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1、高中数学高中数学 函数模型函数模型及其应用及其应用本讲稿第一页，共五十二页1三种函数模型之间增长速度的比较三种函数模型之间增长速度的比较函数函数性质性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增减性上的增减性_增长速度增长速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相对平稳相对平稳大小比较大小比较存在一个存在一个x0，当，当xx0时，有时，有_单调递增单调递增单调递增单调递增单调递增单调递增logaxxnax本讲稿第二页，共五十二页本讲稿第三页，共五十二页1函函数数yx2与与y2x在在(0，)上上函函数数值值是是如如何何变变化化的的？【提提示示】当当x(0，2)时时，2xx2，
2、当当x(2，4)时时，x22x，当，当x(4，)时，时，2xx2.2直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？【提提示示】直直线线上上升升，匀匀速速增增长长；指指数数增增长长，先先慢慢后后快快，其其增增长长量量成成倍倍增增加加，可可用用“指指数数爆爆炸炸”形形容容；对对数数增增长长；先先快后慢，其增长速度缓慢快后慢，其增长速度缓慢本讲稿第四页，共五十二页1(人人教教A版版教教材材习习题题改改编编)一一根根蜡蜡烛烛长长20 cm，点点燃燃后后每每小小时时燃燃烧烧5 cm，燃燃烧烧时时剩剩下下的的高高度度h(cm)与与燃燃烧烧时时间间t(h)的的函数关系用
3、图象表示为图中的函数关系用图象表示为图中的()本讲稿第五页，共五十二页【解析解析】由题意知由题意知h205t，故选，故选B.【答案答案】B本讲稿第六页，共五十二页2拟拟定定甲甲地地到到乙乙地地通通话话m分分钟钟的的电电话话费费f(m)0.5m1(单单位位：元元)，其其中中m0，m表表示示不不大大于于m的的最最大大整整数数(如如3.623，44)，当当m0.5，3.2时时，函函数数f(m)的的值值域域是是()A1，2，3，4 B1，1.5，2，2.5C1，1.5，2.5，3 D1.5，2，2.5【解解析析】当当m0.5，3.2时时，m所所有有可可能能值值为为0，1，2，3共四个，故共四个，故f(
4、m)的值域为的值域为1，1.5，2，2.5【答案答案】B本讲稿第七页，共五十二页【答案答案】B本讲稿第八页，共五十二页4某某种种储储蓄蓄按按复复利利计计算算利利息息，若若本本金金为为a元元，每每期期利利率率为为r，存存期期是是x，本本利利和和(本本金金加加利利息息)为为y元元，则则本本利利和和y随随存存期期x变化的函数关系式是变化的函数关系式是_【解析解析】已知本金为已知本金为a元，利率为元，利率为r，则，则1期后本利和为期后本利和为yaara(1r)，2期后本利和为期后本利和为ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和为期后本利和为ya(1r)3，x期后本利和为期后本利和为ya(1r
5、)x，xN.【答案答案】ya(1r)x，xN本讲稿第九页，共五十二页5(2013武武汉汉模模拟拟)里里氏氏震震级级M的的计计算算公公式式为为：Mlg Alg A0，其其中中A是是测测震震仪仪记记录录的的地地震震曲曲线线的的最最大大振振幅幅，A0是是相相应应的的标标准准地地震震的的振振幅幅假假设设在在一一次次地地震震中中测测震震仪仪记记录录的的最最大大振振幅幅是是1 000，此此时时标标准准地地震震的的振振幅幅为为0.001，则则此此次次地地震震的的震震级级为为_级级，9级级地地震震的的最最大大振振幅幅是是5级级地地震震最最大大振幅的振幅的_倍倍本讲稿第十页，共五十二页【答案答案】610 000
6、本讲稿第十一页，共五十二页本讲稿第十二页，共五十二页本讲稿第十三页，共五十二页【审审题题视视点点】计计算算实实施施规规划划前前后后10年年总总利利润润，通通过过比比较可知该规划方案是否具有实施价值较可知该规划方案是否具有实施价值本讲稿第十四页，共五十二页本讲稿第十五页，共五十二页本讲稿第十六页，共五十二页1本本题题在在求求规规划划实实施施前前最最大大利利润润时时，易易忽忽视视二二次次函函数数的特性，直接把的特性，直接把x60代入求解，造成错误答案代入求解，造成错误答案2(1)二二次次函函数数的的最最值值一一般般利利用用配配方方法法与与函函数数的的单单调调性性解解决决，但但一一定定要要密密切切注
7、注意意函函数数的的定定义义域域，否否则则极极易易出出错错(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题本讲稿第十七页，共五十二页某某企企业业生生产产A，B两两种种产产品品，根根据据市市场场调调查查与与预预测测，A产产品品的的利利润润与与投投资资成成正正比比，其其关关系系如如图图291(1)；B产产品品的的利利润润与与投投资资的的算算术术平平方方根根成成正正比比，其其关关系系如如图图291(2)(注注：利润和投资单位：万元利润和投资单位：万元)本讲稿第十八页，共五十二页(1)分分别别将将A、B两两种种产产品品的的利利润润表表示示为为投投资资的的函函数数关关
8、系系式；式；(2)已已知知该该企企业业已已筹筹集集到到18万万元元资资金金，并并将将全全部部投投入入A，B两种产品的生产两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问问：如如果果你你是是厂厂长长，怎怎样样分分配配这这18万万元元投投资资，才才能能使使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？本讲稿第十九页，共五十二页本讲稿第二十页，共五十二页本讲稿第二十一页，共五十二页已已知知某某物物体体的的温温度度(单单位位：摄摄氏氏度度)随随时时间间t(单单位位：分分钟钟)的变化规律是：的变化规律是：m2t21
9、t(t0，并且，并且m0)(1)如果如果m2，求经过多少时间，物体的温度为，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；摄氏度；(2)若物体的温度总不低于若物体的温度总不低于2摄氏度，求摄氏度，求m的取值范围的取值范围【思路点拨思路点拨】(1)解关于解关于2t的一元二次方程求解的一元二次方程求解(2)转化为恒成立问题求解转化为恒成立问题求解本讲稿第二十二页，共五十二页本讲稿第二十三页，共五十二页本讲稿第二十四页，共五十二页1解解答答本本题题的的关关键键是是把把所所求求解解问问题题转转化化为为一一元元二二次次方方程或二次函数问题求解程或二次函数问题求解2(1)指指数数函函数数模模型型，常常与与增增长长
10、率率相相结结合合进进行行考考查查，在在实实际际问问题题中中有有人人口口增增长长、银银行行利利率率、细细胞胞分分裂裂等等增增长长问问题题可可以以利利用用指指数数函函数数模模型型来来表表示示(2)应应用用指指数数函函数数模模型型时时，先先设设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数本讲稿第二十五页，共五十二页本讲稿第二十六页，共五十二页本讲稿第二十七页，共五十二页(2013杭杭州州模模拟拟)提提高高过过江江大大桥桥的的车车辆辆通通行行能能力力可可改改善善整整个个城城市市的的交交通通状状况况在在一一般般情情况况下下，大大桥桥上上的的车车流流速速度度v(单单
11、位位：千千米米/小小时时)是是车车流流密密度度x(单单位位：辆辆/千千米米)的的函函数数当当桥桥上上的的车车流流密密度度达达到到200辆辆/千千米米时时，造造成成堵堵塞塞，此此时时车车流流速速度度为为0；当当车车流流密密度度不不超超过过20辆辆/千千米米时时，车车流流速速度度为为60千千米米/小小时时研研究究表表明明：当当20 x200时时，车车流流速速度度v是是车车流流密密度度x的的一次函数一次函数本讲稿第二十八页，共五十二页(1)当当0 x200时，求函数时，求函数v(x)的表达式；的表达式；(2)当当车车流流密密度度x为为多多大大时时，车车流流量量(单单位位时时间间内内通通过过桥桥上上某
12、某观观测测点点的的车车辆辆数数，单单位位：辆辆/小小时时)f(x)xv(x)可可以以达达到到最最大，并求出最大值大，并求出最大值(精确到精确到1辆辆/小时小时)【思思路路点点拨拨】(1)当当20 x200时时，运运用用待待定定系系数数法法求求v(x)的的解解析析式式，进进而而确确定定当当0 x200时时，分分段段函函数数v(x)(2)根根据据(1)求出求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值，根据函数的单调性与基本不等式求最值本讲稿第二十九页，共五十二页本讲稿第三十页，共五十二页本讲稿第三十一页，共五十二页本讲稿第三十二页，共五十二页1理理解解题题意意，由由待待定定系系数数法法，准准确
13、确求求出出v(x)，是是求求解解本本题题的的关关键键要要注注意意分分段段函函数数各各段段变变量量的的取取值值范范围围，特特别别是是端端点值点值2实实际际问问题题中中有有些些变变量量间间的的关关系系不不能能用用同同一一个个关关系系式式给给出出，而而是是由由几几个个不不同同的的关关系系式式构构成成，如如出出租租车车票票价价与与路路程程之间的关系，应构建分段函数模型求解之间的关系，应构建分段函数模型求解本讲稿第三十三页，共五十二页本讲稿第三十四页，共五十二页(1)从从药药物物释释放放开开始始，求求每每立立方方米米空空气气中中的的含含药药量量y(毫毫克克)与时间与时间t(小时小时)之间的函数关系式；之
14、间的函数关系式；(2)据据测测定定，当当空空气气中中每每立立方方米米的的含含药药量量降降低低到到0.25毫毫克克以以下下时时，学学生生方方可可进进教教室室，那那么么从从药药物物释释放放开开始始，至至少少需需要要经过多少个小时后，学生才能回到教室？经过多少个小时后，学生才能回到教室？本讲稿第三十五页，共五十二页本讲稿第三十六页，共五十二页本讲稿第三十七页，共五十二页特特别别关关注注实实际际问问题题的的自自变变量量的的取取值值范范围围，合合理理确确定定函函数数的定义域的定义域本讲稿第三十八页，共五十二页解决实际应用题的一般步骤解决实际应用题的一般步骤(1)审审题题：深深刻刻理理解解题题意意，分分清
15、清条条件件和和结结论论，理理顺顺其其中中的的数量关系，把握其中的数学本质；数量关系，把握其中的数学本质；(2)建建模模：由由题题设设中中的的数数量量关关系系，建建立立相相应应的的数数学学模模型型，将实际问题转化为数学问题；将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还还原原：回回到到题题目目本本身身，检检验验结结果果的的实实际际意意义义，给给出出结结论论本讲稿第三十九页，共五十二页从从近近两两年年高高考考试试题题看看，对对函函数数的的实实际际应应用用问问题题的的考考查查，更更多多地地以以社社会会实实际际生生活活为
16、为背背景景，设设问问新新颖颖，灵灵活活；题题型型以以解解答答题题为为主主，难难度度中中等等偏偏上上，常常与与基基本本不不等等式式、导导数数等等知知识识交交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力汇，考查学生分析问题、解决问题的能力本讲稿第四十页，共五十二页规范解答之二函数建模在实际问题中的应用规范解答之二函数建模在实际问题中的应用)(14分分)(2012江苏高考江苏高考)如图如图293，建，建本讲稿第四十一页，共五十二页(1)求炮的最大射程求炮的最大射程(2)设设在在第第一一象象限限有有一一飞飞行行物物(忽忽略略其其大大小小)，其其飞飞行行高高度度为为3.2千千米米，试试问问它它的的横横坐坐标标a
17、不不超超过过多多少少时时，炮炮弹弹可可以以击击中中它？请说明理由它？请说明理由 本讲稿第四十二页，共五十二页本讲稿第四十三页，共五十二页【解解题题程程序序】第第一一步步：根根据据题题意意建建立立方方程程，确确定定x、k的范围；的范围；第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第三步：把所求问题转化为方程有解问题；第三步：把所求问题转化为方程有解问题；第第四四步步：把把方方程程有有解解问问题题转转化化为为一一元元二二次次方方程程有有正正根根问问题；题；第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题 本讲稿第四
18、十四页，共五十二页易错提示：易错提示：(1)未读懂题意，不能建立未读懂题意，不能建立x与与k的函数关系的函数关系(2)不不能能把把炮炮弹弹击击中中目目标标转转化化为为关关于于k的的一一元元二二次次方方程程有有正根问题正根问题(3)不能正确列不等式求解不能正确列不等式求解防防范范措措施施：(1)求求解解函函数数实实际际问问题题，审审题题是是关关键键，要要弄弄清清相关相关“名词名词”准确寻求各量之间的关系准确寻求各量之间的关系(2)在在求求解解过过程程中中应应分分清清变变量量之之间间的的辨辨证证关关系系，结结合合所所求求，合理转化合理转化本讲稿第四十五页，共五十二页(3)根根据据一一元元二二次次方
19、方程程列列不不等等式式(组组)时时，首首先先判判断断两两根根之之和和与与两两根根之之积积的的正正负负，根根据据它它们们的的正正负负确确定定如如何何列列不不等等式式(组组)本讲稿第四十六页，共五十二页1(2013宜宜春春模模拟拟)某某市市原原来来居居民民用用电电价价为为0.52元元/kwh，换换装装分分时时电电表表后后，峰峰时时段段(早早上上8点点到到晚晚上上9点点)的的电电价价0.55元元/kwh，谷谷时时段段(晚晚上上9点点到到次次日日早早上上8点点)的的电电价价为为0.35/kwh，对对于于一一个个平平均均每每月月用用电电量量为为200 kwh的的家家庭庭，换换装装分分时时电电表表后后，每
20、每月月节节省省的的电电费费不不少少于于原原来来电电费费的的10%，则则这这个个家家庭庭每月在峰时段的平均用电量至多为每月在峰时段的平均用电量至多为()A110 kwh B114 kwhC118 kwh D120 kwh本讲稿第四十七页，共五十二页【解解析析】设设在在峰峰时时段段的的平平均均用用电电量量为为x kwh，由由题题意意知知 0.52200 0.55x 0.35(200 x)0.5220010%，解解 得得x118，故选，故选C.【答案答案】C本讲稿第四十八页，共五十二页2(2013江江门门模模拟拟)小小孟孟进进了了一一批批水水果果，如如果果他他以以每每斤斤1.2元元的的价价格格出出售售，那那他他就就会会赔赔4元元；如如果果他他以以每每斤斤1.5元元的的价价格格出出售售，一一共共可可赚赚8元元，现现在在小小孟孟想想将将这这批批水水果果尽尽快快出出手手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为()A2.6元元 B2.2元元C2.8元元 D1.3元元本讲稿第四十九页，共五十二页【答案答案】A本讲稿第五十页，共五十二页课后作业（十二）课后作业（十二）本讲稿第五十一页，共五十二页本讲稿第五十二页，共五十二页