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1、高数函数的单调性与凹凸性本讲稿第一页，共十七页一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).证证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕本讲稿第二页，共十七页例例1.确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为本讲稿第三页，共十七页说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,本讲稿第四页，共十七页例例2.证明时,成立不等式证证:令从而因此且证证证明 本讲稿第五页，共十七页定义定义.设
2、函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图形是凹凹的;(2)若恒有则称图形是凸凸的.二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.拐点本讲稿第七页，共十七页定理定理2.(凹凸判定法)(1)在 I 内则 f(x)在 I 内图形是凹的;(2)在 I 内则 f(x)在 I 内图形是凸的.证证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I 上有二阶导数证毕本讲稿第八页，共十七页例例3.判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异
3、号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,本讲稿第九页，共十七页例例4.求曲线的拐点.解解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸本讲稿第十页，共十七页对应例例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸本讲稿第十一页，共十七页内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点本讲稿第十二页，共十七页思考与练习思考与练习上则或的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在本讲稿第十三页，共十七页 .2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及作业作业 P152 3(1),(7);5(2),(4);9(3),(6);10(3);13;14;*15 ;第五节 本讲稿第十四页，共十七页有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明：备用题备用题本讲稿第十五页，共十七页令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.=本讲稿第十六页，共十七页证明:当时,有证明证明:令,则是凸凸函数即2.(自证)第五节 本讲稿第十七页，共十七页