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1、第四章集中量指标1本讲稿第一页，共二十五页2一、算术平均数的基本公式一、算术平均数的基本公式1、原始数据求算术平均数、原始数据求算术平均数 如果掌握的资料是总体各单位的标志值，而且没有经过分组，则可先将如果掌握的资料是总体各单位的标志值，而且没有经过分组，则可先将各单位的标志值相加得出标志总量，然后再除以总体单位数，这种计算平均各单位的标志值相加得出标志总量，然后再除以总体单位数，这种计算平均数的方法称为简单算术平均数。数的方法称为简单算术平均数。2、分组数据求算术平均数、分组数据求算术平均数 如果掌握的资料是经过分组整理编成了单项数列或组距数列，并且每组如果掌握的资料是经过分组整理编成了单项
2、数列或组距数列，并且每组次数不同时，就应采用加权算术平均数的方法计算算术平均数。次数不同时，就应采用加权算术平均数的方法计算算术平均数。本讲稿第二页，共二十五页3总体标志总量总体单位总数，亦称总次数或总权数本讲稿第三页，共二十五页4注：此方法只适用于各单位标志在组内是均匀分配的情况。注：此方法只适用于各单位标志在组内是均匀分配的情况。本讲稿第四页，共二十五页53、加权数据求算术平均数、加权数据求算术平均数 当研究分析中各个标志值的重要性不一样时，或当总体的几个不同样本容量的样本平均数要合成盛为总体平均数时，我们要用到加权算术平均数。加权算术平均数各标志值的权数 例4-2 评价一位教师要从师德、
3、学识、能力、成绩、工作量五个方面进行考虑，假设这五个方面的重要程度分别为0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。如果一位教师在这五个方面的得分分别为：92、80、88、95、70，则他的综合分计算如下：本讲稿第五页，共二十五页6 例4-3 在某街道抽样调查了四个里委共90户的居民家庭收入，情况如表4-2，试计算户均收入。表4-2 某街道四个里委的居民家庭收入情况户均收入（元）户数（户）里委甲230028里委乙350017里委丙520015里委丁210030 某人买2斤苹果，1斤葡萄。苹果2.8元/斤，葡萄3.0元/斤。老板说，都算2.9元/斤，总共5.7元。谁赚了？本讲稿第六页，共二十五页7二
4、、算术平均数的优缺点二、算术平均数的优缺点（一）优点l反应灵敏l稳定不变l意义简明l适合代数运算l计算简便l包含的信息量大l受抽样的影响较小（二）缺点l易受极端数值影响本讲稿第七页，共二十五页8简单算术平均数加权算术平均数1 算术平均数与总体单位数的乘算术平均数与总体单位数的乘积等于总体各单位标志值的总积等于总体各单位标志值的总和。和。2 如果每个变量值都加或减任意如果每个变量值都加或减任意数值数值A，则平均数也要增多或，则平均数也要增多或减少这个数减少这个数A3 如果每个变量值都乘以或除以如果每个变量值都乘以或除以一个任意数值一个任意数值A，则平均数也，则平均数也乘以或除以这个数乘以或除以这
5、个数A4 各个变量值与算术平均数的离各个变量值与算术平均数的离差之和等于零差之和等于零5 各个变量值与算术平均数的离各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值差平方之和等于最小值三、算术平均数的数学性质三、算术平均数的数学性质本讲稿第八页，共二十五页9一、中位数的概念一、中位数的概念 现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是就是中位数中位数。二、中位数的计算方法二、中位数的计算方法1.由未分组资料确定中位数。首先对某个标志值按大小顺序资料加以排列，然后用下由未分组资料确定中位数。首先对某个标志值按大小顺
6、序资料加以排列，然后用下列公式计算：列公式计算：若总体单位数是偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。若总体单位数是偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。2.由单项数列确定中位数。单项数列确定中位数的方法比较简单：由单项数列确定中位数。单项数列确定中位数的方法比较简单：求中位数的位置（总体单位数之和除以求中位数的位置（总体单位数之和除以2）计算各组的累计次数（向上累计或向下累计次数）计算各组的累计次数（向上累计或向下累计次数）根据中位数位置找出中位数根据中位数位置找出中位数本讲稿第九页，共二十五页10中位数位置中位数位置=80/2=40中位数在累计次数中位数在累计次数
7、40的那一组内，即的那一组内，即本讲稿第十页，共二十五页113.由组距数列确定中位数。由组距数列确定中位数。先按先按f/2确定中位数所在组的位置确定中位数所在组的位置再用比例插值法确定中位数的值。其计算公式如下：再用比例插值法确定中位数的值。其计算公式如下：公式（向上累计时用）公式（向上累计时用）上限公式（向下累计时用）上限公式（向下累计时用）中位数所在组中位数所在组的次数的次数中位数所在组以前一中位数所在组以前一组的累计次数组的累计次数中位数所在组以后一组中位数所在组以后一组的累计次数的累计次数作业4-5本讲稿第十一页，共二十五页12 三、中位数的特点三、中位数的特点与众数一样，也是一种位置
8、平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。与众数一样，也是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平。对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平。本讲稿第十二页，共二十五页13一、众数的概念及众数存在条件一、众数的概念及众数存在条件 众数众数是总体中出现次数最多的标志值，它能直观地说明客观现象分配中是总体中出现次数最多的标志值，它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。如果总体中出现次数最多的标志值不
9、是一个，而是两个，那么的集中趋势。如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么合起来就是合起来就是复众数复众数。众数存在条件：众数存在条件：总体的单位数较多，各标志值的次数分配又有明显的集总体的单位数较多，各标志值的次数分配又有明显的集中趋势。否则就无所谓众数。中趋势。否则就无所谓众数。二、众数的计算方法二、众数的计算方法1.单项数列确定众数的方法单项数列确定众数的方法观察次数，出现次数最多的标志值为众数观察次数，出现次数最多的标志值为众数 例：设某商店某月女式棉毛衫销售情况如下表，试确定棉毛衫尺码的例：设某商店某月女式棉毛衫销售情况如下表，试确定棉毛衫尺码的一般水平。一般水平。因为
10、因为90厘米的销售量厘米的销售量58件，占总量件，占总量40%，为最多，所以尺码的众数为，为最多，所以尺码的众数为 M。=90（厘米）（厘米）表表3-15 3-15 女式棉毛衫销售情况女式棉毛衫销售情况尺码（厘米）尺码（厘米）8080858590909595100100105105比重（比重（%）5154025105销售量（件）销售量（件）684830126 本讲稿第十三页，共二十五页142.组距数列确定众数的方法组距数列确定众数的方法观察次数。首先由最多次数来确定众数所在组，然后再用比观察次数。首先由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法推算众数的近似值。其计算公式为：例插值法推算众数
11、的近似值。其计算公式为：众数组的下限、上限众数组组距众数组次数与以前一组次数之差众数组次数与以后一组次数之差 三、众数的特点三、众数的特点众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口组数列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性和开口组数列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不
12、好确定。则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。P74/练习4-5本讲稿第十四页，共二十五页15四、算术平均数、中位数、众数之间的相互关系四、算术平均数、中位数、众数之间的相互关系 英国统计学家卡尔英国统计学家卡尔皮尔逊认为，当分布只是适当偏态时，三者之间的皮尔逊认为，当分布只是适当偏态时，三者之间的数量关系是：中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数距离的三分数量关系是：中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数距离的三分之一，即关系式：之一，即关系式：这三者的关系，与总体分布的特征有关，可以分为三种情况：这三者的关系，与总体分布的特征有关，可以分为三种情况：本讲稿第
13、十五页，共二十五页161、当总体分布呈现对称状态时，三者合而为一。即、当总体分布呈现对称状态时，三者合而为一。即3、当总体分布呈左偏态时，则、当总体分布呈左偏态时，则2、当总体分布呈右偏态时，则、当总体分布呈右偏态时，则本讲稿第十六页，共二十五页17一、几何平均数的概念一、几何平均数的概念 几何平均数几何平均数又称又称“对数平均数对数平均数”，它是若干个变量值连乘积开其项数次方，它是若干个变量值连乘积开其项数次方的算术根。当各项变量值的连乘积等于总比率或总速度时，适宜用几何平均的算术根。当各项变量值的连乘积等于总比率或总速度时，适宜用几何平均数计算平均比率或平均速度。数计算平均比率或平均速度。
14、二、几何平均数的计算二、几何平均数的计算1、简单几何平均数、简单几何平均数 简单几何平均数是简单几何平均数是n个变量值连乘积的个变量值连乘积的n次方根，其计算公式为：次方根，其计算公式为：几何平几何平均数均数连乘符连乘符号号变量值变量值个数个数本讲稿第十七页，共二十五页18实际计算时，由于变量值个数较多，通常用对数来进行计算，即：实际计算时，由于变量值个数较多，通常用对数来进行计算，即：本讲稿第十八页，共二十五页192、加权几何平均数、加权几何平均数 当各个变量值的次数（权数）不同时，应采用加权几何平均数，其计算当各个变量值的次数（权数）不同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为：公式为：三、
15、几何平均数特点三、几何平均数特点如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法用此方法计算；如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法用此方法计算；受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健；受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健；它适用于反映特定现象的平均水平，即总现象的总标志值不是各单位标志值的总和，它适用于反映特定现象的平均水平，即总现象的总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积。而此类现象，是不能采用算术平均数反映其一般水平而是各单位标志值的连乘积。而此类现象，是不能采用算术平均数反映其一般水平的。的。本讲稿第十九页，共二十五页20一、调和平均数的概念一、调
16、和平均数的概念 调和平均数调和平均数又称又称“倒数平均数倒数平均数”，它是各个变量值倒数的算术平均数的数，它是各个变量值倒数的算术平均数的数数。数。二、调和平均数计算公式二、调和平均数计算公式先计算各个变量值的倒数，即先计算各个变量值的倒数，即 ；计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即 ；再计算这种算术平均数的倒数，即再计算这种算术平均数的倒数，即 ，这就是调和平均数。，这就是调和平均数。也即：也即：简单调和平均数加权调和平均数本讲稿第二十页，共二十五页21根据表根据表3-9资料，计算总平均价格资料，计算总平均价格 （一）由平均数计算平均数时调和平均数法的
17、应用（一）由平均数计算平均数时调和平均数法的应用本讲稿第二十一页，共二十五页22根据表根据表3-10资料，计算总平均价格资料，计算总平均价格 本讲稿第二十二页，共二十五页23例：某公司有三个工厂，已知其计划完成程度（例：某公司有三个工厂，已知其计划完成程度（%）及计划产值资料如表）及计划产值资料如表3-11 或已知其计划完成程度（或已知其计划完成程度（%）及实际产值资料如表）及实际产值资料如表3-12，分别求平均计划，分别求平均计划 完成程度。完成程度。（二）由相对数计算平均数时调和平均数法的应用（二）由相对数计算平均数时调和平均数法的应用本讲稿第二十三页，共二十五页24 三、三、调和平均数的
18、特点调和平均数的特点如果数列中有一标志值等于零，则无法计算调和平均数；如果数列中有一标志值等于零，则无法计算调和平均数；它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响。它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响。与算术平均数比，调和平均数受极端值的影响要小。与算术平均数比，调和平均数受极端值的影响要小。四、算术平均数、几何平均数与调和平均数关系四、算术平均数、几何平均数与调和平均数关系 对同一问题的数据计算得到的三种平均数，它们之间的关系为：对同一问题的数据计算得到的三种平均数，它们之间的关系为：本讲稿第二十四页，共二十五页25四
19、、正确应用平均指标的原则四、正确应用平均指标的原则（一）平均指标只能运用于同质总体（一）平均指标只能运用于同质总体（二）用组平均数补充说明总平均数（二）用组平均数补充说明总平均数(表表3-19)（三）用分配数列补充说明平均数（三）用分配数列补充说明平均数(表表3-20)表表3-19 3-19 两地粮食产量水平的比较情况两地粮食产量水平的比较情况按地势分组按地势分组甲地甲地乙地乙地播种面积播种面积总产量总产量平均亩产平均亩产播种面积播种面积总产量总产量平均亩产平均亩产（亩）（亩）（千克）（千克）（千克）（千克）（亩）（亩）（千克）（千克）（千克）（千克）旱田旱田19019072200722003
20、803802002006400064000320320水田水田70704480044800640640300300186000186000620620合计合计2602601170001170004504505005002500002500005005003-20 3-20 某工业部门各企业年利润计划完成程度情况某工业部门各企业年利润计划完成程度情况按计划完成程度分组按计划完成程度分组（%）企业数企业数按计划完成程度分组按计划完成程度分组（%）企业数企业数858589.9 87.4589.9 87.452 2100100104.9104.94040909094.994.98 8105105109.9109.93030959599.999.91010110110114.9114.91010合计合计100100本讲稿第二十五页，共二十五页