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1、非线性系统的建模与仿真本讲稿第一页，共十八页4.1 非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型 分类及表征分类及表征：按时间变量的不同，系统可以按时间变量的不同，系统可以分为连续系统与离散系统。对于连续系统，数学模分为连续系统与离散系统。对于连续系统，数学模型主要是基于微分方程或微分方程组来表征的；而型主要是基于微分方程或微分方程组来表征的；而离散系统的数学模型主要是基于差分方程或差分方离散系统的数学模型主要是基于差分方程或差分方程组来表征的。程组来表征的。本讲稿第二页，共十八页4.1.1 非线性连续系统的数学模型非线性连续系统的数学模型 一个阶单变量系统一般可描述为一个阶单变量系统一般可描述为
2、(4.1)(4.1)系统的初值为系统的初值为本讲稿第三页，共十八页4.1.1 非线性连续系统的数学模型（续）非线性连续系统的数学模型（续）其中其中 为系统的输出，为系统的输出，为系统的输入。式为系统的输入。式(4.1)(4.1)可等价地写为可等价地写为（4.24.2）本讲稿第四页，共十八页4.1.2 非线性离散系统的数学模型非线性离散系统的数学模型 一个单变量非线性离散系统可描述为一个单变量非线性离散系统可描述为 (4.13)(4.13)差分方程的初值为差分方程的初值为 本讲稿第五页，共十八页4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）非线性离散系统的数学模型（续）其中其中F表示非线性关系。与连
3、续非线性系统表示非线性关系。与连续非线性系统不同的是，非线性差分方程的解一般是存在的。不同的是，非线性差分方程的解一般是存在的。多变量非线性离散系统可由多变量非线性离散系统可由P P个个(P(P为系统输出的为系统输出的个数个数)非线性差分方程描述。非线性差分方程描述。本讲稿第六页，共十八页4.2 非线性系统的数字仿真非线性系统的数字仿真饱和非线性饱和非线性失灵区非线性失灵区非线性齿轮间隙齿轮间隙(磁滞回环磁滞回环)非线性特性非线性特性典型非线性环节典型非线性环节仿真子程序仿真子程序4.2.1 典型非线性环节仿真子程序典型非线性环节仿真子程序本讲稿第七页，共十八页4.2 非线性系统的数字仿真（续
4、）非线性系统的数字仿真（续）1.饱和非线性饱和非线性图图4-14-1饱和非线性特性图饱和非线性特性图4-2饱和非线性仿真程序饱和非线性仿真程序本讲稿第八页，共十八页4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）非线性离散系统的数学模型（续）2.失灵区非线性失灵区非线性图图4-3 失灵区非线性特性失灵区非线性特性图图4-4 失灵区非线性仿真子程序失灵区非线性仿真子程序本讲稿第九页，共十八页4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）非线性离散系统的数学模型（续）3.3.齿轮间隙齿轮间隙(磁滞回环磁滞回环)非线性特性非线性特性 图图4-5 4-5 齿轮间隙非线性特性齿轮间隙非线性特性 图图4-6 4-6
5、 齿轮间隙非线性子程序齿轮间隙非线性子程序本讲稿第十页，共十八页4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）非线性离散系统的数学模型（续）4.2.2 含有非线性环节的离散相似法仿真程序的设计方法含有非线性环节的离散相似法仿真程序的设计方法当系统中有上述典型非线性环节当系统中有上述典型非线性环节时，使用离散相似法仿真需要注时，使用离散相似法仿真需要注意以下几点：意以下几点：(1)(1)对每个环节要增设一个参数对每个环节要增设一个参数 Z(I),Z(I),它表示第它表示第 I I个环节的入口或出口有个环节的入口或出口有哪种类型的非线性环节哪种类型的非线性环节 。(2)(2)对每个环节要增设一个参数对
6、每个环节要增设一个参数C(I)C(I)，它表示第，它表示第 I I个环节入口的那个环节入口的那个非线性环节的参数个非线性环节的参数 ，当，当I I第个第个环节没有非线性环节时，环节没有非线性环节时，C(I)=0C(I)=0。(3)(3)一个完整的面向结构图的离散相似一个完整的面向结构图的离散相似法仿真程序框图如图法仿真程序框图如图4-74-7所示所示：图图4-7 4-7 离散相似法仿真程序图离散相似法仿真程序图本讲稿第十一页，共十八页4.3 4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真非线性系统自由振动的建模与仿真线性振动理论适用于线性线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性系统，即质量不变、弹
7、性力和阻尼力与运动参数成力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分描述为线性常系数常微分方程。线性振动理论是对方程。线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足下，线性振动理论可以足够准确地反够准确地反 映振动的客观映振动的客观规律。规律。根据描述振动根据描述振动的数学模型的不同，的数学模型的不同，振动理论分为振动理论分为线性振动理论线性振动理论和非线性振动理论和非线性振动理论不同于线性系统的系统不同于线性系统的系统为非线性系统，研究非为非线性系统，研究非线性系统的振
8、动理论就线性系统的振动理论就是非线性振动理论。是非线性振动理论。本讲稿第十二页，共十八页4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续）非线性系统自由振动的建模与仿真（续）已知单自由度系统自由振动的方程为已知单自由度系统自由振动的方程为(4.20)(4.20)式中式中 正的小参数正的小参数 振动位移振动位移 和和 的非线性函数，即非线性力。的非线性函数，即非线性力。本讲稿第十三页，共十八页4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续）非线性系统自由振动的建模与仿真（续）在方程中，当无非线性干扰时在方程中，当无非线性干扰时 即即 ，其解可表示其解可表示 式中式中 ，和和 是决定是决定于初始条件的常数。
9、于初始条件的常数。(4.21)(4.21)本讲稿第十四页，共十八页4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续）非线性系统自由振动的建模与仿真（续）如有非线性干扰，即如有非线性干扰，即 ，根据大量的，根据大量的试验和观察，方程的解中将出现高次谐波，瞬时试验和观察，方程的解中将出现高次谐波，瞬时频率频率 与振幅的大小有关，以及振幅增长或减与振幅的大小有关，以及振幅增长或减小的现象。小的现象。本讲稿第十五页，共十八页4.4 非线性系统强迫振动的建模与仿真非线性系统强迫振动的建模与仿真 如果在振动系统中作用有外干扰力如果在振动系统中作用有外干扰力 ，则此时振动方程为则此时振动方程为 (4.37)(4.37)这是单自由度非线性系统强迫振动的方程式。当这是单自由度非线性系统强迫振动的方程式。当 时，其解为时，其解为 (4.38)(4.38)本讲稿第十六页，共十八页4.4 非线性系统强迫振动的建模与仿真非线性系统强迫振动的建模与仿真 其中，其中，a a和和 为由初始条件确定的常数。为由初始条件确定的常数。如果如果 ，强迫振动的解仍取式，强迫振动的解仍取式（4.384.38）的形式，但其中）的形式，但其中a a和和 将取时将取时 间间t t的函数。的函数。本讲稿第十七页，共十八页本讲稿第十八页，共十八页