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1、精选优质文档-倾情为你奉上 2016年全国卷（理科）数学试卷 一、选择题（每小题5分）1. 设集合，则（ ） A. B. C. D.2. 设，其中，是实数，则（ ） A. B. C. D.3. 已知等差数列前9项的和为27，则（ ） A.100 B.99 C.98 D.974. 某公司的班车在7: 30，8 :00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A. B. C. D.5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.6. 如图，某几何体的三视图
2、是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ） A.17 B.18 C.20 D.287. 函数在2，2的图像大致为（ ）（A）（B）（C）（D）8. 若，则（ ） A. B. C. D.9. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出，的值满足（ ） A. B. C. D.10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，已知，则的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D.11.平面过正方体的顶点， ，则，所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D.12. 已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为
3、（ ） A. B. C. D.2、 填空题（每小题5分） 13. 设向量，且，则_ 14. 的展开式中，的系数是_（用数字填写答案） 15. 设等比数列满足，则的最大值为_ 16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时. 生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元，该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元3、 解答题17. （本小题满分12分）的内角，的对
4、边分别为，已知 （1）求 （2）若，的面积为，求的周长18. （本小题满分12分）如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，90°，且二面角与二面角都是60° （1）证明：平面平面 （2）求二面角的余弦值19. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代
5、替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1） 求的分布列（2） 若要求，确定的最小值（3） 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点（1） 证明：为定值，并写出点的轨迹方程（2） 设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围21. （本小题满分12分）已知函数有两个零点 （1）求的取值范围 （2）设，是的两个零点，证明：请考生在22、23、24题中
6、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是等腰三角形，120°，以为圆心，为半径作圆（1） 证明：直线与相切（2） 点，在上，且，四点共圆，证明：23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）. 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：（1） 说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2） 直线的极坐标方程为：，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1） 在答题卡第（24）题图中
7、画出的图像（2） 求不等式的解集 答案单选题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. A 12. B 填空题 13. 14. 15. 16. 简答题 17. 18. 19. 见解析20. 21. 22. 1923. 24. （）25.
8、0; 26. ；27. 见证明。28. 见解析29. 见解析30. 圆,31. 132. 33. 解析单选题 1. 试题分析：因为，所以，故选D。2. 因为所以故选B.3. 试题分析：由已知,所以故选C.4. 试题分析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机落在途中线段中，而当他的到达时间线段或时，才能办证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率，故选B.5. 试题分析：表示双曲线，则，由双曲线性质知
9、：，其中是半焦距焦距,解得，故选A.6. 试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A7. 试题分析：函数在上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数.故选D.8. 试题分析：用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误，故选C9. 试题分析：当时，不满足；，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选C.10. 试题解析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐
10、标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，,即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.11. 试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角，延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.12. 试题分析：因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，由此的最大值为9.故选B.填空题 13. 试题分析：由，得，所以，解得.14. 试题分析：的展开式通项为，令得，所以的系数是.15. 试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是
11、当或时，取得最大值.16. 试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.简答题 17. 试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由正弦定理得：，18. 试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由余弦定理得：周
12、长为19. 试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：由已知可得,所以平面又平面,故平面平面20. 试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过作,垂足为,由（I）知平面以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系由（I）知为二面角的平面角,故,则,可得,由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值
13、为21. 试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件为第一台机器3年内换掉个零件记事件为第二台机器3年内换掉个零件由题知，设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22所以的分布列为22. 试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决
14、本题，解析如下：由（）知,故的最小值为19.23. 试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.24. 试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：因为,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.25. 试题分析：本题属于圆锥曲线的
15、综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.则,.所以.来源:学科网ZXXK过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.26. 试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当
16、时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为27. 试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知得：，不难发现，故可整理得：设，则那么，当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，则，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，在上单调递增，因此：整理得：28. 试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：设是的中点,连结,因为,所以,在中,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与相切29.
17、试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以同理可证,所以30. 试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：（均为参数） 为以为圆心，为半径的圆方程为 即为的极坐标方程31. 试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：,两边同乘得,即 ：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直
18、线即为得：,即为,32. 试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：如图所示：33. 试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：当，解得或当，解得或或当，解得或或综上，或或，解集为专心-专注-专业