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1、量子力学课件本讲稿第一页，共二十四页6 6 波函数波函数 薛定谔薛定谔(Schrodinger)Schrodinger)方程方程 6.1 6.1 波函数波函数 6.2 6.2 薛定谔波方程薛定谔波方程 6.3 6.3 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 定态波函数定态波函数6.4 6.4 概率流密度概率流密度本讲稿第二页，共二十四页 3 3个问题？个问题？(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？6.1 6.1 波函数波函数本讲稿第三页，共二十四页描写自由粒子的描写自由粒
2、子的平平 面面 波波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：而必须用较复杂的波描写，一般记为：称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由波。此式称为自由粒子的波函数。粒子的波函数。6.1 6.1 波函数波函数描写粒子状态的波描写粒子状态的波函数，它通常是一函数，它通常是一个个复函数复函数。本讲稿第四页，共二十四页据此，描写粒子的波可以认为是概率波，反据
3、此，描写粒子的波可以认为是概率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，映微观客体运动的一种统计规律性，波函数波函数(x(x，t)t)有时也称为概率幅。有时也称为概率幅。这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的概率解释波函数的概率解释，它是，它是量子力量子力学的基本原理学的基本原理。波函数波函数(x(x，t)t)也称作概率幅也称作概率幅本讲稿第五页，共二十四页 波函数应当是平方可积的函数波函数应当是平方可积的函数 波函数是单值、有限、连续的函数波函数是单值、有限、连续的函数6.2 6.2 薛定谔波方程薛定谔波方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波微观粒子量子状态用波函数
4、完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的概率分布也都被值及其测量的可能值和相应的概率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：个问题：本讲稿第六页，共二十四页 这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了提出了波动方程之后得到了圆满解决。波动方程之后得到了圆满解决。(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的在各种情况下，找出描
5、述系统的各种可能的波函数；波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。本讲稿第七页，共二十四页在44中,借助自由粒子的能量的经典表示:引入算符，建立了自由粒子波方程本讲稿第八页，共二十四页拉普拉斯算符拉普拉斯算符而对一般的（非自由）粒子，它的能量表示为而对一般的（非自由）粒子，它的能量表示为仿照算符的对应规则仿照算符的对应规则本讲稿第九页，共二十四页动能、势能表示为动能、势能表示为本讲稿第十页，共二十四页引入体系的哈密顿算符引入体系的哈密顿算符本讲稿第十一页，共二十四页6.3 6.3 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 定态波函数定态波函数 现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情
6、况下的定态有外场情况下的定态Schrodinger Schrodinger 方程：方程：V(r)V(r)与与t t无关时，可以分无关时，可以分离变量离变量令：令：代代入入本讲稿第十二页，共二十四页于是：于是：等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故关的物理量，故应应等于与等于与 t,r 无关的常无关的常数数本讲稿第十三页，共二十四页 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角的关系是正弦型的，其角频率频率=2E/h=2E/h。由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知：E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态所描写的状
7、态时的能量。也就是说，此时时的能量。也就是说，此时体系能量有确定体系能量有确定的值的值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。本讲稿第十四页，共二十四页 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称为定态波函数，或可看作是也可称为定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函数。的定态波函数。空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。本讲稿第十五页，共二十四
8、页能量本征值方程能量本征值方程 （1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数，这与数学物理方法中的本征值方程相似。函数，这与数学物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 +边界条件构成本征边界条件构成本征值问题值问题；将将改写成改写成本讲稿第十六页，共二十四页（2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然波函数的自然边界条件边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为。因此在量子力学
9、中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量束缚的本征值方程。常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。（3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称函数所描写的状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。应的能量算符的本征值。本讲稿第十七页，共二十四页6.4 6.4 概率流密度概率流密度 在讨论了状态或波函数随时间变化在讨论了状态或波函数随时间变化的
10、规律后，我们进一步讨论粒子在一定的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概率将怎样随时间变空间区域内出现的概率将怎样随时间变化。粒子在化。粒子在 t t 时刻时刻 x x 点周围单位体积点周围单位体积内粒子出现的概率即概率密度是：内粒子出现的概率即概率密度是：本讲稿第十八页，共二十四页 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的概率对一个粒子而言，在全空间找到它的概率总和应不随时间改变，即总和应不随时间改变，即本讲稿第十九页，共二十四页证明：考虑考
11、虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：取共轭取共轭本讲稿第二十页，共二十四页在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同使用使用 Gauss 定理定理S 本讲稿第二十一页，共二十四页闭区域闭区域上找到上找到粒子的总概率在粒子的总概率在单位时间内的增单位时间内的增量量J是概率流密度，是一矢量。是概率流密度，是一矢量。所以上式是概率（粒子数）守恒的积所以上式是概率（粒子数）守恒的积分表示式。分表示式。令令 方程方程趋于趋于 ，即让积，即让积分对全空间
12、进行，考虑到任分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，为零，则式右面积分趋于零，于是于是 变为：变为：单位时间内通过单位时间内通过的封闭的封闭表面表面 S 流入（面积分前流入（面积分前面的负号）面的负号）内的概率内的概率本讲稿第二十二页，共二十四页讨论：表明，波函数归一化不随时表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。既未产生也未消灭。（1 1）这里的概率守恒具有定域性质，当空间某处概率）这里的概率守恒具有定域性质，当空间某处概率减少了，必然另外一些地方概率增加，使总概率不变，减少了，必然另外一些地方概率增加，使总概率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2）以以m m乘乘连续性方程连续性方程等号两边，等号两边，得到：得到：量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量本讲稿第二十三页，共二十四页同理可得量子力学的电同理可得量子力学的电荷守恒定律：荷守恒定律：表明电荷总量不表明电荷总量不随时间改变随时间改变电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量本讲稿第二十四页，共二十四页