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1、高数不定积分本讲稿第一页，共三十三页 本节要点本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念本节通过原函数引出了不定积分的概念,并得到不定并得到不定一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分二、不定积分的计算二、不定积分的计算积分的简单性质积分的简单性质.本讲稿第二页，共三十三页一、一、原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念 1.原函数原函数 在第二章中曾提出对已知在第二章中曾提出对已知 求求 的的求导问题求导问题,而现在的问题是而现在的问题是:的的 这类问题就是求原函数问题这类问题就是求原函数问题.若若已知已知,求满足求满足本讲稿第三页，共三十三页即对任一即对任一 都有都有定义定义3.1
2、如果在区间如果在区间 内的可导函数内的可导函数 的导函数为的导函数为或或则称函数则称函数 为为 在区间在区间 内的一个内的一个原函数原函数.例如例如 函数函数 的一个原函数为的一个原函数为又如又如,这是因为这是因为本讲稿第四页，共三十三页故故,的原函数为的原函数为 我们知道我们知道,对函数而言对函数而言,如果导函数存在的话如果导函数存在的话,导函导函数是唯一的数是唯一的,但某个函数的原函数是否唯一呢？为此但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,先引入先引入:本讲稿第五页，共三十三页间间 内存在可导函数内存在可导函数 使得对任一使得对任一 都有都有即即连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数.如
3、果如果 是是 的原函数的原函数,则则 的原函数的原函数.其中其中 为任意常数为任意常数;并且并且 的原函数的原函数一定可写成一定可写成 的形式的形式.原函数存在定理原函数存在定理如果函数如果函数 在区间内连续在区间内连续,则在区则在区也是也是 本讲稿第六页，共三十三页 2.不定积分不定积分 由上面的讨论由上面的讨论,可得到如下定义可得到如下定义:定义定义3.2 在区间在区间 内内,函数函数 的带有任意常数的原的带有任意常数的原函函数称为数称为 在区间在区间 内的内的不定积分不定积分,记作记作其中记号其中记号称为称为被积函数被积函数，称为称为积分号积分号，称为称为被积表达式被积表达式，称为称为积
4、分变量积分变量本讲稿第七页，共三十三页 由此定义知由此定义知,若若 是是 的一个原函数的一个原函数,则则的不定积分为的不定积分为 可见可见,要计算函数的不定积分要计算函数的不定积分,只需找出它的一个原函只需找出它的一个原函数即可数即可.本讲稿第八页，共三十三页例例3.1 容易得到下面的不定积分容易得到下面的不定积分:本讲稿第九页，共三十三页 注注1 在不定积分表达式中最后的常数在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉不能漏掉.注注2 如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算是互逆的因为，由定义可知是互逆的因为，由定义可知本讲稿第十页，共三十三页二、基本积分
5、公式二、基本积分公式 由原函数的定义由原函数的定义,以及求导公式以及求导公式,可以得到下面这些可以得到下面这些基本积分公式基本积分公式.本讲稿第十一页，共三十三页本讲稿第十二页，共三十三页本讲稿第十三页，共三十三页例例3.2 求求解解倒数关系倒数关系本讲稿第十四页，共三十三页例例3.3 求求解解本讲稿第十五页，共三十三页例例3.4 求求解解本讲稿第十六页，共三十三页三、不定积分的性质和应用举例三、不定积分的性质和应用举例 由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的性质性质:本讲稿第十七页，共三十三页 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 两个
6、函数和（差）的不定积分等于这两个函数两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数 的不定积分的和（差）的不定积分的和（差）,即即（3.1）本讲稿第十八页，共三十三页性质性质2 求不定积分时求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来以提到积分号外面来,即即（3.2）本讲稿第十九页，共三十三页例例3.5 求积分求积分解解 先将先将 展开展开,然后再利用积分公式及运算法然后再利用积分公式及运算法则则,得得本讲稿第二十页，共三十三页例例3.6 求积分求积分解解本讲稿第二十一页，共三十三页例例3.7 求积分求积分解解本讲稿第二十二页，共三十三页例例3.8 求积分
7、求积分解解 将被积函数拆成两项的和将被积函数拆成两项的和,可得可得本讲稿第二十三页，共三十三页例例3.9 求积分求积分解解 分子部分减分子部分减1 1加加1 1后后,得得 本讲稿第二十四页，共三十三页例例3.10 求积分求积分解解 利用三角公式利用三角公式得得本讲稿第二十五页，共三十三页例例3.11 求积分求积分解解 利用半角公式利用半角公式得得本讲稿第二十六页，共三十三页例例3.12 求积分求积分解解 由三角公式由三角公式得得本讲稿第二十七页，共三十三页例例3.13 求积分求积分解解 由倍角公式由倍角公式得得本讲稿第二十八页，共三十三页例例3.14 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上
8、任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜解解 设此曲线的方程为设此曲线的方程为 由题设得关系由题设得关系即即,是是 的一个原函数的一个原函数,因因 且曲且曲率等于这点横坐标的两倍率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.线过线过(1,2),代入曲线方程得代入曲线方程得 故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为本讲稿第二十九页，共三十三页 对本例说明对本例说明:函数函数 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 积分积分曲线曲线.当常数当常数 取不同值时取不同值时,曲线间是平行的曲线间是平行的.因而可因而可通过某条积分曲线的平移得到所求曲线通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.本讲稿第三十页，共
9、三十三页例例3.15 以初速以初速 将质点铅直上抛将质点铅直上抛,不计阻力不计阻力,求其运动求其运动规律规律.解解 所谓运动规律所谓运动规律,是指质点的位置关于时间是指质点的位置关于时间 的函数的函数关系关系,为此建立坐标系统如下为此建立坐标系统如下:把质点所在的铅直线取作把质点所在的铅直线取作 轴轴,方向向上方向向上,轴与地面的交点取作坐标原点轴与地面的交点取作坐标原点.开始时刻为开始时刻为 此时质点所在的位置的坐标此时质点所在的位置的坐标 为为 在时刻在时刻 时质点的坐标为时质点的坐标为所求函数为所求函数为 设运动设运动 本讲稿第三十一页，共三十三页 由导数的物理意义知道由导数的物理意义知道而在时刻而在时刻 时该质点的加速度为时该质点的加速度为因此因此 由此得由此得由初始条件由初始条件:本讲稿第三十二页，共三十三页再由再由得得 再由假设条件再由假设条件:所以运动规所以运动规 律为律为:本讲稿第三十三页，共三十三页