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1、近世代数子近世代数子环环的同的同态本讲稿第一页，共二十八页研究方法：研究方法：近世代数近世代数代数系统代数系统（带有运算的集合）（带有运算的集合）群群 环环域域 1、研究其子系统、商系统研究其子系统、商系统 （从内部入手）（从内部入手）（从外部入手）（从外部入手）2、研究其同态和同构研究其同态和同构子系统：子群、子环、子域子系统：子群、子环、子域商系统：商群、商环、商域商系统：商群、商环、商域3.5：子环、环的同态：子环、环的同态本讲稿第二页，共二十八页教学目的：教学目的：3.5：子环、环的同态：子环、环的同态（1）掌握子环（子除环，子整环，子域）掌握子环（子除环，子整环，子域）的定义及其等价
2、条件；的定义及其等价条件；（2）掌握环的同态及其若干性质；）掌握环的同态及其若干性质；（3）理解并能使用）理解并能使用“挖补定理挖补定理”;（4）掌握类比的数学思想）掌握类比的数学思想.本讲稿第三页，共二十八页一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）：一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）：下面我们下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群，算的加群，即设想加群是基础，而乘法是环的即设想加群是基础，而乘法是环的“灵魂灵魂”。甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯
3、 类比是通过两类不同对象类比是通过两类不同对象 A,B间的某些属性的相似，间的某些属性的相似，从而从而A具有某种其他属性便猜想具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。也有这种属性。本讲稿第四页，共二十八页在群论中在群论中在环论中在环论中定义定义1：设：设 ，称，称G为群，若为群，若G对其上的一种代数运算满足：对其上的一种代数运算满足：（I）闭合律；（）闭合律；（II）结合律；）结合律；（III）存在单位元；）存在单位元；（IV）G中任一元素存在逆元。中任一元素存在逆元。定义定义3：设：设 为群，称为群，称G的子集的子集H为为G的子群，若对于的子群，若对于G的乘法来的乘法来说说H也作成一个群。也作
4、成一个群。记作：记作：。定义定义2：设：设 ，且，且R带有加法和乘法带有加法和乘法两种运算，称两种运算，称R为环，若为环，若R满足满足(i)为加群；为加群；(ii)为半群；为半群；(iii)分配律成立。分配律成立。定义定义4：设：设 ，R为环为环（除环，除环，整环，域整环，域）,称称R的子集的子集S为的为的R子子环环（子除环，子整环，子域子除环，子整环，子域），若，若S对于对于R的代数运算来说也作成一个的代数运算来说也作成一个环环（除环，整环，域除环，整环，域）。记作：。记作：（S是是R的子环时）。的子环时）。本讲稿第五页，共二十八页例例1：一个：一个环环 R 至少包含两个子环至少包含两个子环
5、R和和 。例例2：设设R=Z,则则 是是R的子的子环环。二、子环的存在性及其例子：二、子环的存在性及其例子：（平凡子环）（平凡子环）例例3：设：设R=M n(F)(域域F上的全矩阵环）上的全矩阵环），则，则 是是R的子环。的子环。（因为因为 ，的元素可交换）的元素可交换）（子除环、子域）（子除环、子域）本讲稿第六页，共二十八页例例4：设：设 ，。可以验证，可以验证，例例5：设：设 。则容易验证：则容易验证：本讲稿第七页，共二十八页例例6：设：设 。现定义。现定义 的运算：的运算：（1）容易验证，）容易验证，关于所定义的运算关于所定义的运算 构成一个环。构成一个环。（2）容易验证）容易验证令令
6、。本讲稿第八页，共二十八页定义：设定义：设 和和 是两个环，则称是两个环，则称 和和 同态同态 （同构同构），若满足，若满足三、环的同态及其若干性质三、环的同态及其若干性质（2）保持运算（保持加法和乘法运算）保持运算（保持加法和乘法运算）此时记此时记 和和 的同态的同态（同构同构）为：为：。（1）存在满射存在满射（双射双射）；本讲稿第九页，共二十八页例例7：设：设 ，,作作 。容易验证容易验证 是同态。是同态。例例8：设设 ，。现定义。现定义 的运算：的运算：（1）可以验证，）可以验证，关于所定义的运算关于所定义的运算 构成一个环。构成一个环。（2）容易验证）容易验证 是同态。是同态。本讲稿第
7、十页，共二十八页 具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的持相应的结合律、交换律和分配律结合律、交换律和分配律。定理定理2（1.8,P22）：）：假定，假定，都是集合都是集合A的代的代数运算，数运算，都是集合都是集合 的代数运算，的代数运算，和和 同态，那同态，那么，么，（i）若）若 适合第一分配律，适合第一分配律，也适合第一分配律；也适合第一分配律；（ii）若）若 适合第二分配律，适合第二分配律，也适合第二分配律。也适合第二分配律。定理定理1（1.8,P22）：）：假定，对于代数运算假定，对于代数运算 和和 来说，来说，和和 同态，那么，同
8、态，那么，（i）若）若 适合结合律，适合结合律，也适合结合律；也适合结合律；（ii）若）若 适合交换律，适合交换律，也适合交换律。也适合交换律。本讲稿第十一页，共二十八页定理定理b(P43)：设：设 ，为两个为两个群，若群，若 ，则有：，则有：（1）的单位元的同态象是的单位元的同态象是 的单位元；的单位元；（2）的元的元 的逆元的同态的逆元的同态象是象是 的同态象的逆元。的同态象的逆元。定理定理a(P40)：设：设G，都带有一种代数运算，且都带有一种代数运算，且 ,若若G为群则为群则 也是也是一个群一个群.在群论中在群论中在环论中在环论中定理定理1：设：设 与与 都带有加都带有加法和乘法两种运
9、算法和乘法两种运算,且且 ，若若 是环，则是环，则 也是环。也是环。定理定理2：设：设 和和 是两个环，若是两个环，若 ，则，则 有：有：（1）；（2）；（3）可交换，则可交换，则 也可交换；也可交换；（4）有单位元有单位元1，则，则 也有也有单位元单位元 ，且，且 。本讲稿第十二页，共二十八页 由上面的讨论我们可以看出，经过了一个同由上面的讨论我们可以看出，经过了一个同态满射之后，态满射之后，环的单位元和交换律是可以保环的单位元和交换律是可以保持的。持的。我们知道，若干普通计算方法在一个一般的我们知道，若干普通计算方法在一个一般的环里不成立，它们要在有附加条件的环里才能成环里不成立，它们要在
10、有附加条件的环里才能成立。由立。由3.2知，环里的三种非常重要知，环里的三种非常重要附加条件附加条件是：是：交换律、单位元和零因子。交换律、单位元和零因子。那么现在的问题是：那么现在的问题是：一个环有没有零因子这一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持呢？呢？本讲稿第十三页，共二十八页例例7：设：设 ，,作作 。（1）容易验证）容易验证 是同态。是同态。（2）可以看出）可以看出 无零因子，而无零因子，而 却有零因子，因为却有零因子，因为 。注：此例表明：注：此例表明：，无零因子，但无零因子，但 却却有零因子。有零因子。反过来，结论又会
11、如何呢？反过来，结论又会如何呢？即若即若 ，无零因子，无零因子，是否有零因是否有零因子呢？子呢？本讲稿第十四页，共二十八页例例8：设设 ，。现定义。现定义 的运算：的运算：（1）容易验证，）容易验证，关于所定义的运算关于所定义的运算 构成一个环。构成一个环。作作 。（2）容易验证）容易验证 是同态。是同态。（3）可以看出）可以看出 无零因子，而无零因子，而 却有零因子，因为对于却有零因子，因为对于 ，我们有，我们有 。注：此例表明：注：此例表明：，有零因子，但有零因子，但 却没有零因子。却没有零因子。本讲稿第十五页，共二十八页 但若但若把同态换为同构把同态换为同构的话，则这个环的代数性质的话，
12、则这个环的代数性质当然没有什么区别了，所以有：当然没有什么区别了，所以有：上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经过了上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射后不一定能保持的。一个同态满射后不一定能保持的。（除环、域）（除环、域）（除环、域）（除环、域）定理定理3：设：设 和和 是两个环是两个环，并且，并且 ，那么若那么若 是整环是整环 ，则，则 也是整环也是整环 。本讲稿第十六页，共二十八页RRS RS图图1图图2本节最后，我们介绍在环论中常用到的一个定理：本节最后，我们介绍在环论中常用到的一个定理：挖补定理挖补定理。R本讲稿第十七页，共二十八页 定理定理4：(挖补定理）设挖
13、补定理）设 是环是环 的一个子的一个子环，且环，且 与环与环 同构，即同构，即 。又若。又若 ，即，即 同同 在在 里的余集里的余集 无公共元素，则存在环无公共元素，则存在环 ，使得，使得 ，。RRS本讲稿第十八页，共二十八页思路分析：思路分析：(1)构造构造 ；(2)作作 到到 的对应关系的对应关系 并证明并证明 是双射；是双射；(4)证明证明 。（只需证明（只需证明 原有的运算和原有的运算和 新定义的运算是一致的）新定义的运算是一致的）(3)在在 中定义两个代数运算，并证明中定义两个代数运算，并证明 ;（P99P99的引理的引理的引理的引理）本讲稿第十九页，共二十八页证明：证明：令令 ，。
14、且在该同构之下，。且在该同构之下，。的元素我们用的元素我们用 来表示。这样，来表示。这样，（1）现在我们作一个现在我们作一个新的集合：新的集合：并规定一个法则：并规定一个法则：。本讲稿第二十页，共二十八页（2）容易验证容易验证 是个双射。是个双射。（3）利用这个双射在利用这个双射在 中定义运算：中定义运算：容易证明，这些运算是容易证明，这些运算是 的两个代数运算的两个代数运算。事实上，给定了事实上，给定了 ，因而可在因而可在 中找到唯一的中找到唯一的 ，从而也可以找到唯一，从而也可以找到唯一的的 。综上，我们可以得到综上，我们可以得到 。本讲稿第二十一页，共二十八页(4).(我们只须证明我们只
15、须证明 原有的运算和原有的运算和新定义的运算是一致的即可）新定义的运算是一致的即可）假设上假设上 原有的运算为原有的运算为 和和 ，下证：下证：事实上，事实上，（上所定义的加法运算）上所定义的加法运算）（因为（因为 为同构，从而为同构，从而保持加法运算）保持加法运算）（因为（因为 为同构为同构）（由（由 的定的定义义）本讲稿第二十二页，共二十八页（因为（因为 为同构，从而保持乘法运算）为同构，从而保持乘法运算）（由（由 的定的定义义）（上所定义的乘法运算）上所定义的乘法运算）（因为（因为 为同构为同构）综上，综上，。证毕证毕RRS本讲稿第二十三页，共二十八页例例9：设：设 ，。现定义。现定义
16、的运算：的运算：（1）容易验证，）容易验证，关于所定义的运算关于所定义的运算 构成一个环。构成一个环。（2）容易验证）容易验证 是同态。是同态。令令 。作。作 。又又 ，因此由因此由挖补定理挖补定理知，知，且且 。注：在上例中，注：在上例中，实际实际上就是把元素上就是把元素 与整数与整数 完全等完全等同起来，从而我同起来，从而我们们有有 本讲稿第二十四页，共二十八页 定理定理4：(挖补定理挖补定理）设）设 是环是环 的一个子的一个子环，且环，且 与环与环 同构，即同构，即 。又。又若若 ，即，即 同同 在在 里的余集里的余集 无公共元素，则存在环无公共元素，则存在环 ，使得，使得 ，。最后我们
17、再次回顾下最后我们再次回顾下“挖补定理挖补定理”。RRS本讲稿第二十五页，共二十八页回顾总结回顾总结（1）与群相类比，介绍了子环（与群相类比，介绍了子环（子除子除环，子整环，子域）的定义及其等价条环，子整环，子域）的定义及其等价条件，并给出了若干例子；件，并给出了若干例子；（2）介绍了环的同态及其若干性质；）介绍了环的同态及其若干性质；（3）介绍了）介绍了“挖补定理挖补定理”并举例说明了并举例说明了它的应用它的应用。本讲稿第二十六页，共二十八页 作业布置：作业布置：P101 EX 3 ,EX 4本讲稿第二十七页，共二十八页 本节课到此结束，谢谢大家！本节课到此结束，谢谢大家！本讲稿第二十八页，共二十八页