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1、第三章第三章 离散付氏变换离散付氏变换第1页，共64页，编辑于2022年，星期二主要内容主要内容n离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）n离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）n抽样抽样z变换变换频域抽样理论频域抽样理论第2页，共64页，编辑于2022年，星期二3.1 引言引言傅里叶变换的几种形式：傅里叶变换的几种形式：时间函数时间函数 频率函数频率函数n连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换n连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数n离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换n离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离
2、散傅里叶变换第3页，共64页，编辑于2022年，星期二 FT3.2 傅里叶变换的几种可能形式傅里叶变换的几种可能形式第4页，共64页，编辑于2022年，星期二 FS 时域周期化，频域离散化时域周期化，频域离散化第5页，共64页，编辑于2022年，星期二时域离散化时域离散化，频域周期化频域周期化。DTFT第6页，共64页，编辑于2022年，星期二但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。因此，我们感兴趣的是因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散时域
3、及频域都是离散的情的情况。况。若时域离散并周期化若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。频域周期化并离散化。第7页，共64页，编辑于2022年，星期二四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期连续和非周期非周期和连续非周期和连续连续和周期连续和周期(T0)非周期和离散非周期和离散(0=2/T0)离散离散(T)和非周期和非周期周期周期(s=2/T)和连续和连续离散离散(T)和周期和周期(T0)周期周期(s=2/T)和离散和离散(0=2/T0)第8页，共64页，编辑于2022年，星期二3.3 离散傅里叶级数离散傅里叶级数DFS(Discrete
4、Fourier Series)连续周期信号连续周期信号:周期序列周期序列 (r 为整数为整数,N 为周期为周期)第9页，共64页，编辑于2022年，星期二周期序列的周期序列的DFS正变换和反变换：正变换和反变换：其中：其中：第10页，共64页，编辑于2022年，星期二一般性的周期为一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换的周期性序列的傅里叶变换第11页，共64页，编辑于2022年，星期二 可看作是对可看作是对 的一个周的一个周期期 做做z z变换然后将变换然后将z z变换在变换在z z平面单位圆上按等间隔角平面单位圆上按等间隔角 抽样得到抽样得到K=01234567jImRez|z|=1N=8
5、第12页，共64页，编辑于2022年，星期二DFSDFS的图示说明的图示说明第13页，共64页，编辑于2022年，星期二例：周期序列例：周期序列 展开为展开为DFSDFS，求其系数。，求其系数。解：解：方法方法1 1 整理整理x(n)有有(N=12)(N=12)：与与DFSDFS定义对比知：在定义对比知：在 和和 时：时：方法方法2 2 由定义式直接计算，得由定义式直接计算，得 第14页，共64页，编辑于2022年，星期二-2 -1 0 1 2 11 12 nN=12-2 -1 0 1 2 11 12 k6第15页，共64页，编辑于2022年，星期二第16页，共64页，编辑于2022年，星期二
6、第17页，共64页，编辑于2022年，星期二第18页，共64页，编辑于2022年，星期二3.4 离散傅里叶级数离散傅里叶级数的性质的性质FSFS性性1、线性：、线性：其中，其中，为任意常数为任意常数若若则则第19页，共64页，编辑于2022年，星期二2、序列的移位、序列的移位第20页，共64页，编辑于2022年，星期二3、调制特性、调制特性第21页，共64页，编辑于2022年，星期二4、对偶性、对偶性证：证：第22页，共64页，编辑于2022年，星期二5、周期卷积和、周期卷积和若若则则讨论讨论:周期卷积与线性卷积周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一的区别在于：周期卷积求和只在一周期
7、内进行。周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在注意周期信号的线性卷积不存在)式中的卷积称为式中的卷积称为周期卷积周期卷积第23页，共64页，编辑于2022年，星期二第24页，共64页，编辑于2022年，星期二第25页，共64页，编辑于2022年，星期二第26页，共64页，编辑于2022年，星期二0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4
8、5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -110 8 6 10 14 12 第27页，共64页，编辑于2022年，星期二同样，利用对称性同样，利用对称性 若若则则第28页，共64页，编辑于2022年，星期二3.5 离散傅里叶变换离散傅里叶变换有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示n在进行在进行DFSDFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列期序列n周期序列实际上只有有限个序列值有意义周期序列实际上只有有限个序列值有意义n长度为长度为N N的有限长序列可以看成周期为的
9、有限长序列可以看成周期为N N的周期序的周期序列的一个周期（主值序列）列的一个周期（主值序列）n借助借助DFSDFS变换对，取时域、频域的主值序列可以变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换得到一个新的变换DFTDFT，即有限长序列的离散傅，即有限长序列的离散傅里叶变换里叶变换第29页，共64页，编辑于2022年，星期二另外一种写法是其中其中 表示对表示对 n 取模取模N 运算运算(或模或模 N的余数的余数)。对周期信号而言对周期信号而言,或或 。第30页，共64页，编辑于2022年，星期二举例：举例：设周期为设周期为 N=6 N=6。则有周期序列和求余运算：。则有周期序列和求余运算
10、：或或 这是因为：这是因为：(19=36+1)(19=36+1)同理同理 或或 这是因为：这是因为：(-2=-16+4)(-2=-16+4)同样：同样：X(k)也是一个也是一个N点的有限长序列点的有限长序列第31页，共64页，编辑于2022年，星期二有限长序列的有限长序列的DFTDFT定义式定义式第32页，共64页，编辑于2022年，星期二关于离散傅里叶变换关于离散傅里叶变换(DFT)：n序列序列x(n)在时域是有限长的在时域是有限长的(长度为长度为N)，它的离散傅，它的离散傅里叶变换里叶变换X(k)也是离散、有限长的也是离散、有限长的(长度也为长度也为N)。nn为时域变量，为时域变量，k为频
11、域变量。为频域变量。n离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。也隐含有周期性。n离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。具有唯一性。nDFT的物理意义：序列的物理意义：序列x(n)的的Z变换在单位圆上的等变换在单位圆上的等角距取样。角距取样。第33页，共64页，编辑于2022年，星期二x(n)的的N点点DFT是是n x(n)的的z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔抽样；点等间隔抽样；n x(n)的的DTFT在区间在区间0,2上的上的N点等间隔
12、抽样。点等间隔抽样。第34页，共64页，编辑于2022年，星期二例例1 1、计算、计算 (N=12)(N=12)的的N N点点DFT.DFT.解：解：第35页，共64页，编辑于2022年，星期二第36页，共64页，编辑于2022年，星期二第37页，共64页，编辑于2022年，星期二第38页，共64页，编辑于2022年，星期二N=4点的点的DFT？第39页，共64页，编辑于2022年，星期二3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质1、线性、线性这里，序列长度及这里，序列长度及DFT点数均为点数均为N若不等，分别为若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，则需补零使两序列长度相等
13、，均为均为N，且，且若若则则第40页，共64页，编辑于2022年，星期二n 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。对频谱幅度无影响。n时域序列的调制等效于频域的圆周移位时域序列的调制等效于频域的圆周移位2 2、圆周移位、圆周移位第41页，共64页，编辑于2022年，星期二q从图中两虚线之间的主从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以值序列的移位情况可以看出：看出：q当主值序列左移当主值序列左移m m个样个样本时，从右边会同时移进本时，从右边会同时移进m m个样本个样本q好像是刚向左边移出的好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移那些
14、样本又从右边循环移了进来了进来q因此取名因此取名“循环移位循环移位”。q显然，循环移位不同于显然，循环移位不同于线性移位线性移位 第42页，共64页，编辑于2022年，星期二其中其中 ；同理可证另一公式。；同理可证另一公式。证：证：推论：推论：第43页，共64页，编辑于2022年，星期二若若则则证：证：3 3、对偶性、对偶性第44页，共64页，编辑于2022年，星期二4 4、圆周共轭对称性、圆周共轭对称性其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：第45页，共64页，编辑于2022年，星期二定义：定义：则任意有限长序列：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对
15、称序列：圆周共轭对称序列：第46页，共64页，编辑于2022年，星期二设设N点复数序列点复数序列 证明：证明：则则 第47页，共64页，编辑于2022年，星期二同理可证明：同理可证明：第48页，共64页，编辑于2022年，星期二序列序列 DFT共轭对称性共轭对称性第49页，共64页，编辑于2022年，星期二序列序列 DFT实实数数序序列列的的共共轭轭对对称称性性纯纯虚虚数数序序列列的的共共轭轭对对称称性性第50页，共64页，编辑于2022年，星期二 例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用一点的实数序列，试用一次次N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DF
16、T:第51页，共64页，编辑于2022年，星期二第52页，共64页，编辑于2022年，星期二五、五、Parseval Theory若令若令 y(n)=x(n)表明序列时域、频域能量相等表明序列时域、频域能量相等第53页，共64页，编辑于2022年，星期二六、圆周卷积和六、圆周卷积和圆周卷积圆周卷积A A：设设则则实际上，实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列圆周卷积为周期卷积的主值序列。即。即圆周卷积圆周卷积B B：设设圆周卷积记为圆周卷积记为NN第54页，共64页，编辑于2022年，星期二圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶4）圆周移位，取主值序列5）相乘相加NN第55页，共64页，编辑
17、于2022年，星期二两个两个N N点序列的点序列的N N点圆周卷积得到点圆周卷积得到的结果仍为的结果仍为N N点序点序列。列。m N-m 1 N-1 2 N-2 3 N-3 讨论讨论1:1:圆周卷积的物理意义图示说明圆周卷积的物理意义图示说明第56页，共64页，编辑于2022年，星期二讨论讨论2:2:圆周卷积与线性卷积：圆周卷积与线性卷积：1)1)设设有限长有限长(N(N点点)有限长有限长(M(M点点)则线性卷积则线性卷积有限长有限长(N+M-1)(N+M-1)2)2)而作长度为而作长度为L L的圆周卷积的圆周卷积，即即(周期卷积周期卷积)其中其中L第57页，共64页，编辑于2022年，星期二
18、则则L点的圆周卷积是线性卷积以点的圆周卷积是线性卷积以L为周期的为周期的周期延拓序列的主值序列周期延拓序列的主值序列(补零补零)存在交叠现象存在交叠现象这就是利用这就是利用DFTDFT计算线性卷积的方法和要求，即可计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFTDFT运算计算线性卷积。运算计算线性卷积。第58页，共64页，编辑于2022年，星期二)(nxn0 01 1N=4N=43 3M=6=6)(nyn0 01 15 5)(nfn0 01 18 8L=6L=6Lmy)0(-m0 01 15 5L=6L=6)(6nfn
19、4 45 5L=8L=8m0 01 17 7L=9L=9m0 01 18 8)(8nfn0 02 27 7L=8L=8)(nfLn0 01 18 891=-+MNL0 0Lmy)0(-Lmy)0(-第59页，共64页，编辑于2022年，星期二讨论讨论3:3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积周期卷积、圆周卷积与线性卷积 周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。作圆周卷积作圆周卷积 时，应先将两者时，应先将两者“补零补零”至长度为至长度为L L点的点的序列
20、后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L L点的周期序列点的周期序列(即周期延拓即周期延拓)的。的。线性卷积的线性卷积的DFTDFT计算方法要求计算方法要求DFTDFT点数点数 L=N+M-1 L=N+M-1。补L-N个零x(n)L点DFT补L-M个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n)=x(n)*h(n)第60页，共64页，编辑于2022年，星期二 物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFSDFS系数系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFTDFT变换结变换结果运算的关系（是有限序列运算与对应的频谱运算的果运算的关系（是有限序列运算与对应的频谱运算的关系）。关系）。第61页，共64页，编辑于2022年，星期二七、线性相关与圆周相关七、线性相关与圆周相关线性相关：线性相关：自相关函数：自相关函数：第62页，共64页，编辑于2022年，星期二圆周相关定理圆周相关定理当当 时，时，圆周相关可完全代表线性相关圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系第63页，共64页，编辑于2022年，星期二138页：3 5（1）（2）8第64页，共64页，编辑于2022年，星期二