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1、工程力学能量方法1你现在浏览的是第一页，共33页13.1 概述概述13.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算13.3 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式13.4 互等定理互等定理13.5 卡氏定理卡氏定理13.6 虚功原理虚功原理13.7 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分13.8 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法第十三章第十三章 能量方法能量方法2你现在浏览的是第二页，共33页13.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上
2、等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。3你现在浏览的是第三页，共33页2.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：4你现在浏览的是第四页，共33页 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。13.3 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式5你现在浏览的是第五页，共33页MN 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：解：用能量法能量法（外力功等于应变能）求内力APROQMTAAPN
3、Bj jTO6你现在浏览的是第六页，共33页 外力功等于应变能 变形能：7你现在浏览的是第七页，共33页 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf8你现在浏览的是第八页，共33页13.4 互等定理互等定理求任意点A的位移f A。一、定理的证明：一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P=1q(x)fA图b A=1P09你现在浏览的是第九页，共33页 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理10你现在浏览的是第十页，共33页三、使用莫尔定理的注意事项：三
4、、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移点，沿所求广义位移广义位移的方向加广义单位力广义单位力时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。11你现在浏览的是第十一页，共33页 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图 求内力BAaaCqBAaaC0P=1x12你现在浏览的是第十二页，共33页 变形BAaaC0P=1BAaaCqx()13你现在浏览的是第十三页，共33页 求转角，重建坐标系（
5、如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()()()()(00)(00+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=014你现在浏览的是第十四页，共33页 例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P015你现在浏览的是第十五页，共33页 变形()16你现在浏览的是第十六页，共33页13.5 卡氏定理卡氏定理给Pn 以增量 dPn，则：1.先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：2.先给物体
6、加力 dPn，则：一、定理证明一、定理证明 d dn17你现在浏览的是第十七页，共33页再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：d dnn=nPU d d第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano，18471884)18你现在浏览的是第十八页，共33页二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 n n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当无与 n n对应的 Pn 时，先加一沿 n n 方向的 Pn，求偏导后，再令其为零。d d
7、n19你现在浏览的是第十九页，共33页三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：20你现在浏览的是第二十页，共33页 例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形 求内力解解：求求挠度挠度，建坐标系 将内力对PA求偏导ALPEIxO()21你现在浏览的是第二十一页，共33页求转角求转角 A 求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。()将内力对MA求偏导后，令M A=0 求变形（注意：M A=0）LxO APMA22你现在浏览的是第二十二页，共33页 例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：解：求求挠曲线挠曲线任意点
8、的挠度 f（x）求内力 将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。PALxBPx CfxOx123你现在浏览的是第二十三页，共33页 变形（注意：Px=0）24你现在浏览的是第二十四页，共33页 例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解解：1.依 求多余反力，将内力对RC求偏导 取静定基如图PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC25你现在浏览的是第二十五页，共33页 变形26你现在浏览的是第二十六页，共33页2.求 将内力对P求偏导 求内力27你现在浏览的是第二十七页，共33页 变形()28你现在浏览的是第二十八页，共33页 变形解：画单位载荷图 求内力 例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB1129你现在浏览的是第二十九页，共33页 一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为：二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移（忽略CD段的拉伸变形）练练 习习 题题30你现在浏览的是第三十页，共33页解：解：31你现在浏览的是第三十一页，共33页 四、抗弯刚度为EI的梁如图，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力P作用点的挠度。解：系统的变形能 C截面的挠度32你现在浏览的是第三十二页，共33页33你现在浏览的是第三十三页，共33页