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1、高数之不定积分高数之不定积分1第1页，此课件共31页哦第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义函数的可积性函数的可积性定积分的意义定积分的意义定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质definite integral2第2页，此课件共31页哦1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积求由连续曲线求由连续曲线一、一、定积分问题举例定积分问题举例3第3页，此课件共31页哦用用矩形面积矩形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）思想思想以直代曲以直代曲定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似代替曲边梯形面积近似代替曲边梯形面积4
2、第4页，此课件共31页哦四个步骤来求面积四个步骤来求面积A.(1)分割分割(2)近似近似nixfAiiiL,2,1,)(=D D D Dx x5第5页，此课件共31页哦(3)求和求和矩形面积之和为曲边梯形面积矩形面积之和为曲边梯形面积A的近似值的近似值.(4)取极限取极限取极限取极限,无限细分无限细分,极限值就是曲边梯形的面积极限值就是曲边梯形的面积:6第6页，此课件共31页哦(1)分割分割(3)求和求和(4)取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似某时刻的速度某时刻的速度2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程已知速度已知速度求物体在这段时间内所经过的直线距离求物体在这段时间内
3、所经过的直线距离 s.7第7页，此课件共31页哦二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,定义定义 任取任取并作和并作和记记(1)任意任意(2)(3)(4)8第8页，此课件共31页哦被被积积函函数数被被积积表表达达式式积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样的取法怎样的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的总趋于确定的 极限极限I,称极限称极限I为函数为函数 f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分.积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b积分区间积分区间如果不论对如果不论对9第9页，此课件共31页哦(2)定
4、积分与变量记号无关性！定积分是一个数定积分是一个数,只依赖于被积函数和积分区间，只依赖于被积函数和积分区间，有关有关;注注无关无关.与积分变量的记号无关与积分变量的记号无关.10第10页，此课件共31页哦曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形面积的曲边梯形面积的负负值值1.几何意义几何意义三、定积分的意义三、定积分的意义各部分面积的各部分面积的代数和代数和!11第11页，此课件共31页哦例例2.物理意义物理意义从时刻从时刻 t=a 到时刻到时刻 t=b 所经过的路程所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体作直线运动的物体定积分定积分表示以变速表示以变速12第12页，此课件共31页哦定理定理或或
5、黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)四、四、关于函数的可积性关于函数的可积性且只有有限个间且只有有限个间断点断点,可积可积.当函数当函数的定积分存在时的定积分存在时,可积可积.黎曼可积黎曼可积,充充分分条条件件13第13页，此课件共31页哦解解例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线取取14第14页，此课件共31页哦对定积分的对定积分的补充规定补充规定说明说明五、定积分的性质五、定积分的性质假定定积分都存在假定定积分都存在,不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小15第15页，此课件共31页哦证证(可以推广到有限多
6、个函数和的情况可以推广到有限多个函数和的情况)性质性质1 116第16页，此课件共31页哦证证性质性质2 2线性性质线性性质.17第17页，此课件共31页哦 补充补充例例 (定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)性质性质3 3假设假设的相对位置如何的相对位置如何.不论不论18第18页，此课件共31页哦证证性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间则则19第19页，此课件共31页哦性质性质5-5-推论推论1 1证证如果在区间如果在区间则则于是于是性质性质5 5如果在区间如果在区间则则20第20页，此课件共31页哦解解令令于是于是比较积分值比较积分值和和的大小的大小.例例
7、21第21页，此课件共31页哦证证性质性质5-5-推论推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质5 5如果在区间如果在区间则则22第22页，此课件共31页哦证证(此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6分别是函数分别是函数最大值及最小值最大值及最小值.则则23第23页，此课件共31页哦解解估计积分估计积分例例24第24页，此课件共31页哦解解估计积分估计积分例例25第25页，此课件共31页哦证证闭区间上连续函数介值定理闭区间上连续函数介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）连续连续,至少存在一点至少存在一点 积分中值公式积分
8、中值公式26第26页，此课件共31页哦定理用途定理用途 注注性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值？平均值？如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值.27第27页，此课件共31页哦积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释曲边梯形的面积曲边梯形的面积=矩形的面积矩形的面积28第28页，此课件共31页哦例例证证由由积分中值定理：积分中值定理：(a为常数为常数)(nan-+29第29页，此课件共31页哦3.定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题典型问题(1)估计积分值估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.六、小结六、小结1.定积分的实质定积分的实质:特殊和式的极限特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、近似、近似、求和、求和、取极限取极限.思想思想方法方法30第30页，此课件共31页哦作业作业习题习题5-1(2345-1(234页页)4.(3)(4);7;10.(2)(4);13.(1)(3)(5)定积分的概念与性质定积分的概念与性质31第31页，此课件共31页哦