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1、经济数学第讲函数极限概念本讲稿第一页，共七十一页 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质本讲稿第二页，共七十一页 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出:如何描述它？本讲稿第三页，共七十一页 有问题没有？有问题没有？好像没有问题好像没有问题.本讲稿第四页，共七十一页定义定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？本讲稿第五页，共七十一页本讲稿第六页，共七十一页 将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称本讲稿第七页，共七十一页定义定义本讲稿第八页，共七十一
2、页 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形,你有什么想法你有什么想法?本讲稿第九页，共七十一页你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形,你有什么想法你有什么想法?本讲稿第十页，共七十一页定义定义本讲稿第十一页，共七十一页由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x+,本讲稿第十二页，共七十一页定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:本讲稿第十三页，共七十一页证证证证成立.由极限的定义可知:例例1 1本讲稿第十四页，共七十一页解无限缩小,可以小于任意小的正
3、数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例例2 2本讲稿第十五页，共七十一页 这里想得通吗？本讲稿第十六页，共七十一页由图容易看出：分析 需要证明之处 请同学们 自己先证一下.例例3 3本讲稿第十七页，共七十一页证证本讲稿第十八页，共七十一页证证本讲稿第十九页，共七十一页例例4 4证证本讲稿第二十页，共七十一页 x x0 时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f(x)的变化趋势.本讲稿第二十一页，共七十一页 f(x)在点 x0=0 处有定义.函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.例例5 5本讲稿第二十二页，共七十一页本讲稿第二十三页，共七十一页(本讲稿第二十四页，
4、共七十一页定义定义本讲稿第二十五页，共七十一页注意注意为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。反例反例本讲稿第二十六页，共七十一页证证证证 这是证明吗？这是证明吗？非常非常严格！例例6 6本讲稿第二十七页，共七十一页证证例例7 7本讲稿第二十八页，共七十一页证证？如何处理它如何处理它例例8 8本讲稿第二十九页，共七十一页 这里|x+2|没有直接的有界
5、性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.()0 x211 11+1 分析分析结论本讲稿第三十页，共七十一页证证证毕例例8 8本讲稿第三十一页，共七十一页观察知观察知证证证毕证毕例例本讲稿第三十二页，共七十一页在极限定义中：在极限定义中：1)与 和 x0 有关,即 =(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.2)不等式|f(x)a|0,同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.本讲稿第三十三页，共七十一页y=a y=a y=axOyx0 x0 x0+曲线只能从该矩
6、形的左右两边穿过本讲稿第三十四页，共七十一页考虑两个问题.本讲稿第三十五页，共七十一页y=a y=a y=axOyx0 x0+函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？本讲稿第三十六页，共七十一页想想这种情形下,函数有极限吗?y=a y=a y=axOyx0 x0 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？本讲稿第三十七页，共七十一页3.函数的左、右极限定义定义本讲稿第三十八页，共七十一页定义定义本讲稿第三十九页，共七十一页(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点 x0 处
7、的左、右极限可能出现以下三种情况之一：本讲稿第四十页，共七十一页y=f(x)xOy11在 x=1 处的左、右极限.解例例9 9本讲稿第四十一页，共七十一页y=a y=a y=axOyx0 x0+y=a y=a y=aOyx0 x0 对此有什么想法没有？“左右重合”本讲稿第四十二页，共七十一页定理定理 利用|x x0|x x0 0推不出极限推不出极限A0.本讲稿第六十页，共七十一页性质性质4:（函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）证明证明 必要性必要性根据假设根据假设本讲稿第六十一页，共七十一页本讲稿第六十二页，共七十一页本讲稿第六十三页，共七十一页性质性质5本讲稿第六十四页，
8、共七十一页 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理本讲稿第六十五页，共七十一页极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的结论即可得证.本讲稿第六十六页，共七十一页 函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理本讲稿第六十七页，共七十一页第二保号性定理成立.运用反证法,设 f(x)0 (f(x)0)时,有 a 0),则由第一保号性定理将推出 f(x)0)的矛盾,该矛盾就证明了本讲稿第六十八页，共七十一页注意注意:当 f(x)0 (f(x)g(x),则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.令 F(x)=f(x)g(x)0,即可进行证明.本讲稿第七十一页，共七十一页