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1、近世代数课件同态与不变子群本讲稿第一页，共十四页11.1 自然同态自然同态定理定理一个群 同它的每一个商 群同态证明证明我们规定 到 的一个法则 :这显然是 到 的一个满射并且,对于 的任意两个元 和 来说，所以它是一个同态满射证完 上述 称为自然同态.本讲稿第二页，共十四页 由群 的一个子群可以推测整个群 的性质假如我们有一个不变子群 ，就同时有两个群可以供我们利用，一个是 本身，另一个是商群 现在定理又告诉我们，与 同态，这样帮助推测 的性质 在一定意义之下，定理的逆定理也是对的本讲稿第三页，共十四页11.2 同态映射的核同态映射的核定义定义假定 是一个群 到另一个群 的一个同态满射 的单
2、位元 在 之下的所有逆象所作成的的子集叫做同态满射的核核,记为记为 ,即:记 ,它有以下性质:(1)是不变子群(2)(3)(4)本讲稿第四页，共十四页证明:1.分两步1)是子群2),对于任意2.3.同学自行给出.4.同学自行给出.本讲稿第五页，共十四页11.3 同态基本定理同态基本定理 定理定理 假定 和 是两个群，并且 同态，那么 这里 是同态满射的核.证明证明:证明的关键点是构造一个同构映射 (启发:1.必然联想到 2.离同构有多远?3.写出 )可以证明 是一个 与 间的同构映射因为：本讲稿第六页，共十四页 1)无歧义 ，这就是说，在 之下 的一个元素只有一个唯一的象；2)是单映射.上面的
3、过程可逆.3)是满射.给了 的一个任意元 ，在 里至少有一个元 满足条件 ，由定义，这就是说，是 到 的满射；本讲稿第七页，共十四页 4)保持运算 综上所述,证完 定理告诉我们，一个群 和它的一个商群同态，定理告诉我么，抽象地来看，只能和它的商群同态，所以我们可以说，定理正是定理的反面我们知道，当群 与群 同态的时候，的性质并不同 的完全一样但定理告诉我们，这时我们一定找得到 的一个不变子群 ，使得 的性质和商群 的完全一样从这里我们可以看出，不变子群和商群的重要意义本讲稿第八页，共十四页11.4 子群的同态像和逆子群的同态像和逆(原原)像像回忆一个子集关于映射的像与逆像 定义定义假定 是集合
4、 到集合 的一个映射 1.是 的一个子集,称为 在 之下的象，它刚好包含所有 的元在 之下的象 2.是 的一个子集,在 之下的逆象刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.本讲稿第九页，共十四页 定理定理假定 和 是两个群，并且 与 同态那么在这个同态满射之下的（）的一个子群 的象 是 的一个子群；（）的一个不变子群 的象 是 的一个不变子群 证明证明我们用 来表示给定的同态满射（）假定 ，是 的两个任意元，那么有 使得 ，那么在 之下，(?)本讲稿第十页，共十四页(由于 是子群，因此由于 是 的在 之下的象，)这样，是 的一个子群（）是 的一个不变子群，由（），我们知道 是 的一个子群假定 是
5、 的任意元，是 的任意元，而且在 之下，(?)是 的一个不变子群证完本讲稿第十一页，共十四页 定理定理假定 和 是两个群，并且 与 同态那么在这个同态满射之下的（）的一个子群 的逆象 是 的一个子群；（）的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群 证明证明我们用 来表示给定的同态满射（）假定 ，是 的两个任意元，并且在 之下，我们需要证明 .注意本讲稿第十二页，共十四页 由于 是 的逆象，因而 ，,进一步 (?),即:所以 这样，是 的一个子群（）既是 的一个不变子群，由（），我们知道 是 的一个子群假定 是 的任意元，是的任意元，并且在 之下，本讲稿第十三页，共十四页 我们需要证明 ,注意所以 这样，是 的一个不变子群证完 注:同态满射的核是不变子群，这一件事实显然是定理（）的一个特例作业作业:P79:2,3,4本讲稿第十四页，共十四页