到一所神学哲学院，而后参与中学老师资历国度测验，测验经事先在中学任教，此时期，他写了4篇直到他的选集刊印时才咨询世的论文，这些论文已表现了他树破函数论的根本思维跟构造。1853年夏他在父亲家中度假，研讨阿贝尔跟雅可比留下的困难，经心写作对于阿贝尔函数的论文。这确实是1854年宣布于克雷尔杂志上的“阿贝尔函数论。这篇出自一个名不见经传的中学老师的佳构，惹起数学界注目。1855年秋，魏尔期特拉斯被晋升为初级老师并享用一年研讨假期。185
7、6年6月14日，柏林皇家综合迷信校录用他为数学教学；在E.E.库默尔的推举下，柏林年夜学聘请他为副教学，他承受了聘书。11月19日，他中选为柏林迷信院院士。1864年景为柏林年夜学教学。在柏林年夜学就职后，魏尔斯特拉斯即动手零碎树破数学剖析根底，并进一步研讨椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些任务要紧是经过他在该校讲解的少量课程实现的。多少年后他就名出名遐迩，成为德国以致全欧洲著名度最高的数学教学。1873年他出任柏林年夜黉舍长，今后成为年夜忙人。除教学外，公事简直占去了他全体时间，使他疲惫不胜。缓和的任务妨碍了他的安康，但其智力未见消退。他的70年诞庆典范围颇年夜，遍及全欧各地的先生赶来向他致敬。10年后80年夜寿庆典愈加落重，在某种水平上他简直被看作德意志的平易近族好汉。1897年终，他染下盛行性伤风，后转为肺炎，终至不治，于2月19日忽然上逝，享年82岁。除柏林迷信院外，魏尔斯特拉斯依然格丁根皇家迷信学会会员1856、巴黎迷信院院士1868、英国皇家学会会员1881。魏尔斯特拉斯是数学剖析算术化的实现者、剖析函数论的奠定人，无可比拟的年夜学数学老师。