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1、第二章自动控制系统的数学模型第1页，共160页，编辑于2022年，星期三第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型第一节第一节 微分方程、拉氏变换和传递函数微分方程、拉氏变换和传递函数第二节第二节 典型环节的动态特性和传递函数典型环节的动态特性和传递函数第三节第三节 电气环节的负载效应及其传递函数电气环节的负载效应及其传递函数第四节第四节 发电机励磁控制系统及其传递函数发电机励磁控制系统及其传递函数第五节第五节 系统方框图的等效转换和信号流图系统方框图的等效转换和信号流图 及及MasonMason公式公式第六节第六节 常规控制器的基本控制规律、动态常规控制器的基本控制规律、动态
2、 特性和实现方法特性和实现方法第2页，共160页，编辑于2022年，星期三数学模型数学模型1.1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型，数学模型是分析和设计自动控表达式即为数学模型，数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。制系统的基础。2.2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系统的性动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系统的性能
3、进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。第3页，共160页，编辑于2022年，星期三另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任
4、间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLCRLC电路就可以用同一个数电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。学表达式分析，具有相同的数学模型。第4页，共160页，编辑于2022年，星期三 3.表示形式表示形式 a.a.微分方程微分方程b.b.传递函数传递函数c.c.频率特性频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系第5页，共160页，编辑于2022年，星期三 同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时 域响应时可
5、以用传递函数，研究频域响应时则要域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要 用频率特性。用频率特性。4.4.建立方法建立方法 目前工程上采用的方法主要是目前工程上采用的方法主要是 a.a.分析计算法分析计算法(机理模型机理模型)分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及 系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间 的数学表达式，从而建立数学模型的数学表达式，从而建立数学模型适用于简适用于简 单的系统。单的系统。第6页，共160页，编辑于2022年，星期三b.b.工程实验法工程实验法工程实验法：它是利用系统的输入
6、工程实验法：它是利用系统的输入-输出信号来建输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰箱，但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰箱，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，一般情况下，常常可以忽略一型往往是很复杂的，一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化。简化性和准确性折中处些影响较
7、小的因素来简化。简化性和准确性折中处理理第7页，共160页，编辑于2022年，星期三第一节第一节 微分方程、拉氏变换、传递函数微分方程、拉氏变换、传递函数一、一、微分方程的建立微分方程的建立微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。统的运动，必须列写系统的微分方程。1.1.微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化(控制系统的时域数学模型）控制系统的时域数学模型）系统最基本的数学模型是它的微分方程式。系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：建立微分方程的步骤如下：确定系统的输入量和输出量确定
8、系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。节的线性化原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。式。第8页，共160页，编辑于2022年，星期三电气和机械系统中几种最常见的理想元件有：电气和机械系统中几种最常见的理想元件有：1 1电容电容 电容两端电压与电流的关系为：电容两端电压与电流的关系为：2.2.电感电感 流过电感电流与两端的电压的关系为流过电
9、感电流与两端的电压的关系为3.3.弹性力是弹簧的弹性恢复力，与形变量成正比弹性力是弹簧的弹性恢复力，与形变量成正比第9页，共160页，编辑于2022年，星期三4 4阻尼器阻尼器 平动阻尼器阻尼力平动阻尼器阻尼力 旋转阻尼器阻尼力矩旋转阻尼器阻尼力矩 阻尼器本身不存储能量，它吸收能量并以热的阻尼器本身不存储能量，它吸收能量并以热的 形式耗掉形式耗掉第10页，共160页，编辑于2022年，星期三例例1.RLC电路：研究在输入电压电路：研究在输入电压ur(t)作作用下，电容上电压用下，电容上电压uc(t)的变化的变化第11页，共160页，编辑于2022年，星期三第12页，共160页，编辑于2022年
10、，星期三 可知：可知：RLC电路是一个二阶线性常系数微分电路是一个二阶线性常系数微分 方程式方程式第13页，共160页，编辑于2022年，星期三例例2.机械平移系统求在外力机械平移系统求在外力F(t)作用下，物体的作用下，物体的运动轨迹运动轨迹第14页，共160页，编辑于2022年，星期三首先确定：输入首先确定：输入F(t),输出输出x(t)其次：理论依据其次：理论依据1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力牛顿第三定律作用力等于反作用力,现在现在我们单独取出我们单独取出m进行分析进行分析
11、第15页，共160页，编辑于2022年，星期三 写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列。排列。机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：代入得：代入得：第16页，共160页，编辑于2022年，星期三讨论：讨论：这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的
12、数学模型来描述可用相同的数学模型来描述第17页，共160页，编辑于2022年，星期三例例3：图示为电枢控制直：图示为电枢控制直流电动机的转速控制系流电动机的转速控制系统，要求取电枢电压统，要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量，电为输入量，电动机转动机转m(t)(rad/s)为输为输出量，列写微分方程。出量，列写微分方程。图中图中Ra()、La(H)分别分别是电枢电路的电阻和电是电枢电路的电阻和电感，感，Mc(NM)是折合到是折合到电动机轴上的总负载转电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。矩。激磁磁通为常值。第18页，共160页，编辑于2022年，星期三解：解：电枢控制直流电动机的工作实质是
13、将输入的电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程电磁转矩方程 电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程第19页，共160页，编辑于2022年，星期三电枢回路电压
14、平衡方程：电枢回路电压平衡方程：Ea Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)Ua(t)相反，即相反，即（1）（2）第20页，共160页，编辑于2022年，星期三第21页，共160页，编辑于2022年，星期三第22页，共160页，编辑于2022年，星期三第23页，共160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。拉普拉斯的著
15、名杰作天体力学，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。宇宙系统论是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）第24页，共160页，编辑于2022年，星期三2.1 复数和复变函数
16、复数和复变函数 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念 复数复数 s s=+j （有一个实部（有一个实部 和一个虚部和一个虚部，和和 均为实数）均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换称为称为虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位 第25页，共160页，编辑于2022年，星期三 复数的表示法复数的表示法复数的表示法复数的表示法 对于复数对于复数 s s=+j 复复复复平平平平面面面面：以以 为为横横坐坐标标(实
17、实轴轴)、为为纵纵坐坐标标(虚虚轴轴)所所构构成成的的平平面面称称为为复复平平面面或或s s平平面面。复复数数 s s=+j+j 可可在在复复平平面面s s中中用用点点(,)表表示示：一个复数对应于复平面上的一个点。一个复数对应于复平面上的一个点。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o复平面复平面s s 1 2j 1 2s1=1+j 1s2=2+j 2第26页，共160页，编辑于2022年，星期三 复数的向量表示法复数的向量表示法复数的向量表示法复数的向量表示法 复数复数 s s=+j+j 可以用从原点指向点可以用从原点指向点(,)的向量表示。的向量表示。向量的长度称为复数的模：向量的长
18、度称为复数的模：2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|向向量量与与 轴轴的的夹夹角角 称称为复数为复数s s的复角：的复角：第27页，共160页，编辑于2022年，星期三 复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法与与与与指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法 根据复平面的图示可得：根据复平面的图示可得：=r r coscos ，=r r sinsin 复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法：s s=r r(cos(cos +j sin+j sin )2.2.
19、1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：欧拉公式：复数的复数的复数的复数的指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法：第28页，共160页，编辑于2022年，星期三 复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念 以复数以复数s s=+j+j 为自变量构成的函数为自变量构成的函数G G(s s)称为复变函数：称为复变函数：G G(s s)=u u+j+jv v式中式中式中式中：u u、v v 分别为复变函数的实部和虚部。分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函
20、数(a)当当s s=-z zi i时，时，G G(s s)=0=0，则，则s si i=-z zi i称为称为G G(s s)的的 零点零点零点零点 ；分子为零分子为零分母为零分母为零 通通常常，在在线线性性控控制制系系统统中中，复复变变函函数数G G(s s)是是复复数数s s的的单单值值函函数数。即即：对对应应于于s s的的一一个个给给定定值值，G G(s s)就就有有一一个个唯唯一一确确定定的的值值与与之之相相对对应。应。当复变函数表示成当复变函数表示成(b)当当s s=-p pj j时，时，G G(s s)，则，则s sj j=-p pj j称为称为G G(s s)的的 极点极点极点极
21、点 。第29页，共160页，编辑于2022年，星期三2.2.2 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉拉氏氏变变换换是是控控制制工工程程中中的的一一个个基基本本数数学学方方法法，其其优优点点是是能能将将时时间间函函数数的的导导数数经经拉拉氏氏变变换换后后，变变成成复复变变量量s s的的乘乘积积，将将时时间间表表示示的的微微分分方方程程，变成以变成以s s表示的代数方程。表示的代数方程。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换复变量原函数象函数拉氏变换符号拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯变变变变换换换换：在在一一定定条条件件下下，把把实实数数域域中中的的实实变变函函数数 f(t)变变换换到复数域内与之
22、等价的复变函数到复数域内与之等价的复变函数 F(s)。设设有有时时间间函函数数 f(t)，当当 t 0)象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数)1s2(t)(单位脉冲函数)13K (常数)Ks4t (单位斜坡函数)1s2第37页，共160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续1)1)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数 f(t)(t 0)象函数 F(s)=Lf(t)5t n (n=1,2,)n!s n+16e-at1s+a7tn e-at (n=1,2,)n!(s+a)n+18 1 T1Ts+1tTe第38页，共
23、160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续2)2)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数 f(t)(t 0)象函数 F(s)=Lf(t)9sints2+210costss2+211e-at sint(s+a)2+212e-at costs+a(s+a)2+2第39页，共160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续3)3)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数 f(t)(t 0)象函数 F(s)=Lf(t)13 (1-e-a
24、t)1s(s+a)14 (e-at-e-bt)1(s+a)(s+b)15 (be-bt-ae at)s(s+a)(s+b)16sin(t+)cos+s sins2+21a1b-a1b-a第40页，共160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续4)4)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数 f(t)(t 0)象函数 F(s)=Lf(t)17 e-nt sinn 1-2 tn2s2+2ns+n218 e-nt sinn 1-2 t1s2+2ns+n219 e-nt sin(n 1-2 t-)ss2+2ns+n2 =arctan
25、n1-21 n 1-211-21-2 第41页，共160页，编辑于2022年，星期三拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续5)5)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数 f(t)(t 0)象函数 F(s)=Lf(t)20 1-e-nt sin(n 1-2 t +)n2s(s2+2ns+n2)=arctan211-cost 2s(s2+2)22t-sint2s(s2+2)23 t sint2s(s2+2)211-21-2 第42页，共160页，编辑于2022年，星期三第43页，共160页，编辑于2022年，星期三第44页，共160页，编辑于2022年，星
26、期三第45页，共160页，编辑于2022年，星期三第46页，共160页，编辑于2022年，星期三第47页，共160页，编辑于2022年，星期三第48页，共160页，编辑于2022年，星期三第49页，共160页，编辑于2022年，星期三第50页，共160页，编辑于2022年，星期三第51页，共160页，编辑于2022年，星期三三三 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 (1)拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义 将将象象函函数数F(s)变变换换成成与与之之相相对对应应的的原原函函数数f(t)的的过过程程，称称之之为为拉普拉斯反变换。其公式：拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉
27、拉氏氏反反变变换换的的求求算算有有多多种种方方法法，如如果果是是简简单单的的象象函函数数，可可直直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法。简写为：简写为：第52页，共160页，编辑于2022年，星期三 如果把如果把 f(t)的拉氏变换的拉氏变换 F(s)分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 假假若若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的的拉拉氏氏反反变变换换很很容容易易由由拉拉氏氏变换表查得，那么变换表查得，那么 当当 F(s)不不能能很很简简单单地地分分解解成成各各
28、个个部部分分之之和和时时，可可采采用用部部分分分分式式展展开开将将 F(s)分分解解成成各各个个部部分分之之和和，然然后后对对每每一一部部分分查查拉拉氏氏变变换换表表，得得到到其其对对应应的的拉拉氏氏反反变变换换函函数数，其其和和就就是是要要得得的的 F(s)的的拉拉氏氏反反变变换换 f(t)函数。函数。第53页，共160页，编辑于2022年，星期三第54页，共160页，编辑于2022年，星期三 (2)(2)部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中A(s
29、)和和B(s)是是s的多项式，的多项式，B(s)的阶次较的阶次较A(s)阶次要高。阶次要高。对对于于这这种种称称为为有有理理真真分分式式的的象象函函数数 F(s)，分分母母 B(s)应应首首先先进进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s)的拉氏反变换函数。的拉氏反变换函数。第55页，共160页，编辑于2022年，星期三 将分母将分母 B(s)进行因子分解，写成：进行因子分解，写成：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式式中中，p1，p2，pn称称为为B(s)的的根根，或或F(s)的的极极点点，它它们们可可以以是是实实数数，也可能为复数。如果是复
30、数，则一定成对共轭的。也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。第56页，共160页，编辑于2022年，星期三 (1)(1)分母分母分母分母B B(s)无重根无重根无重根无重根 此时，此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即总可以展成简单的部分分式之和。即式中，式中，ak(k=1,2,n)是常数，系数是常数，系数 ak 称为极点称为极点 s=-pk 处的留数。处的留数。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第57页，共160页，编辑于2022年，星期三 ak 的的值值可可以以用用在在在在等等等等式式式式两两两两边边边边乘乘乘乘以以以以 (s s+p pk k)，并并并并把把把把 s
31、s=-p pk k代代代代入入入入的的的的方方方方法法法法求求出。即出。即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第58页，共160页，编辑于2022年，星期三 在在所所有有展展开开项项中中，除除去去含含有有 ak 的的项项外外，其其余余项项都都消消失失了了，因因此留数此留数 ak 可由下式得到可由下式得到 因因为为 f(t)时时间间的的实实函函数数，如如 p1 和和 p2 是是共共轭轭复复数数时时，则则留留数数 1 和和 2 也也必必然然是是共共轭轭复复数数。这这种种情情况况下下，上上式式照照样样可可以以应应用用。共共轭轭复复留留数数中中，只只需需计计算算一一个个复复留留数数 1(或或 2)
32、，而而另另一一个个复复留留数数 2(或或 1)，自然也知道了。，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第59页，共160页，编辑于2022年，星期三例题例题1 求求F(s)的拉氏反变换，已知的拉氏反变换，已知解解由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第60页，共160页，编辑于2022年，星期三因此因此查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第61页，共160页，编辑于2022年，星期三第62页，共160页，编辑于2022年，星期三解：解：分母多项式可以因子分解为分母多项式可以因子分解为进行因子分解后，可
33、对进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式展开成部分分式2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例题例题2 求求L-1F(s)，已知，已知第63页，共160页，编辑于2022年，星期三2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得由于由于 2与与 1共轭，故共轭，故第64页，共160页，编辑于2022年，星期三所以所以2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第65页，共160页，编辑于2022年，星期三2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得第66页，共160页，编辑于2022年，星期三 (2)分母分母B(s)有重根有重根 若
34、有三重根，并为若有三重根，并为p1，则，则F(s)的一般表达式为的一般表达式为式式中中系系数数 2,3,n仍仍按按照照上上述述无无重重根根的的方方法法(留留数数计计算算公公式式)，而而重重根的系数根的系数 11,12,13可按以下方法求得。可按以下方法求得。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第67页，共160页，编辑于2022年，星期三2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 依此类推，当依此类推，当 p1 为为 k 重根时，其系数为：重根时，其系数为：第68页，共160页，编辑于2022年，星期三例题例题3 已知已知F(s)，求，求L-1F(s)。解解p1=-1，p1有三重根。有三重根
35、。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第69页，共160页，编辑于2022年，星期三由上述公式由上述公式2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第70页，共160页，编辑于2022年，星期三查拉氏变换表，有查拉氏变换表，有2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换因此，得：因此，得：第71页，共160页，编辑于2022年，星期三 利用拉氏变换解微分方程的步骤：利用拉氏变换解微分方程的步骤：(1)对对给给定定的的微微分分方方程程等等式式两两端端取取拉拉氏氏变变换换，变变微微分分方方程程为为 s s 变变量的代数方程。量的代数方程。(2)对对以以 s s 为为变变换换的的代代数数方方程程加加以以
36、整整理理，得得到到微微分分方方程程求求解解的的变变量量的的拉拉氏氏表表达达式式。对对这这个个变变量量求求拉拉氏氏反反变变换换，即即得得在在时时域域中中（以以时时间间 t t 为为参变量）微分方程的解。参变量）微分方程的解。采采用用拉拉氏氏反反变变换换的的方方法法，可可以以求求得得线线性性定定常常微微分分方方程程的的全全解解(补补解解和和特特解解)。求求解解微微分分方方程程，可可以以采采用用数数学学分分析析方方法法(经经典典方方法法)，也也可可以以采采用用拉拉氏氏变变换换方方法法。采采用用拉拉氏氏变变换换法法求求解解微微分分方方程程是是带带初初值值进进行行运运算算的的，许多情况下应用更为方便。许
37、多情况下应用更为方便。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第72页，共160页，编辑于2022年，星期三例题例题 解方程解方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程其中：其中：解：解：将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得将将 代入，并整理，得代入，并整理，得所以所以第73页，共160页，编辑于2022年，星期三第74页，共160页，编辑于2022年，星期三第75页，共160页，编辑于2022年，星期三第76页，共160页，编辑于2022年，星期三三、传递函数三、传递函数1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入定义：零初始条件下，系统输出量的拉
38、氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。表示。设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是第77页，共160页，编辑于2022年，星期三 c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次即为系统的阶次。第78页，共160页，编辑于2022年，星期三2.2.性质性质(1)(1)因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以因为组成系
39、统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)G(s)的分母次的分母次数大于等于分子次数，即数大于等于分子次数，即mn,mn,若若mn,mn,这是物理不可实现的系这是物理不可实现的系统。统。(2)(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）递函数有效地描述了系统的固有特性。）(3)(3)传递函数与线性定常微分方程一一对应。传递函数与线性定常微分方程一一对应。(4)(4)只能描述线性
40、定常系统与单输入单输出系统，且只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且 内部许多中间变量内部许多中间变量的变化情况无法反映。的变化情况无法反映。(5)(5)只能反映只能反映零初始条件零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。始条件引起的输出。第79页，共160页，编辑于2022年，星期三3.3.传递函数的求法传递函数的求法(1)(1)根据系统的微分方程求传递函数。比如根据系统的微分方程求传递函数。比如RLC电路电路解：系统微分方程已经求出：解：系统微分方程已经求出：设系统的初始条件为零，对上式两端求拉氏变换，得设系统的初始条件为零，对
41、上式两端求拉氏变换，得根据传递函数定义，可得：根据传递函数定义，可得：第80页，共160页，编辑于2022年，星期三（2）用复阻抗的概念求电路的传递函数用复阻抗的概念求电路的传递函数电气元件的运算阻抗：是指在电气元件中流过电流电气元件的运算阻抗：是指在电气元件中流过电流i(t)i(t)时。若是两端电压为时。若是两端电压为U(t)U(t)，且初始条件为，且初始条件为0 0，则电压电，则电压电流的拉氏变换之比。即：流的拉氏变换之比。即：或或第81页，共160页，编辑于2022年，星期三 各种电气元件的运算电路图及运算阻抗各种电气元件的运算电路图及运算阻抗对于电阻元件对于电阻元件取拉氏变换得：取拉氏
42、变换得：U(t)Ri(t)I(s)RU(s)第82页，共160页，编辑于2022年，星期三 电感电感取拉氏变换得：取拉氏变换得：i(t)LU(t)I(s)LSU(s)第83页，共160页，编辑于2022年，星期三 电容电容取拉氏变换得：取拉氏变换得：i(t)CU(t)I(s)1/CSU(s)第84页，共160页，编辑于2022年，星期三 RLC电路的传递函数电路的传递函数 由电路理论可知，电阻由电路理论可知，电阻R R的复阻抗仍为的复阻抗仍为R R，电容的复阻抗为，电容的复阻抗为 ，电感的复阻抗为，电感的复阻抗为Ls,Ls,普通阻抗的串、并联计算方法完全可以普通阻抗的串、并联计算方法完全可以用
43、于复阻抗网络等效复阻抗的计算用于复阻抗网络等效复阻抗的计算 第85页，共160页，编辑于2022年，星期三第二节第二节 典型环节的动态特性和传递函数典型环节的动态特性和传递函数 常常见见典典型型环环节节有有比比例例环环节节、积积分分环环节节、微微分分环环节节、惯惯性性环环节节、振荡环节和延迟环节等。振荡环节和延迟环节等。一、比例环节（电位器一、比例环节（电位器,变压器，放大器变压器，放大器,杠杆杠杆,齿轮系等）齿轮系等）输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)拉氏变换为：拉氏变换为：
44、Xo(s)=KXi(s)x xo o(t)(t)、x xi i(t)(t)分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；KK比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。与输入量之比。比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 第86页，共160页，编辑于2022年，星期三输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，T T积分环节的时间常数。积分环节的时间常数。二、积分环节（二、积分环节（RCRC电路，纯电感电路，液压活塞机构）电路，纯电感电路，液压活
45、塞机构）第87页，共160页，编辑于2022年，星期三输出量正比于输入量对时间的微分。输出量正比于输入量对时间的微分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，T T微分环节的时间常数。微分环节的时间常数。三、微分环节（测速发电机，运算放大器组成的微分回路）三、微分环节（测速发电机，运算放大器组成的微分回路）r(t)t0 x0c(t)t0T输入阶跃函数的幅值为输入阶跃函数的幅值为x0输出函数为单位脉冲函数输出函数为单位脉冲函数第88页，共160页，编辑于2022年，星期三 理理想想的的微微分分环环节节在在物物理理系系统统中中很很少少独独立立存存在在，常常见见的的为为带带有惯性
46、环节的微分特性，传递函数为：有惯性环节的微分特性，传递函数为：测速发电机和微分运算放大器属于理想微分环节的实测速发电机和微分运算放大器属于理想微分环节的实例，实际例，实际RC,RL回路属于实际微分环节实例回路属于实际微分环节实例第89页，共160页，编辑于2022年，星期三四惯性环节（四惯性环节（RCRC，电枢控制直流电机，电加热炉），电枢控制直流电机，电加热炉）惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列一阶微分方程来描述：间的关系可用下列一阶微分方程来描述：对应的传递函数为：对应的传递函数为：式中式中 T T惯性环节的时间常数，惯
47、性环节的时间常数，表征环节的惯表征环节的惯 性，和环节结构参数有关性，和环节结构参数有关 K K比例系数。比例系数。第90页，共160页，编辑于2022年，星期三在单位阶跃输入信号作用在单位阶跃输入信号作用下，惯性环节的输出是非下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当时间周期的指数函数。当时间 t=(3-4)T以上时，输出量以上时，输出量才接近其稳态值。才接近其稳态值。特点：特点：惯性环节由一种储能元件和一种阻尼组成。惯性环节由一种储能元件和一种阻尼组成。含一个储能元件，对突变的输入含一个储能元件，对突变的输入,其输出其输出不能立即复现，不能立即复现，输出无振荡。输出无振荡。实例：实例：RCR
48、C网络，直流伺服电动机的传递函数也包网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。含这一环节。第91页，共160页，编辑于2022年，星期三是二阶微分方程环节，含有两个独立的储能是二阶微分方程环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为导致输出带有振荡的性质，其运动方程为 传递函数：传递函数：五振荡环节五振荡环节（RLCRLC，弹簧，弹簧-质量质量-阻尼器系统）阻尼器系统）式中式中 T时间常数；时间常数；阻尼系数（阻尼比），且阻尼系数（阻尼比），且0 1。第92页，共160页，编辑于2022年，星期三式
49、中，式中，T 0，0 比例度比例度比例度就是使控制器的输出变化满刻比例度就是使控制器的输出变化满刻度时，相应的仪表测量值变化占仪表度时，相应的仪表测量值变化占仪表测量范围的百分比。测量范围的百分比。比例度的动画比例度的动画第147页，共160页，编辑于2022年，星期三第148页，共160页，编辑于2022年，星期三v比例度与系统稳定性的关系比例度与系统稳定性的关系:越小，控制作用越强，但并不是越小，控制作用越强，但并不是 越越小越好小越好。比例度对过渡过程的影响 小于临界值时，发散振荡，系统不稳定；小于临界值时，发散振荡，系统不稳定；等于临界值时，等幅振荡，系统处于稳定等于临界值时，等幅振荡
50、，系统处于稳定与不稳定之间；与不稳定之间；适当时，衰减振荡，系统稳定；适当时，衰减振荡，系统稳定；太大时，非周期振荡，系统较稳定。太大时，非周期振荡，系统较稳定。总之总之 越大，过渡过程曲线越平衡，但越大，过渡过程曲线越平衡，但余差也越大余差也越大。第149页，共160页，编辑于2022年，星期三比例控制特点：是最基本、最主要、应用最普比例控制特点：是最基本、最主要、应用最普遍，它能迅速克服扰动的影响，使系统很快稳遍，它能迅速克服扰动的影响，使系统很快稳定。定。适用场合：扰动幅度较小、负荷变化不大、过适用场合：扰动幅度较小、负荷变化不大、过程时滞较小或控制要求不高的场合。程时滞较小或控制要求不