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1、第四章结构的稳定计算本讲稿第一页，共五十八页4-1 4-1 两类稳定问题的概述两类稳定问题的概述4-2 4-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法4-3 4-3 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定静力法静力法4-4 4-4 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定能量法能量法4-5 4-5 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响4-4-6 6 组合压杆的稳定组合压杆的稳定本章主要内容本章主要内容本讲稿第二页，共五十八页强度验算强度验算刚度验算刚度验算稳定验算稳定验算结构设计结构设计必不可少必不可少某些时候是必须的某些时候是必须的薄壁结构薄壁结构高强材料结构高强材料结构（如钢结
2、构）（如钢结构）主要受压的结构等主要受压的结构等而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的结构的计算简图来分析的；结构的计算简图来分析的；4-1 4-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述本讲稿第三页，共五十八页根据结构受任意微小外界干扰后能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态根据结构受任意微小外界干扰后能否恢复到原
3、始平衡状态，将平衡状态根据结构受任意微小外界干扰后能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态根据结构受任意微小外界干扰后能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：分为如下三类：分为如下三类：分为如下三类：稳定平衡状态稳定平衡状态若外界干扰消除后结构能完全恢复到原若外界干扰消除后结构能完全恢复到原若外界干扰消除后结构能完全恢复到原若外界干扰消除后结构能完全恢复到原 始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。不稳定平衡状态不稳定平衡状态若外界干扰消除后结构不能恢复到原若外界干扰消除后结构不能恢复到原
4、若外界干扰消除后结构不能恢复到原若外界干扰消除后结构不能恢复到原 始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的随遇平衡状态随遇平衡状态经抽象简化，可能出现结构受干扰后在经抽象简化，可能出现结构受干扰后在经抽象简化，可能出现结构受干扰后在经抽象简化，可能出现结构受干扰后在 任何位置保持平衡的现象任何位置保持平衡的现象任何位置保持平衡的现象任何位置保持平衡的现象.4-1-14-1-1结构平衡状态的分类结构平衡状态的分类本讲稿第四页，共五十八页不不稳稳定定平平衡衡稳稳定定平平衡衡微小扰动就使小球远离微
5、小扰动就使小球远离原来的平衡位置原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球可恢复位置，但扰动撤销后小球可恢复到原来的平衡位置到原来的平衡位置随遇平衡状态随遇平衡状态本讲稿第五页，共五十八页定义：定义：完善体系完善体系受压杆件均为理想受压杆的结构体系；受压杆件均为理想受压杆的结构体系；P P非完善体系非完善体系如结构中受压杆有初曲率，或荷载有如结构中受压杆有初曲率，或荷载有 初偏心，则这类结构体系称初偏心，则这类结构体系称非完善体系非完善体系。Pe本讲稿第六页，共五十八页失稳：失稳：结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由结构在荷载作用下其原始平衡状
6、态可能由 稳定平衡状稳定平衡状 态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定 性、简称性、简称“失稳失稳”。结构失稳的分类结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，根据结构失稳前后变形性质是否改变，可将失稳问题分为：可将失稳问题分为：分支点失稳分支点失稳失稳前后平衡状态所对应的变形性质发失稳前后平衡状态所对应的变形性质发 生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在 偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。极值点失稳极值点失稳失稳前后变形性质没有发生变
7、化，力失稳前后变形性质没有发生变化，力 位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅 速增长，导致结构压溃。速增长，导致结构压溃。4-1-24-1-2失稳的概念及分类失稳的概念及分类本讲稿第七页，共五十八页PPcr1）分支点失稳）分支点失稳柱单纯受压、柱单纯受压、无弯曲变形无弯曲变形失稳前后平衡状态的变形性质发生变化失稳前后平衡状态的变形性质发生变化PPcrP=Pcr 柱可在偏离原始平衡位柱可在偏离原始平衡位置附近的任一位置上保置附近的任一位置上保持平衡。持平衡。柱的压弯变形柱的压弯变形继续增大直至继续增大直至破坏。破坏。本讲稿第八页，共五十
8、八页稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 小挠度理论小挠度理论 P Pcr 大挠度理论大挠度理论分支点分支点分支点失稳的分支点失稳的P-曲线曲线 以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。平衡状态和不稳定平衡状态。分支点上存在平衡形式的两重性分支点上存在平衡形式的两重性本讲稿第九页，共五十八页2）极值点失稳）极值点失稳 PPPcr crPcr本讲稿第十页，共五十八页PcrPOB(极值极值点点)稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 小挠度理论小挠度理论 大挠度理论大挠度理论极值点失稳的极值点失稳的P-曲线曲线 以极值点为界，原始平衡状态可分
9、为以极值点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。稳定平衡状态和不稳定平衡状态。极值点上不存在平衡形式的两重性极值点上不存在平衡形式的两重性一般而言，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。一般而言，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。本讲稿第十一页，共五十八页4-1-3 4-1-3 稳定自由度稳定自由度P1 1个自由度个自由度2 2个自由度个自由度无限无限自由度自由度稳定自由度稳定自由度体系产生弹性变形时，确定其体系产生弹性变形时，确定其变形状态变形状态所需的所需的 独立几何参数的数目独立几何参数的数目。PPEIy1y2本讲稿第十二页，共五十八页完善体系分支点失稳分析有完善体系分支点失
10、稳分析有静力法静力法和和能量法能量法。静力法静力法是从是从分支点上具有平衡的二重性出发，分支点上具有平衡的二重性出发，分支点上具有平衡的二重性出发，分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平衡状态建对新的平衡状态建立静力平衡条件立静力平衡条件，从而求得临界荷载。从而求得临界荷载。从而求得临界荷载。从而求得临界荷载。能量法能量法是是对对对对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件，依据临界点系统总势能为驻值，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。进而求得临界荷载。稳定计算的中心问题是确定稳定计算的中心问题是确定临界荷载。临界荷载。4-2 4-2 有限自
11、由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法本讲稿第十三页，共五十八页4-2-14-2-1静力法静力法例例1 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。1 1抗转弹簧抗转弹簧(刚度系数刚度系数k)AP PlB小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：-稳定方程稳定方程(特征方程特征方程)-临界荷载临界荷载解：解：P P本讲稿第十四页，共五十八页 大挠度理论大挠度理论C 小挠度理论小挠度理论P k/lP-曲线曲线 ABO讨论：讨论：1.1.小挠度理论计算结果：小挠度理论计算结果：2.2.大挠度理论计算：大挠度理论计算：临界荷载与临界荷载与是一一对应的是一一对应的本讲稿第十五页，
12、共五十八页例例2 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。C PBAll解：解：P研究体系整体：研究体系整体：研究研究AB：PABHBVB整理得整理得：为使为使y1、y2 不同时为零，令：不同时为零，令：-稳定方程稳定方程本讲稿第十六页，共五十八页-临界荷载临界荷载-失稳形式失稳形式11.618C PBA失稳形式失稳形式本讲稿第十七页，共五十八页例例3 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。已知：已知：已知：已知：k k1 1=k k,k k2 2=3=3k k。PP取取BC为隔离体，为隔离体，解：解：由整体平衡由整体平衡 MA=0，得：，得：y1、y2不能全为零，故：不能全为零，故：稳定方
13、程稳定方程失稳形态失稳形态本讲稿第十八页，共五十八页静力法求临界荷载分析步骤静力法求临界荷载分析步骤静力法求临界荷载分析步骤静力法求临界荷载分析步骤：1 1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡 状态）；状态）；2 2 2 2、由分支点上平衡的两重性出发，、由分支点上平衡的两重性出发，、由分支点上平衡的两重性出发，、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力对新的平衡状态建立静力 平衡方程，由位移为非零解得平衡方程，由位移为非零解得“特征方程特征方程”，也称，也称“稳定方稳定方 程程”；3 3、解特征方程，从而求得临界荷
14、载。、解特征方程，从而求得临界荷载。、解特征方程，从而求得临界荷载。、解特征方程，从而求得临界荷载。本讲稿第十九页，共五十八页4-2-2能量法能量法刚性小球的刚性小球的稳定能量准则稳定能量准则能量取能量取极大值极大值不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态能量取驻值能量取驻值稳定平衡状态稳定平衡状态能量取能量取极小值极小值本讲稿第二十页，共五十八页 与材料力学压杆稳定问题一样，与材料力学压杆稳定问题一样，与材料力学压杆稳定问题一样，与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态的能量特征结构分支点失稳问题临界状态的能量特征结构分支点失稳问题临界状态的能量特征结构分支点失稳问
15、题临界状态的能量特征为：体系总势能为：体系总势能为：体系总势能为：体系总势能E EP P取驻值。取驻值。取驻值。取驻值。定义：体系应变能定义：体系应变能定义：体系应变能定义：体系应变能U U 加外力势能加外力势能加外力势能加外力势能U UP P称为称为称为称为“体系总势能体系总势能体系总势能体系总势能”，记作，记作，记作，记作E EP P 。弹性结构的稳定能量准则弹性结构的稳定能量准则定义：定义：定义：定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称
16、称称称 为为为为“外力势能外力势能外力势能外力势能”，记作，记作，记作，记作U UP P。本讲稿第二十一页，共五十八页解：解：体系应变能：体系应变能：例例4 能量法求结构失稳时的临界荷载。能量法求结构失稳时的临界荷载。lkP外力外力外力外力势能：势能：yP体系总势能：体系总势能：由势能驻值原理：由势能驻值原理：故临界荷载：故临界荷载：能量形式的平衡方程能量形式的平衡方程本讲稿第二十二页，共五十八页C PBAll例例5 能量法求例能量法求例14.2的临界荷载。的临界荷载。解：解：体系应变能：体系应变能：P1 12 2外力外力外力外力势能：势能：体系总势能：体系总势能：本讲稿第二十三页，共五十八页
17、由势能驻值原理：由势能驻值原理：能量形式的平衡方程能量形式的平衡方程为使为使y1、y2 不同时为零，令：不同时为零，令：-稳定方程稳定方程-临界荷载临界荷载本讲稿第二十四页，共五十八页1.1.设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平 衡状态）；衡状态）；2.2.计算体系本身的应变能计算体系本身的应变能计算体系本身的应变能计算体系本身的应变能U U、荷载势能、荷载势能、荷载势能、荷载势能U UP P，从而获得体系的，从而获得体系的，从而获得体系的，从而获得体系的 总势能总势能总势能总势能E EP P=U U+U UP P；3.由由总势能的驻
18、值条件总势能的驻值条件建立以建立以能量形式表示的平衡方程能量形式表示的平衡方程；4.4.由位移为非零解得由位移为非零解得“特征方程特征方程”，也称，也称“稳定方程稳定方程”；5.5.解特征方程，从而求得临界荷载。解特征方程，从而求得临界荷载。解特征方程，从而求得临界荷载。解特征方程，从而求得临界荷载。能量法求临界荷载分析步骤：能量法求临界荷载分析步骤：本讲稿第二十五页，共五十八页 解题思路：解题思路：先对变形状态建立平衡方程，然后根据平先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。不同的是，平衡方
19、程是不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）4-3 4-3 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定静力法静力法本讲稿第二十六页，共五十八页4-3-14-3-1等截面压杆等截面压杆HA例例1 求体系的临界荷载求体系的临界荷载Pcr 。xy Plyx解：解：y PHA规定：规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。正向与杆件纤维凸起方向一致。挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：曲率曲率 的正号规定：的正号规定：若曲率中心位于所设定的若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则轴正向的一侧，则 为正；反之为负。为正；反之为负。挠曲线
20、近似微分方程中的挠曲线近似微分方程中的“”规定：规定：若所设定的弯矩正向引起正值的曲率若所设定的弯矩正向引起正值的曲率 ，则公式中取，则公式中取“+”；反之取反之取“”。本讲稿第二十七页，共五十八页HAxy Plyxy PHA通解为：通解为：由边界条件：由边界条件：得：得：稳定方程稳定方程为使为使B、HA不全为零不全为零(即即y(x)不恒为零不恒为零)：本讲稿第二十八页，共五十八页稳定方程稳定方程经试算：经试算：本讲稿第二十九页，共五十八页例例2 求体系的临界荷载求体系的临界荷载Pcr 。解：解：转化为有弹性支座的单根压杆。转化为有弹性支座的单根压杆。l PlH PA抗转弹簧刚度系数：抗转弹簧
21、刚度系数：在新的平衡状态，在新的平衡状态，抗转弹簧的约束反力矩：抗转弹簧的约束反力矩：本讲稿第三十页，共五十八页挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：Pyxyyx PA通解为：通解为：边界条件：边界条件：得：得：稳定方程稳定方程本讲稿第三十一页，共五十八页稳定方程稳定方程将将 代回方程，由试算法可代回方程，由试算法可得得 ，再由，再由 ，可得，可得临界荷载。临界荷载。PA 讨论讨论 P P本讲稿第三十二页，共五十八页例例3求图示刚架的临界荷载（对称体系的失稳问题）。求图示刚架的临界荷载（对称体系的失稳问题）。P P P P P P解：解：正对称正对称失稳失稳反对称反对称失稳失稳正对称失稳时：
22、正对称失稳时：P P本讲稿第三十三页，共五十八页正对称失稳时正对称失稳时反对称失稳时：反对称失稳时：P P故原结构的临界荷载为：故原结构的临界荷载为：本讲稿第三十四页，共五十八页4-3-2 4-3-2 变截面压杆变截面压杆xyl1l2lI1I2 P Pcry1y2两段的弹性曲线微分方程：解方程解方程本讲稿第三十五页，共五十八页由系数行列式等于零得稳定方程：本讲稿第三十六页，共五十八页xyl1l2lI1I2 P1 P2例例 4 阶形杆的稳定（变截面处还作用有压力阶形杆的稳定（变截面处还作用有压力P2）。）。解：弹性曲线微分方程：解方程：2Dy1y2 P1 P2本讲稿第三十七页，共五十八页展开后，
23、得到特征方程：这个方程只有当I2/I1、l2/l1、P2/P1的比值都给定时才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1 P1 5P1本讲稿第三十八页，共五十八页4-4 4-4 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定能量法能量法解题思路：解题思路：1 1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能；2 2）由时能的驻值条件）由时能的驻值条件=0=0，得到包含待定参数的齐次，得到包含待定参数的齐次方程组方程组；3 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。）令系数行列式等于零，得到特征方程。本讲稿第三十九页，共五十八页 Pl设变形曲线为：dxdx先求弯曲应
24、变能U:微段两端点竖向位移的差值d:本讲稿第四十页，共五十八页势能驻值条件，即令：展开是关于P的n次方程,其最小根即临界荷载。上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。本讲稿第四十一页，共五十八页例1 能量法求临界荷载.解：位移边界条件为：当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy1）设失稳曲线为抛物线 .123166423lEIllEI=01Pacr0)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=:,01a=得由P误差为22%本讲稿第四十二页，共五十八页2）设失稳曲线如右图变形形式 .102
25、lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=-=,96)(213202EIlQdxyEIUl=:0=求得由PQ误差为误差为1.3%1.3%如采用均布荷载下挠曲线计算，精度还可以更高如采用均布荷载下挠曲线计算，精度还可以更高本讲稿第四十三页，共五十八页3）设失稳曲线为正弦线 )(4)(212202llPadxyPUlPp-=-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp=.:,022lEIPcrpdp=得由 正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。本讲稿第四十四页，共五十八页例 2 求均匀竖向荷载作用下的临界
26、荷载.解:当 x=0 时，y=0：x=l 时，1）设失稳曲线为正弦线 ,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=lyxqEIxdx微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：本讲稿第四十五页，共五十八页2）设失稳曲线为(b)中Q引起的挠曲线.微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）本讲稿第四十六页，共五十八页例：图示变截面杆的求Pcr解:当 x=0 时，y=0：x=l 时，y=0设变形曲线为三角级数：先取第一项作为近似的变形曲线xyl P2I2I2I2本讲稿第四十七页，共五十八页再取前两项作为近似的变形曲线系数行列式等于零
27、得到特征方程：两次计算结果相对差值不到 1%，由此可知所得近似结果的精确程度。本讲稿第四十八页，共五十八页4-5 4-5 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响考虑剪力时压杆的挠度为：y=yM+yQ M引起挠度Q引起挠度考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：dxhl PEIABQQdyQg考虑弯矩和剪力影响的挠考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：曲线微分方程：弯矩引起的曲率：剪力引起的曲率计算：本讲稿第四十九页，共五十八页两端铰支的等截面压杆的临界荷载：两端铰支的等截面压杆的临界荷载：l PEIABxyy22lEIPep=即欧拉临界荷载。修正系数6l/d6时
28、可用下式近似计算时可用下式近似计算PcrPcr。以组合压杆情况下的剪力影响代替。它代表单位剪力作用下的切应变。本讲稿第五十二页，共五十八页4-6-14-6-1缀条式组合压杆缀条式组合压杆 由于肢杆的界面比缀条的截面大的多故只考虑缀条产生的位移。Q=1Q=111gdbApAq bzAd本讲稿第五十三页，共五十八页斜杆影响横杆影响A Ap p和和A Aq qA Ad d相当于肢杆间绝对刚相当于肢杆间绝对刚性联结临界荷载与惯性矩为性联结临界荷载与惯性矩为I I的实的实体杆的临界荷载相同。体杆的临界荷载相同。A Ap p和和A Aq qA Ad d相当于肢杆间绝对相当于肢杆间绝对柔性联结临界荷载柔性联
29、结临界荷载0 0。一般情况下组合压杆的临界荷载一般情况下组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小。界荷载要小。斜杆比横杆对临界荷载的影响斜杆比横杆对临界荷载的影响更大。更大。计算长度系数规范中采用公式本讲稿第五十四页，共五十八页4-6-24-6-2缀板式组合压杆缀板式组合压杆 Pd取刚架为计算简图：取刚架为计算简图：设主肢反弯点在结间中点，剪力平均分配与两肢杆。设主肢反弯点在结间中点，剪力平均分配与两肢杆。1/21/21/21/2d/2d/2b1/21/21/21/2IdIb11/211/2g本讲稿第五十五页，共五十八页本讲稿第五十六页，共五十八页计算长度系数（规范中采用公式）（规范中采用公式）本讲稿第五十七页，共五十八页综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。先求出相应的长度系数先求出相应的长度系数：（缀条式）（缀条式）aalpm2 2 02cossin1qdAA+=（缀板式）（缀板式）；2 0 2 2 0lllm d+=22)(lEIPcrm p=代入代入求临界荷载。求临界荷载。本讲稿第五十八页，共五十八页