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1、高等代数中概念高等代数中概念本讲稿第一页，共二十一页 高等代数教学内容中高等代数教学内容中,有一些内容表面上是有一些内容表面上是孤立的孤立的,但实际上很多这样的内容都有其生动的背但实际上很多这样的内容都有其生动的背景与应用景与应用.这反映了数学个学科间的广泛联系这反映了数学个学科间的广泛联系.了解有关的联系了解有关的联系,提高我们的综合数学修养提高我们的综合数学修养,会使会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解我们得到对教学内容更精确与深入的理解,更好更好的掌握教学的掌握教学,得到更丰富的与学生交流的素材得到更丰富的与学生交流的素材.下面我们列举若干这类内容下面我们列举若干这类内容,以说明这方
2、面以说明这方面的问题的问题.本讲稿第二页，共二十一页 1.向量空间的概念向量空间的概念 我们常把向量空间的概念与中学里平面解析我们常把向量空间的概念与中学里平面解析几何的内容做类比几何的内容做类比.但有的学生也问但有的学生也问:为什么向量为什么向量空间的理论中不研究坐标平移空间的理论中不研究坐标平移.实际上向量空间实际上向量空间的概念是纯代数的的概念是纯代数的.回答上面的问题回答上面的问题,我们需要其我们需要其几何化的概念几何化的概念,这就是仿射空间的概念这就是仿射空间的概念.在微分流在微分流形、张量分析的教材中有相应的公理化的定义形、张量分析的教材中有相应的公理化的定义.本讲稿第三页，共二十
3、一页 D.1 设设V是是n维向量空间维向量空间,A是一个非空集是一个非空集,A中的元素称为点中的元素称为点,如果存在映射如果存在映射 ,使得使得A中任意一对有序点中任意一对有序点P,Q映为映为V中的一个向量中的一个向量 ,且满足且满足:(1)(2)存在唯一的一点存在唯一的一点 ,使得使得(3)恒成立恒成立本讲稿第四页，共二十一页 则称则称A是是n维仿射空间维仿射空间.V是其伴随的向量空是其伴随的向量空间间.在在A中任取一点中任取一点P,及及V中一个基底中一个基底 ,则则 为为A中一个标架中一个标架.利用利用n维仿射空间的理论与中学里平面解析几维仿射空间的理论与中学里平面解析几何内容相类比何内容
4、相类比,就可以很好的回答上面的问题了就可以很好的回答上面的问题了.本讲稿第五页，共二十一页 2.Vandermonde 行列式的应用行列式的应用 在一般教材中在一般教材中,Vandermonde 行列式常作为一行列式常作为一个行列式计算的实例而出现个行列式计算的实例而出现.实际上它本身有许多实际上它本身有许多重要的应用重要的应用.我们举一例我们举一例.把把Vandermonde 行列式应用于下面拓扑学定行列式应用于下面拓扑学定理的证明理的证明,可以得到非常简洁的陈述可以得到非常简洁的陈述.下述定理中下述定理中的的n维单纯复形维单纯复形K是指是指:次数不超过次数不超过n的一些不同的一些不同维数的
5、单形的集合维数的单形的集合,他们要规则放置他们要规则放置.本讲稿第六页，共二十一页 定理定理2 任意任意n维单纯复形维单纯复形K可以嵌入可以嵌入 中中.证明证明:因为因为K可以与一个抽象复形同胚可以与一个抽象复形同胚,我们考我们考虑虑K为抽象复形为抽象复形.设设K的全部顶点为的全部顶点为 ,选择选择 中中m+1个点个点,他们有性质他们有性质:其中有其中有2n+2个是独立的个是独立的.注注意意m可能比可能比n大很多大很多.这件事这样这件事这样办到办到:取取m个点个点 ,.利用利用Vandermonde 行列式可知行列式可知:本讲稿第七页，共二十一页 方程组方程组:只有只有0解解,所以上面所以上面
6、m+1个点中任意个点中任意2n+2个都是独立个都是独立的的.也称为这也称为这m+1个点处于一般位置个点处于一般位置.然后然后把这把这m+1个点与个点与K的的 m+1个顶点对应个顶点对应,再按再按K的的单形相对应的单形单形相对应的单形.这些单形是否构成一复形这些单形是否构成一复形,本讲稿第八页，共二十一页只需证明只需证明:任意两个单形的交如果不空任意两个单形的交如果不空,则其交则其交是他们的公共面是他们的公共面.由于复形由于复形K是是n维的维的,其单形的最大其单形的最大维数是维数是n,所以两个单形的顶点的总和不超所以两个单形的顶点的总和不超过过2n+2,从而在我们构造中是独立的从而在我们构造中是
7、独立的.他们张成他们张成中一个单形中一个单形,上面所述两单形是此单形的两个面上面所述两单形是此单形的两个面,这这两个面的交当然是这两个面的公共面两个面的交当然是这两个面的公共面,如同正如同正4面体的任意面体的任意2个个2维面的交若不空维面的交若不空,是是1维的公共棱维的公共棱,或或0维的公共顶点维的公共顶点,而不会是其它的任意的而不会是其它的任意的情形情形.证毕证毕.本讲稿第九页，共二十一页 这个结论是比较深刻的这个结论是比较深刻的.他体现在复形的他体现在复形的维数固定维数固定,他的顶点个数可以是任意大的有限数，他的顶点个数可以是任意大的有限数，所以其证明有一定难度所以其证明有一定难度.本讲稿
8、第十页，共二十一页 3.对称变换的一个背景对称变换的一个背景 在高等代数教材中在高等代数教材中,对称变换是欧氏空间中的一个对称变换是欧氏空间中的一个内容内容,在教材中他的出现是比较孤立的在教材中他的出现是比较孤立的.但是他实际是但是他实际是一些具体现象的抽象一些具体现象的抽象.在若干具体背景中微分几何中的在若干具体背景中微分几何中的背景是较生动的一个背景是较生动的一个.首先来看对称变换的定义首先来看对称变换的定义:D.欧氏空间中对任意欧氏空间中对任意 ,满足关系满足关系:的的 的线性变换的线性变换 ,称为对称变换称为对称变换.本讲稿第十一页，共二十一页微分几何中有一种重要的映射微分几何中有一种
9、重要的映射,称为称为Weingarten映射映射.为此首先明确为此首先明确Gauss映射映射.D.曲面每一点有一个单位法向量曲面每一点有一个单位法向量n(u,v),将其将其起点平移至原点起点平移至原点O，我们就得到，我们就得到Gauss映射映射g,它使它使g(r(u,v)=n(u,v)则则Weingarten映射为：映射为：W=-.易知易知W是对称变换是对称变换.本讲稿第十二页，共二十一页 对称变换具有下列性质对称变换具有下列性质:Th.n维欧氏空间的一个对称变换的属于不维欧氏空间的一个对称变换的属于不同本征值的本征向量彼此正交同本征值的本征向量彼此正交.这个性质对应着微分几何中在曲面上一点处
10、这个性质对应着微分几何中在曲面上一点处,有两个正交的共轭方向有两个正交的共轭方向.而共轭方向是描述一点的而共轭方向是描述一点的邻近处曲面的形状的重要概念邻近处曲面的形状的重要概念.了解了与对称变换了解了与对称变换相关的具体现象相关的具体现象,我们就有了更生动的理解我们就有了更生动的理解.本讲稿第十三页，共二十一页 4Jordan分解分解、标准型的应用标准型的应用 Jordan分解是关于线性变换的较深刻的结论分解是关于线性变换的较深刻的结论.他有他有很多重要应用很多重要应用.其中其中,有两方面的应用意义重大有两方面的应用意义重大.(1)在动力系统中的应用在动力系统中的应用 自治型微分方程自治型微
11、分方程 是最简单最重要的方程是最简单最重要的方程.当我们可以经坐标变换使方程变形当我们可以经坐标变换使方程变形,当当A经坐标变换化经坐标变换化为为Jordan标准型标准型,我们就可以定性的判断方程解的动我们就可以定性的判断方程解的动力形态力形态.本讲稿第十四页，共二十一页 (2)在在Lie代数中的应用代数中的应用 我们知道我们知道Lie代数中有一种重要运算代数中有一种重要运算,Poisson括号括号积积.由两个线性变换由两个线性变换A,B构成的线性变换构成的线性变换AB-BA即为一即为一括号积括号积.所以有限维空间上线性变换以此为积构成所以有限维空间上线性变换以此为积构成Lie代数代数,这是最
12、重要最基本的这是最重要最基本的Lie代数代数.对此对此Lie代数研代数研究其半单子代数与线性变换分解为半单的与幂零的线究其半单子代数与线性变换分解为半单的与幂零的线性变换密切相关性变换密切相关,且任意且任意Lie代数又都有伴随表示代数又都有伴随表示,即与即与一个线性变换构成的一个线性变换构成的Lie代数同态代数同态.所以所以,把一个线性变把一个线性变换分解为半单的与幂零的线性变换的和是非常重要换分解为半单的与幂零的线性变换的和是非常重要的的,从而从而Jordan分解及向量空间按一线性变换分解为根分解及向量空间按一线性变换分解为根子空间的直和是经常需要的子空间的直和是经常需要的.本讲稿第十五页，
13、共二十一页 5.多元多项式多元多项式 教材中对多元多项式的介绍一般不多教材中对多元多项式的介绍一般不多.但是多元但是多元多项式的理论对现代数学的发展至关重要多项式的理论对现代数学的发展至关重要.了解一了解一些相关的知识非常必要些相关的知识非常必要.(1)n元齐次多项式元齐次多项式 齐次多项式有一个简单的性质齐次多项式有一个简单的性质:若一个点若一个点p是是齐次多项式齐次多项式 的根的根,则则cp也是其根也是其根.即含有即含有p的的1维子空间上的每一点都是其根维子空间上的每一点都是其根.而而1维子空间维子空间为为n维射影空间的一点维射影空间的一点:故齐次多项式故齐次多项式 可表示可表示n维射影空
14、间的一曲线维射影空间的一曲线.本讲稿第十六页，共二十一页 (2)结式结式 结式可以表示两多项式的公共零点的情形结式可以表示两多项式的公共零点的情形.在代在代数几何种有广泛应用数几何种有广泛应用.我们引用一段简单证明说明我们引用一段简单证明说明他的应用他的应用.P.在在Rx,y中中(Y)是是V(Y)的最大定义理想的最大定义理想.因为若因为若(Y)非最大非最大,则有多项式则有多项式p在在V(Y)上取值上取值0,且且p不在不在(Y)中中,与与Y互素互素.那末那末,结式结式 .且且 只含有有限个点所以只含有有限个点所以p不能在不能在V(Y)上每都取上每都取0.从而说明从而说明V(Y)最大定义理想最大定
15、义理想.本讲稿第十七页，共二十一页 6正定正定、半正定二次型的应用半正定二次型的应用 正定二次型在优化理论中有重要应用正定二次型在优化理论中有重要应用.凸性凸性在优化理论中有重要作用在优化理论中有重要作用,而凸性与半正定性密切而凸性与半正定性密切相关相关.D.,f 称为称为S上的凸函数上的凸函数,如果对任意如果对任意 ,有有成立成立.本讲稿第十八页，共二十一页 Th.6 设设 是非空开凸集，是非空开凸集，f 是定义在是定义在S上的上的二次可微函数二次可微函数,则则f 是凸函数的充分必要条件是在是凸函数的充分必要条件是在S的每一点的每一点Hesse矩阵正半定矩阵正半定.如果每一点如果每一点Hes
16、se矩阵正定矩阵正定,则则f 是严格凸函数是严格凸函数.Hesse矩阵是由矩阵是由f 的的2阶偏导构成的矩阵阶偏导构成的矩阵.Hesse矩阵是对称的实矩阵。矩阵是对称的实矩阵。本讲稿第十九页，共二十一页 我们想表达的是教学与科研相辅相成我们想表达的是教学与科研相辅相成,教学与科研一样无止境教学与科研一样无止境.提高教学水平有很提高教学水平有很多方面的工作多方面的工作,其中数学修养的提高是改进其中数学修养的提高是改进教学水平的重要方面之一教学水平的重要方面之一.也说明即使我们也说明即使我们很熟悉的基础课教学很熟悉的基础课教学,也需要不断学习也需要不断学习,不断不断作小学生作小学生.本讲稿第二十页
17、，共二十一页 参考文献参考文献1 微分流形初步微分流形初步,陈维桓陈维桓,北京大学出版社北京大学出版社19982 张量分析及应用张量分析及应用,李开泰等李开泰等,科学出版社科学出版社 20043 Algebraic Topology,C.R.F.Maunder,Cambridge press 19804 微分几何初步微分几何初步,陈维桓陈维桓,北京大学出版社北京大学出版社19905 微分方程微分方程,动力系统和线性代数动力系统和线性代数,M.W.Hirsch,S.Smale 高教出版社高教出版社 19866 Elementary Algebraic Geometry,K.Kendig,Springer-Verleg,19777 最优化理论与方法最优化理论与方法,袁亚湘等袁亚湘等,科学出版社科学出版社 1997本讲稿第二十一页，共二十一页