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1、量子物理基础本讲稿第一页，共五十六页十九世纪末期，物理学的经典理论已经基本完善了。十九世纪末期，物理学的经典理论已经基本完善了。开耳文也说：开耳文也说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只需要做一些零星的修补工作就行了只需要做一些零星的修补工作就行了”。麦克斯韦：麦克斯韦：“在几年中，所有重要的物理常数将被近似估在几年中，所有重要的物理常数将被近似估算出来，算出来，给科学界人士留下来的只是提高这些常数的观察给科学界人士留下来的只是提高这些常数的观察值的精度值的精度”。开耳文接着又指出：开耳文接着又指出：“但是在物理晴朗天空的远处，还有两朵小但是在
2、物理晴朗天空的远处，还有两朵小小令人不安的乌云小令人不安的乌云”。事实上还有第三朵小小的乌云：放射性现象的发现。事实上还有第三朵小小的乌云：放射性现象的发现。所有这些实验结果都是经典物理学无法解释的。所有这些实验结果都是经典物理学无法解释的。在二十世纪初期，建立起了近代物理的两大支柱：在二十世纪初期，建立起了近代物理的两大支柱：相对论和量子论。相对论和量子论。本讲稿第二页，共五十六页13.1 经典物理的困难经典物理的困难 经典物理给我们提供了两个运动特征不相容的两类物理经典物理给我们提供了两个运动特征不相容的两类物理体系：实物粒子和相互作用场（波）。体系：实物粒子和相互作用场（波）。实物粒子的
3、运动特征：实物粒子的运动特征：定域定域。相互作用场（波）相互作用场（波）的运动特征：的运动特征：非定域非定域。经典物理在解析微观领域时将遇到问题：经典物理在解析微观领域时将遇到问题：黑体辐射：黑体辐射：经典物理关于热辐射的能量连续变化的概念经典物理关于热辐射的能量连续变化的概念不能解释黑体辐射的能谱；不能解释黑体辐射的能谱；光电效应：光电效应：光的波动说不能解释类似光电效应这类光与物质光的波动说不能解释类似光电效应这类光与物质相互作用的问题；相互作用的问题；原子结构和光谱：原子结构和光谱：经典物理学不能给出原子的稳定结构，也经典物理学不能给出原子的稳定结构，也不能说明原子光谱的规律。不能说明原
4、子光谱的规律。本讲稿第三页，共五十六页13.1.1 黑体辐射黑体辐射1.热辐射现象热辐射现象 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。有关。物体在任何温度下都会辐射能量。物体在任何温度下都会辐射能量。注意：注意：物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体既会辐射能量，也会吸收能量。辐射和吸收的能量恰相等时称为辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡热平衡。此时温度恒。此时温度恒定不变。定不变。这种由于物体中的分子、原子的热运动而发射电磁波的这种由于物
5、体中的分子、原子的热运动而发射电磁波的现象称为现象称为热辐射热辐射。本讲稿第四页，共五十六页2.几个物理量：几个物理量：单色辐出度单色辐出度e ：从物体表面单位面积上发射出的，波长介于从物体表面单位面积上发射出的，波长介于 +d 之间的辐射功率之间的辐射功率dE 与与d 的比值。的比值。意义：意义：在一定温度在一定温度T下，单位时间内从物体表面单位面积上下，单位时间内从物体表面单位面积上波长在波长在附近单位波长间隔内辐射出的能量。附近单位波长间隔内辐射出的能量。e 是温度是温度T和波长和波长 的函数，常写成的函数，常写成e(,T)。辐出度辐出度E(T)：物体表面单位面积发射的包含各种波长在内的
6、物体表面单位面积发射的包含各种波长在内的辐射总功率。辐射总功率。本讲稿第五页，共五十六页辐辐出度出度E(T)仅是温度的函数。仅是温度的函数。意义：意义：在温度在温度T 时单位时间、单位面积整个波长范围内辐射出时单位时间、单位面积整个波长范围内辐射出的的能量。能量。单色吸收率单色吸收率(,T)：波长在波长在 d 范围内的吸收率称为范围内的吸收率称为单色吸收率。单色吸收率。吸收率：吸收率：当辐射从外界入射到物体表面时，被物体吸收的能当辐射从外界入射到物体表面时，被物体吸收的能量与入射能量的比值。量与入射能量的比值。基尔霍夫定律：基尔霍夫定律：在热平衡下，物体的单色辐出度与单色吸收在热平衡下，物体的
7、单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数。长和温度的普适函数。本讲稿第六页，共五十六页基尔霍夫定律：基尔霍夫定律：在热平衡下，物体的单色辐出度与单色吸收比在热平衡下，物体的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数。度的普适函数。结论：结论：好的吸收体也是好的辐射体。好的吸收体也是好的辐射体。3.黑体黑体黑体：黑体：能够完全吸收外来辐射而没有反射的物体。能够完全吸收外来辐射而没有反射的物体。
8、黑体既是完全的吸收体，也是理想的发射体。黑体既是完全的吸收体，也是理想的发射体。可把一个开小孔的不透光空腔看成黑体。可把一个开小孔的不透光空腔看成黑体。如远处不点灯的建筑物。如远处不点灯的建筑物。本讲稿第七页，共五十六页4.黑体辐射黑体辐射实验中将开有小孔的实验中将开有小孔的空腔视为黑体，使其空腔视为黑体，使其恒温。恒温。结论：结论：每一条曲线都有一个极大值。每一条曲线都有一个极大值。随着温度的升高，黑体的单色辐出随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。向短波方向移动。实验装置实验装置本讲稿第八页，共五十六页实验实验T=16
9、46k维恩根据经典热力学得出一个半经验公式：维恩根据经典热力学得出一个半经验公式：维恩公式维恩公式 维恩公式在短波部分与实验结果吻合得很好，但长维恩公式在短波部分与实验结果吻合得很好，但长波却不行。波却不行。瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论得出瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论得出瑞利瑞利琼斯公式琼斯公式 瑞利瑞利琼斯公式在长波部分琼斯公式在长波部分与实验结果吻合，但在紫外区的与实验结果吻合，但在紫外区的单色辐出度为无穷大。单色辐出度为无穷大。维恩维恩瑞利瑞利-琼斯琼斯式中式中c1，c2为常量。为常量。式中式中c为光速。为光速。本讲稿第九页，共五十六页13.1.2 光电效应光电效应阳阳极极阴
10、阴极极石英窗石英窗光电效应：光电效应：当一束光照射在金属表面上当一束光照射在金属表面上时，金属表面会有电子逸出的现象。逸时，金属表面会有电子逸出的现象。逸出的电子称为光电子。出的电子称为光电子。光电效应实验光电效应实验 当当 K、A 间加反向电压，光电子间加反向电压，光电子克服电场力作功，当电压达到某一值克服电场力作功，当电压达到某一值UC时，光电流恰为时，光电流恰为零。零。UC称反向称反向遏止电压。遏止电压。遏止电压的大小反映光电子初动能的大小。遏止电压的大小反映光电子初动能的大小。本讲稿第十页，共五十六页光电效应实验的结果：光电效应实验的结果：1.存在截止频率（又称红限）存在截止频率（又称
11、红限）0。当入射光的频率当入射光的频率 大于截止频率大于截止频率 0时，才能产生光电时，才能产生光电效应；反之，无论入射光的强度多大，都不能产生光电效应。效应；反之，无论入射光的强度多大，都不能产生光电效应。不同材料的截止频率不同。不同材料的截止频率不同。2.在入射光频率不变时，饱和光电流随入射光强度在入射光频率不变时，饱和光电流随入射光强度 I 增加增加而增大；而增大；3.遏止电压与入射光强度无关，但与入射光的频率成正比。遏止电压与入射光强度无关，但与入射光的频率成正比。4.光电效应具有瞬时响应特性光电效应具有瞬时响应特性(t 10-9 s)。且这种瞬间响应。且这种瞬间响应与入射光的强度无关
12、。与入射光的强度无关。经典理论无法解释光电效应的上述规律。经典理论无法解释光电效应的上述规律。本讲稿第十一页，共五十六页实验实验T=1646k维恩维恩瑞利瑞利-琼斯琼斯13.2 量子论的诞生量子论的诞生13.2.1 普朗克的能量子理论普朗克的能量子理论1.能量子假设能量子假设1900年普朗克用内插法得到了年普朗克用内插法得到了普朗克公式普朗克公式：普朗克常数普朗克常数这个公式与实验结果相符合。这个公式与实验结果相符合。普朗克理论值普朗克理论值波长形式：波长形式：频率形式：频率形式：本讲稿第十二页，共五十六页普朗克的能量子假设：=h 称称为为能量子能量子，n 称为量子数称为量子数。金属空腔壁中电
13、子的振动可视为一维谐振子。这些振子可金属空腔壁中电子的振动可视为一维谐振子。这些振子可以吸收或辐射能量。以吸收或辐射能量。对频率为对频率为 的谐振子，的谐振子，其其吸收或辐射的吸收或辐射的能量是不连续的，只能取某一最小能量能量是不连续的，只能取某一最小能量h 的整数倍。的整数倍。在在这这一一假假设设基基础础上上，运运用用经经典典的的统统计计物物理理方方法法就就可可推推出出普朗克黑体辐射公式（推导见教材）。普朗克黑体辐射公式（推导见教材）。能能量量子子假假设设对对于于经经典典物物理理来来说说是是离离经经叛叛道道的的，就就连连普普朗朗克克本本人人当当时时都都觉觉得得难难以以置置信信。为为回回到到经
14、经典典的的理理论论体体系系，在在一一段段时时间间内内他他总总想想用用能能量量的的连连续续性性来来解解决决黑黑体体辐辐射射问问题题，但都没有成功。但都没有成功。本讲稿第十三页，共五十六页2.黑体辐射的两个定律黑体辐射的两个定律斯忒藩斯忒藩-玻尔兹曼定律说明了黑体辐出度与温度的关系：玻尔兹曼定律说明了黑体辐出度与温度的关系：斯忒藩斯忒藩-玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 能谱分布曲线的峰值对应的波长能谱分布曲线的峰值对应的波长 m与温度与温度T 的乘积为一的乘积为一常数。常数。含义：随着温度的升高，单色辐出度的峰值向短波方向移含义：随着温度的升高，单色辐出度的峰值向短波方向移动。动。(1)斯忒藩斯忒藩-玻
15、耳兹曼定律玻耳兹曼定律(2)维恩位移定律维恩位移定律维恩常量维恩常量本讲稿第十四页，共五十六页例：例：直径直径10 cm、焦距、焦距50cm的凸透镜将太阳的像聚焦在置的凸透镜将太阳的像聚焦在置于焦平面上的一个涂有黑色的粗糙金属片上，金属片大小于焦平面上的一个涂有黑色的粗糙金属片上，金属片大小与太阳的像一样大。太阳与金属片均视为黑体。设太阳温与太阳的像一样大。太阳与金属片均视为黑体。设太阳温度为度为5.9103K，求金属片可达到的最高温度。，求金属片可达到的最高温度。解：解：太阳辐出度太阳辐出度到达透镜功率：到达透镜功率：会聚到达黑色金属光屏成象，设其温度为会聚到达黑色金属光屏成象，设其温度为T
16、，又又由几何光路图有：由几何光路图有：代入整理得：代入整理得：rR本讲稿第十五页，共五十六页13.2.2 爱爱因斯坦的光因斯坦的光电电效效应应方程方程 爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上进一步提出了爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上进一步提出了光子光子假设：假设：光不仅在发射和吸收时以能量为光不仅在发射和吸收时以能量为h的微粒形式出现，的微粒形式出现，而且在空间传播时也是如此。而且在空间传播时也是如此。频率为频率为 的的光是由大量能量为光是由大量能量为 =h 光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光速速 c 运动。运动。光子的能量：光子的能量：爱
17、因斯坦光电效应方程：爱因斯坦光电效应方程：式中：式中：A A为电子逸出金属表面所需做的功，称为逸出为电子逸出金属表面所需做的功，称为逸出功；功；为光电子的最大初动能。为光电子的最大初动能。本讲稿第十六页，共五十六页爱因斯坦对光电效应的实验解释：爱因斯坦对光电效应的实验解释：1.入射光的强度入射光的强度 I 取决于单位时间内垂直通过单位面积的光取决于单位时间内垂直通过单位面积的光子数子数n。入射光较强时，含有的光子数较多，所以获得能量而入射光较强时，含有的光子数较多，所以获得能量而逸出的电子数也多，饱和电流自然也就大。逸出的电子数也多，饱和电流自然也就大。2.当当 hA时，电子无法获得足够能量脱
18、离金属表面，因此存时，电子无法获得足够能量脱离金属表面，因此存在红限在红限0。不同金属具有不同的截止频率。不同金属具有不同的截止频率。本讲稿第十七页，共五十六页4.入射光中光子的能量被金属表面的电子一次吸收，因此具有入射光中光子的能量被金属表面的电子一次吸收，因此具有瞬时性。瞬时性。初动能及反向遏止电压与初动能及反向遏止电压与 成正比，而与光强无关。成正比，而与光强无关。3.根据根据光子能量：光子能量：光子的质量：光子的质量：光子的光子的动动量：量：光子的质量、能量和动量光子的质量、能量和动量本讲稿第十八页，共五十六页例：例：已知银的光电效应截止波长已知银的光电效应截止波长 0=350nm，当
19、用波长为，当用波长为250nm的紫外光照射时，求逸出光电子最大初动能的紫外光照射时，求逸出光电子最大初动能Ek和银的和银的逸出功逸出功A0。解：解：本讲稿第十九页，共五十六页13.2.3康普康普顿顿散射散射 爱因斯坦断言光是由光子组成，但真正证明光是由光子爱因斯坦断言光是由光子组成，但真正证明光是由光子组成的是康普顿散射实验。组成的是康普顿散射实验。1922 23年康普顿研究了年康普顿研究了X射线在石墨上的散射。射线在石墨上的散射。光阑光阑X 射线管射线管探探测测器器X 射线谱仪射线谱仪晶体晶体 0散射波长散射波长,0 石墨体石墨体(散射物质散射物质)0本讲稿第二十页，共五十六页1.康普顿散射
20、的实验规律康普顿散射的实验规律 在在 X 射线通过物质散射时，散射线中除有与入射线波长射线通过物质散射时，散射线中除有与入射线波长相同的射线外，还有比入射线波长更大的射线，其波长的改变相同的射线外，还有比入射线波长更大的射线，其波长的改变量与散射角量与散射角 有关，而与入射线波长有关，而与入射线波长 0和散射物质都无关。和散射物质都无关。波长的改变量满足如下关系：波长的改变量满足如下关系：式中：式中：C=2.4 10-12m称为康普顿波长。它表示散射角称为康普顿波长。它表示散射角为为90o时，散射波长改变的值。时，散射波长改变的值。这种改变波长的散射称为这种改变波长的散射称为康普顿效应。康普顿
21、效应。经典理论无法解释康普顿散射的实验规律。经典理论无法解释康普顿散射的实验规律。本讲稿第二十一页，共五十六页2.康普顿效应的光量子理论解释康普顿效应的光量子理论解释 X 射线是由一些能量为射线是由一些能量为=h 的光子组成，并且这些的光子组成，并且这些光子与光子与自由自由电子发生完全弹性碰撞电子发生完全弹性碰撞。在轻原子中在轻原子中，原子核对电子原子核对电子的束缚较弱，可以把电子看作的束缚较弱，可以把电子看作是静止的自由电子。是静止的自由电子。反冲电子反冲电子碰撞前：碰撞前：光子能量为光子能量为h o，动量为，动量为h o/c；电子电子的能量为的能量为moc2，动量为零。，动量为零。碰撞后：
22、碰撞后：光子散射角为光子散射角为，光子能量为光子能量为h，动量为，动量为h/c；电子飞出的方向与入射光子的夹角为电子飞出的方向与入射光子的夹角为，它，它的能量为的能量为 ，动量为，动量为 。本讲稿第二十二页，共五十六页反冲电子反冲电子碰撞过程能量守恒碰撞过程能量守恒动量守恒动量守恒联立以上三式，可以解得：联立以上三式，可以解得：本讲稿第二十三页，共五十六页散射波长改变量：散射波长改变量：康普顿效应中，波长改变的原因：当一个光子与散射物质中康普顿效应中，波长改变的原因：当一个光子与散射物质中的一个自由电子碰撞后，电子获得一部分能量，的一个自由电子碰撞后，电子获得一部分能量，同时同时光子将光子将沿
23、某一方向散射沿某一方向散射，散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。康普顿波长：康普顿波长：康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了在康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了在微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。本讲稿第二十四页，共五十六页说明说明:1.散射波长改变量散射波长改变量 的数量级为的数量级为 10-12m，可见光波长可见光波长的数量的数量级级10-7m，观察不到康普顿效应。，观察不到康普顿效应。2.散射光中有与入射光相同的波长的射线，是由于光子与原子碰散射光中有与入射光相同的波长
24、的射线，是由于光子与原子碰撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不变，散射光频率不变。撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不变，散射光频率不变。4.重原子中，内层电子较多，而内层电子束缚很紧。所以原重原子中，内层电子较多，而内层电子束缚很紧。所以原子量大的物质，康普顿效应比原子量小的弱。子量大的物质，康普顿效应比原子量小的弱。3.当当=0 时，光子频率保持不变；时，光子频率保持不变；=时，光子频率减时，光子频率减小最多。小最多。本讲稿第二十五页，共五十六页例：例：一个静止电子与一能量为一个静止电子与一能量为4.0 103 eV的光子碰撞后，它的光子碰撞后，它能获得的最大动能是多少？能获得的最大动能是
25、多少？解：解：光子与电子发生正碰而折回时，能量损失最大。光子与电子发生正碰而折回时，能量损失最大。碰撞后，电子获得的能量最大，碰撞后，电子获得的能量最大，这时光子的波长为：这时光子的波长为：这时光子的能量为：这时光子的能量为：本讲稿第二十六页，共五十六页3.光的波粒二象性光的波粒二象性 光在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射、偏振现光在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射、偏振现象。象。光在与物质发生作用时表现出粒子性，如光电效应，康光在与物质发生作用时表现出粒子性，如光电效应，康普顿效应。普顿效应。光子能量和动量为光子能量和动量为上两式左边是描写粒子性的上两式左边是描写粒子性的 E、P；右
26、边是描写波动性的；右边是描写波动性的、。h 将光的粒子性与波动性联系起来。将光的粒子性与波动性联系起来。关于光的本性问题，我们不应该在微粒说和波动说之间进行关于光的本性问题，我们不应该在微粒说和波动说之间进行取舍，而应该把它们看作是光的本性的两种不同侧面的描述。取舍，而应该把它们看作是光的本性的两种不同侧面的描述。本讲稿第二十七页，共五十六页13.4 微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性13.4.1 德布罗意物质波的假设德布罗意物质波的假设1.物质波的引入物质波的引入 1923年，德布罗意第一次提出了实物粒子具有波动性年，德布罗意第一次提出了实物粒子具有波动性观点。观点。实物粒子：实物粒子
27、：静止质量不为零的微观粒子。静止质量不为零的微观粒子。实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。如果用能量实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。如果用能量 E 和动量和动量 p 来表征实物粒子的粒子性，则可用频率来表征实物粒子的粒子性，则可用频率 和波长和波长 来表示实物粒子的波动性。来表示实物粒子的波动性。光光(波波)具有粒子性，那么实物粒子具有波动性吗具有粒子性，那么实物粒子具有波动性吗?实物粒子的波称为实物粒子的波称为德布罗意波德布罗意波或或物质波物质波，物质波的波长，物质波的波长称为称为德布罗意波长德布罗意波长。本讲稿第二十八页，共五十六页2.德布罗意公式德布罗意公式 德布罗意把爱因斯坦对
28、光的波粒二象性描述应用到实德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用到实物粒子，物粒子，动量为动量为p的粒子波长：的粒子波长：频率与能量关系：频率与能量关系：德布罗意公式德布罗意公式 物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道量子化条件。量子化条件。波长波长本讲稿第二十九页，共五十六页例：例：试计算动能分别为试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的电的电子的德布罗意波长。子的德布罗意波长。解：解：由相对论公式：由相对论公式：得：得：若若Ekm0c2，本讲稿第三十页，共五十六页Ek=100eV时，时，Ekm0c2，Ek=1keV
29、 时，时，Ekm0c2，本讲稿第三十一页，共五十六页例：例：质量质量 m=50kg的人，以的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试求人的的速度运动，试求人的德布罗意波波长。德布罗意波波长。解：解：人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。只考虑其粒子性。电子的德波波长很短，用于电子显微电子的德波波长很短，用于电子显微镜衍射效应小，可放大镜衍射效应小，可放大200万倍。万倍。例：例：求静止电子经求静止电子经 15000V 电压加速后的德波波长。电压加速后的德波波长。解：解：静止电子经电压静止电子经电压U加速后的动能加
30、速后的动能本讲稿第三十二页，共五十六页13.5 波函数波函数 不确定关系不确定关系13.5.1 波函数波函数 物质波可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，物质波可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为这个函数称为波函数波函数，通常用，通常用 来表示。来表示。在一维空间量，波函数写成在一维空间量，波函数写成 (x,t)，在三维空间，在三维空间里写成里写成 。自由粒子的波函数自由粒子的波函数 自由粒子不受外力作用，它在运动过程中作匀速直线自由粒子不受外力作用，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。轴），其能量和动量保持不变。结论：结论：自由粒子的物
31、质波是单色平面波。自由粒子的物质波是单色平面波。对应的德布罗意波频率和波长：对应的德布罗意波频率和波长：本讲稿第三十三页，共五十六页 一个频率为一个频率为、波长为、波长为 沿沿x方向传播的单色平面波的表方向传播的单色平面波的表达式：达式：利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量，替描述波动性的物理量，在量子力学中，波函数常写成复数形式，在量子力学中，波函数常写成复数形式，这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量包含有体现粒子性的物理量E和和
32、P，因此它描述了微观粒子具，因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。有波粒二象性的特征。本讲稿第三十四页，共五十六页 *为为 的复共轭函数的复共轭函数。根据波动理论，波函数的强度正比于根据波动理论，波函数的强度正比于 02。注意：注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达。不能用实数形式来表达。利用复指数函数的运算法则，有：利用复指数函数的运算法则，有：在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形式，而是空间和时间的复杂函数。式，而是空间和时间的复杂函数。对三维空间，沿矢径对三
33、维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的方向传播的自由粒子的波函数为：波函数为：本讲稿第三十五页，共五十六页13.5.2 波函数的波函数的统计诠释统计诠释1.波动粒子两重性矛盾的分析波动粒子两重性矛盾的分析观点一：把粒子性包容在波动性这中，认为物质波是三维空间连观点一：把粒子性包容在波动性这中，认为物质波是三维空间连续分布的某种物质续分布的某种物质“波包波包”，因而呈现干涉和衍射的现象。物质，因而呈现干涉和衍射的现象。物质波包的大小，就是粒子的大小，波包的群速度就是粒子运动的速波包的大小，就是粒子的大小，波包的群速度就是粒子运动的速度。度。观点二：粒子性是最基本的，波是由大量粒子分布于空间而观点二
34、：粒子性是最基本的，波是由大量粒子分布于空间而形成的疏密波，波动性是粒子间相互作用的结果。形成的疏密波，波动性是粒子间相互作用的结果。以上两种观点都是错误的。以上两种观点都是错误的。为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来的：德布罗意波的：德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的而是描述粒子在空间的概率分布的“概率波概率波”。本讲稿第三十六页，共五十六页2.概率波概率波光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：从波动性看从波动性看
35、，对光的衍射现象，空间某处光，对光的衍射现象，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。值对应振幅平方的极小值。用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方大值处，波函数的振幅平方具有极大值，在衍射极小具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方值处，波函数的振幅平方具有极小值。具有极小值。从粒子的观点看从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极大值，对光的衍射现象，光的衍射极
36、大值处找到光子的概率最大，极小值处找到光子的概率最处找到光子的概率最大，极小值处找到光子的概率最小。小。本讲稿第三十七页，共五十六页 同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的概率最小。找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的概率最小。结论结论：在某时刻在某时刻t，在空间某处，在空间某处 ，波函数，波函数 模的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率。模的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率。3.波函数的物理意义波函数的物理意义 波函数模的平方波函数模的平方 代表时刻代表时刻t、在、在
37、 处粒子处粒子出现的概率密度。出现的概率密度。概率密度概率密度粒子在微小体积内出现的概率：粒子在微小体积内出现的概率：粒子在有限体积内出现的概率：粒子在有限体积内出现的概率：本讲稿第三十八页，共五十六页概率密度概率密度强调：强调：波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。的是波函数模的平方。波函数的概念和通常的经典波的概念不同，它不是那波函数的概念和通常的经典波的概念不同，它不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数波函数既不描述粒子的形状，也不描述粒子运动的轨迹，它只既不描
38、述粒子的形状，也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率分布。给出粒子运动的几率分布。根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。本讲稿第三十九页，共五十六页 量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。种差别来源于微观粒子的波粒二象性。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一
39、时刻粒子的轨迹是牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道只给出到达各点的统计分布；即只知道|2 2大的地方粒子大的地方粒子出现的可能性大，出现的可能性大，|2 2小的地方几率小。一个粒子下一时小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。本讲稿第四十页，共五十六页4.波函数应满足的条件波函数应满足的条件(1)归一化条件归一化
40、条件任意时刻，在整个空间发现粒子的概率应是任意时刻，在整个空间发现粒子的概率应是1。(2)标准条件标准条件 波函数必须满足波函数必须满足“单值、有限、连续单值、有限、连续”的条件，称为的条件，称为波函数的波函数的标准条件标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。导数也连续可微。(3)态叠加原理态叠加原理 如果如果 1，2，所描写的都是体系可能实现的状所描写的都是体系可能实现的状态，它们的线性叠加态，它们的线性叠加 所描写的也是体系的所描写的也是体系的一个可能实现的状态。一个可能实现的状态。本讲稿第四十一页，共五十六页 如果波函数对整个空
41、间的积分值是有限的，但不为零，如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为1，这个过，这个过程称为波函数的程称为波函数的归一化过程归一化过程。量子力学中的波函数具有一个独特的性质：量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函数波函数 与波函数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒子的同一状态为任意常数）所描写的是粒子的同一状态。原原因因：粒粒子子在在空空间间各各点点出出现现的的几几率率只只决决定定于于波波函函数数在在空空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如
42、如果果把把波波函函数数在在空空间间各各点点的的振振幅幅同同时时增增大大一一倍倍，并并不不影影响响粒粒子子在在空空间间各各点点的的几几率率。所所以以将将波波函函数数乘乘上上一一个个常常数数后后，所描写的粒子的状态并不改变。所描写的粒子的状态并不改变。本讲稿第四十二页，共五十六页5.定态波函数定态波函数定态波函数定态波函数 如果波函数如果波函数(x,y,z,t)可以表示为一个空间坐可以表示为一个空间坐标的函数标的函数(x,y,z)与一个时间函数的乘积，并且整个与一个时间函数的乘积，并且整个波函数随时间的改变由因子波函数随时间的改变由因子 决定，这个波函数决定，这个波函数就称为就称为“定态波函数定态
43、波函数”。此时粒子所处的状态称为此时粒子所处的状态称为“定态定态”。结论：结论：粒子处于定态时，粒子在空间某点的概率不随时间而改粒子处于定态时，粒子在空间某点的概率不随时间而改变。变。(x,y,z)通常称为定态波函数。通常称为定态波函数。本讲稿第四十三页，共五十六页例：例：粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：其中其中A为任意常数，为任意常数，E和和b均为确定的常数。求：归一化的波均为确定的常数。求：归一化的波函数；几率密度？函数；几率密度？即：即：解：解：由归一化条件，有：由归一化条件，有：解得：解得：本讲稿第四十四页，共五十六页几率密度几率
44、密度 如图所示，在区间如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找不到粒子。以外找不到粒子。在在x=0处找到粒子的几率最处找到粒子的几率最大。大。b/2-b/2归一化的波函数：归一化的波函数：本讲稿第四十五页，共五十六页解：解：式中：式中：L为势阱宽度，为势阱宽度，n为量子数。求：（为量子数。求：（1）粒子在）粒子在0 x L/4 区间出现的几率；并对区间出现的几率；并对n=1和和n=的情况算出概率值。的情况算出概率值。（2）在）在n=?的量子态上，粒子在的量子态上，粒子在x=L/4 区间出现的概率密度最区间出现的概率密度最大。大。例：例：已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为：已知一维无限
45、深势阱中粒子的归一化定态波函数为：（1）粒子在）粒子在0 x L/4区间出现的几率：区间出现的几率：n=1时，时，n=时，时，本讲稿第四十六页，共五十六页（2）粒子在）粒子在x=L/4区间出现的概率密度：区间出现的概率密度：其最大值对应于其最大值对应于本讲稿第四十七页，共五十六页13.5.4 不确定关系不确定关系1.位置与动量的不确定关系位置与动量的不确定关系经典粒子的轨道概念在多大程度上适用于微观世界？经典粒子的轨道概念在多大程度上适用于微观世界？19271927年年，海海森森伯伯分分析析了了一一些些理理想想实实验验并并考考虑虑到到德德布布罗罗意意关关系系，得得出出不不确确定定度度关关系系：
46、粒粒子子在在同同一一方方向向上上的的坐坐标和动量不能标和动量不能同时同时确定。确定。电子通过单缝位置的不确定范电子通过单缝位置的不确定范围围x为：为：x=a，入射电子在入射电子在 x 方向上无动量。方向上无动量。电子通过单缝后，电子要到达屏电子通过单缝后，电子要到达屏上不同的点，具有上不同的点，具有 x方向动量方向动量px，本讲稿第四十八页，共五十六页其第一级的衍射角满足：其第一级的衍射角满足：电子通过单缝后，电子通过单缝后，x方向上的动量方向上的动量px的大小为：的大小为：电子在电子在x方向的动量的不确定量为：方向的动量的不确定量为：由德布罗意关系由德布罗意关系=h/p，得：，得：即即考虑到
47、更高级的衍射图样，有：考虑到更高级的衍射图样，有：即即本讲稿第四十九页，共五十六页上述讨论只是借助一个特例的粗略计算。上述讨论只是借助一个特例的粗略计算。式中：式中：量子力学严格证明给出：量子力学严格证明给出：推广到三维空间，则还应有：推广到三维空间，则还应有：结论：结论：微观粒子的坐标和动量不可能微观粒子的坐标和动量不可能同时同时进行准确的测量。进行准确的测量。也就是说，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。也就是说，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。以上三式称为海森伯坐标与动量的不确定关系式。以上三式称为海森伯坐标与动量的不确定关系式。本讲稿第五十页，共五十六页由于公式通常只用于数
48、量级的估计，所以它又常简写为：由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写为：在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系，确定关系，E 表示粒子能量的不确定量，而表示粒子能量的不确定量，而 t可表示粒子处于该可表示粒子处于该能态的平均时间。能态的平均时间。2.能量和时间的不确定关系能量和时间的不确定关系可以证明：可以证明：凡是共轭的量都是满足不确定关系的。凡是共轭的量都是满足不确定关系的。定义：定义：两个量的相乘积与两个量的相乘积与h有相同量纲（有相同量纲（J.S）的物理量称）的物理量称为共轭量。为共轭量。本讲稿第五十一页，共
49、五十六页例：例：氢原子从第四激发态跃迁到第一激发态时所发射光子的氢原子从第四激发态跃迁到第一激发态时所发射光子的波长为波长为 ，若测定此波长的精确度，若测定此波长的精确度/=10-5，则此光子位置的不确定度，则此光子位置的不确定度x 。解：解：本讲稿第五十二页，共五十六页例：例：电子与质量电子与质量m=0.01kg的子弹都以的子弹都以200m/s的速度沿的速度沿 x方向方向运动，速率测量相对误差在运动，速率测量相对误差在0.01%内。求在测量二者速率的同内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度时测量位置所能达到的最小不确定度x。解：解：（1）电子位置的不确定度）电子位置的不确定
50、度对于原子尺寸的粒子，不能用经典的轨道来描述。对于原子尺寸的粒子，不能用经典的轨道来描述。（2）子弹位置的不确定度）子弹位置的不确定度本讲稿第五十三页，共五十六页 子弹的位置不确定量很小，仪器测不出。用经典坐标、动子弹的位置不确定量很小，仪器测不出。用经典坐标、动量完全能精确描写。量完全能精确描写。速速度度不不确确定定度度 v和和速速度度本本身身v数数量量级级相相同同，电电子子速速度度完完全全不不确确定定，从从而而下下一一时时刻刻电电子子位位置置完完全全不不能能确确定定，轨轨道道的的概概念念失失去去意义。意义。例例：原原子子的的线线度度按按1010-10-10m m估估算算，原原子子中中电电子