《专题30二次函数（4）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题30二次函数（4）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc（131页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题30二次函数（4）（全国一年）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1（2020·湖南株洲?中考真题）如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，且（1）若，且过点，求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程的判别式求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值【答案】（1） ；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，把，点，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用
2、根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到，结合根与系数的关系，得到，然后证明，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案【详解】解：（1）由题意得：，函数过点，（2）由题意，一元二次方程的判别式，在函数中，即函数图象与x轴没有交点（3）因为函数顶点在直线l上，则有，即，即，由得：，则，由得：，当时，【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题2（2020·四川泸州?中考真题）如图，已知抛物线经过，三点（1）求该抛物线的解析式；（
3、2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若求直线的解析式；已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标【答案】（1）；（2）；（2，4）或（，）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）过点E作EGx轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明BDOBEG，得到，根据比例关系求出k值即可；根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可.【详解】解：（1）抛物线经
4、过点，代入，解得：，抛物线表达式为：；（2）过点E作EGx轴，垂足为G，B（4，0），设直线BD的表达式为：y=k（x-4），设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入，得：，解得：，直线AC的表达式为：y=2x+4，联立：，解得：，E（，），G（，0），BG=，EGx轴，BDOBEG，,，解得：k=，直线BD的表达式为：；由题意：设P（s，），1s4，PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，PQR=90°，PQ=RQ，当点R在y轴右侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，PQR=90°，PQM+RQN=90°，MPQ+PQM=90°，RQ
5、N=MPQ，又PQ=RQ，PMQ=RNQ=90°，PMQQNR，MQ=NR，PM=QN，Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1，Q（1，1），QN=PM=1，MQ=RN，则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4，P（2，4）；当点R在y轴左侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，同理：PMQQNR，NR=QM，NQ=PM，设R（t，），RN=QM，NQ=1-t=PM，P（，2-t），代入抛物线，解得：t=或（舍），点P的坐标为（，），综上：点P的坐标为（2，4）或（，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度
6、较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形.3（2020·四川成都?中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点（1）求抛物线的函数表达式（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；（3）如图2，连接，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点，使若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得AEKDEF，
7、继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；（3）先确定出ACB=90°，再得出直线的表达式为设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可【详解】（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的函数表达式为；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点则DG/AK，AEKDEF，设直线BC的解析式为y=kx+n，将、代入则有：，解得，直线的表达式为，当x=-1时，即K（-1，），设点，则F点坐标为（m，），当时，有最大值（3），AC=，BC=，AB=5，AC2+BC2=25=52=A
8、B2，ACB=90°，过点作直线，直线的表达式为，直线的表达式为设点的坐标为当点在直线右侧时，如图，BPQ=90°，过点P作PNx轴于点N，过点Q作QMPN于点M，M=PNB=90°，BPN+PBN=90°，QPM+BPN=180°-QPB=180°-90°=90°，QPM=PBN，又，NB=t-4，PN=，QM=，PM=，MN=+，点的坐标为将点的坐标为代入，得，解得：，t2=0（舍去），此时点的坐标为当点在直线左侧时如图，BPQ=90°，过点P作PNx轴于点N，过点Q作QMPN于点M，M=PNB=90
9、°，BPN+PBN=90°，QPM+BPN=180°-QPB=180°-90°=90°，QPM=PBN，又，NB=4-t，PN=，QM=，PM=，MN=+，点的坐标为将点的坐标为代入，得，解得：，<0（舍去），此时点的坐标为【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键4（2020·四川南充?中考真题）已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）（1）求二次函数的解析式；（
10、2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=，求点K的坐标【答案】（1）；（2）线段上存在，使得，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点坐标为： 或或或【解析】【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点C坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P（1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M，由两点距离公式可得，可求或，即可求解；（3）过点D作DEBC于点E，设直线DK与BC交于点N，
11、先求出，由锐角三角函数可求，分DK与射线EC交于点和DK与射线EB交于两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标【详解】解：（1）二次函数的图象过点设二次函数解析式为又二次函数的图象过点，即故二次函数解析式为（2）线段上存在，使得，理由如下：设中点为，由题意，易知的坐标为，若，则，的中点为设所在的直线为，则，得所在的直线为在线段上，设的坐标为，其中如图1，分别过，作轴与轴的垂线，设，相交于点，整理得，解得或当时，重合，不合题意（舍去），则的坐标为故线段上存在，使得（3）如图2，过点作于点，设直线与交于点直线在中若与射线交于点直线解得或若与射线交于点直线，解得或综上所述，抛物线上符
12、合条件的点坐标为：或或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键5（2020·四川甘孜?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】
13、（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)【解析】【分析】（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；（2）先求得点A的坐标，证得PAOCAB，利用对应边成比例即可求解；（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解【详解】（1）令，则，点B的坐标为(0，3)，抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，解得，抛物线的解析式为：；（2）令，则，解得：，点A的坐标为(，0)，OA=3，OB=3，OC=1，且，PAOCAB，即，；（3）存在，过点P作PDx轴于点D，OA=3，OB
14、=3，AOB=，BAO=ABO=，PAD为等腰直角三角形，PD=AD=2，点P的坐标为(，2)，当N在AB的上方时，过点N作NEy轴于点E，如图，四边形APMN为平行四边形，NMAP，NM=AP=，NME=ABO=，NME为等腰直角三角形，RtNMERtAPD，NE=AD=2，当时，点N的坐标为(，3)，当N在AB的下方时，过点N作NFy轴于点F，如图，同理可得：RtNMFRtAPD，NF=AD=2，当时，点N的坐标为(，)，综上，点N的坐标为(，3) 或(，) 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角
15、三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点正确作出图形是解题的关键6（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且 （1）求抛物线的解析式与k的值；（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1），k的值为
16、；（2）的长为或10；（3）存在，点G的横坐标为或或或【解析】【分析】（1）根据抛物线可求得点C的坐标，代入即可求得t的值，由，求得点N的坐标，进而求得k的值；（2）因为AOC=EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论BDA与AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标【详解】（1）当时，点C的坐标为 (0，4)，点C (0，4)在抛物线的图象上，抛物线的解析式为， C (0，4)，点N的坐标为 (，0)
17、，直线过N (，0)，,解得,抛物线的解析式为，k的值为； （2）连接，令，则,解得，点A的坐标为 (，0)，点B的坐标为 (4，0)，抛物线的对称轴为直线点A的坐标为 (，0)，C (0，4)，当时，； 当时，综上，的长为或10； （3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时，由轴对称性质可知，轴，轴，四边形为菱形，作轴于点P，设，则，令，则，令，则，直线与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N(，0)，OM=3，ON=4，在中，解得，经检验，都是所列方程的解，综上，点G的横坐标为或或或【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性
18、质及三角函数等，解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题7（2020·山东泰安?中考真题）若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分求直线的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，当时，求点P的坐标；求的最大值【答案】（1）；（2）；（3）点或；【解析】【分析】（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）设交于点M由可得，再由，根据平行线
19、的性质可得，所以已知平分，根据角平分线的定义可得利用AAS证得由全等三角形的性质可得 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）再由，即可求得直线解析式为；（3）由可得过点P作交于点N，则根据相似三角形的性质可得由此即可求得设，可得所以由此即可得=2，解得即可求得点或；由得即再根据二次函数的性质即可得【详解】（1）解：令，得令时，抛物线过点，则，将代入得解得二次函数表达式为（2）解：设交于点M，平分，又，由条件得：，直线解析式为（3），过点P作交于点N，则，直线的表达式为，设，则，解得点或由得：有最大值，【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函
20、数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）问时，作出辅助线求得是解题的关键；解决（3）问时，构建函数模型是解决问题的关键8（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不
21、存在，请说明理由【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过，（2）设，将点代入过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：，故点C（1，4）；设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当
22、BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即21s且m3t或21s且m3t，当点D在E的下方时，则BEBC，即s2（t1）21232，当点D在E的上方时，则BDBC，即22（m1）21232，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点E（1，2）；联立并解得：s-3，t-4±，故点E（-3，-4）或（-3，-4）；当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41mt，此时，BDBE，即22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点E（1，3），综上，点E的坐标为：（1，2）或或或（1，3）
23、存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏9（2020·四川自贡?中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点 .求抛物线的解析式；.如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时 .求的最小值； .如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值 【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A,B两点代入解析式即可求出（2）利用配方法求出M点，求出直线AM的解析式，
24、从而可以得出经过点E且与直线AM平行的直线 解析式，再根据当直线与抛物线只有一个交点时，EF取最大值，利用根的判别式可求出E点和D点的坐标，再根据当P,B,D三点共线时，PD+PC有最小值，利用勾股定理即可求出（3）利用添加辅助线，对线段OQ进行转化，再根据三点共线求出最小值【详解】1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得，解之得，二次函数的解析式为；（2）将二次函数配方得，M（-1,4）设直线AM的解析式为，将代入直线可得，解得，直线AM的解析式为，过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，E在直线AM上方的抛物线上，；当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，当与抛物线只有一个交点时，
25、EF取得最大值，将直线的解析式代入抛物线得，由题意可得，=，经计算得，将代入二次方程可得，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得，又轴，将代入直线AM，B、C两点关于轴对称，当P、B、D三点不共线时，当P、B、D三点共线时，当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，在RtBHD中。DH=2，BH=3，BD=，的最小值为；过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得，QG=，当三点共线时，DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则，QG轴，的最小值为【点晴】本题主要考查了二次函数综合应用，利用待定系数求解析式，根的判别式求点的坐标，利用三点共线求最值的问题10（2020·江苏连云
26、港?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点（1）_，点的坐标为_；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答【详解】解：（1）把点代入反比例函数，得：，解得：m=6，A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，故答案为：6，； （2）设直线对应的函数表达式为将，代入得，
27、解得所以直线对应的函数表达式为因为点在线段上，可设，因为轴，交反比例函数图像于点所以所以所以当a=1时，面积的最大值为【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积11（2020·江苏连云港?中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为 （1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点的坐标；（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧
28、若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标【答案】（1）；（2）点；（3）或或或【解析】【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；（2）由抛物线对称性可知PA=PB，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；（3）根据点ABC坐标可证明ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可【详解】解：（1）当时，解得，、由题意得，设对应的函数表达式为，又经过点，对应的函数表达式为（2）、与轴交点均为、，、的对称轴都是直线点在
29、直线上如图1，当、三点共线时，的值最大，此时点为直线与直线的交点由、可求得，直线对应的函数表达式为点 （3）由题意可得，因为在中，故由，得顶点因为的顶点P在直线上，点Q在上，不可能是直角第一种情况：当时，如图2，当时，则得设，则，由得，解得时，点Q与点P重合，不符合题意，舍去，此时如图3，当时，则得设，则由得，解得（舍），此时第二种情况：当时，如图4，当时，则得过Q作交对称轴于点M，由图2可知，又，代入得点，点如图5，当时，则过Q作交对称轴于点M，则由图3可知，又，代入得点，点，综上所述，或或或【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三
30、角形的性质解答12（2020·江苏无锡?中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形（1）若点的横坐标为8用含的代数式表示的坐标；点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式【答案】（1）；能，；（2）或【解析】【分析】（1）求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可（
31、2）分两种情形：当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可当点在轴的左侧时，即为中点的位置，利用中结论即可解决问题【详解】解：（1）点在的图象上，横坐标为8，直线的解析式为，点的纵坐标为，；假设能在抛物线上，直线的解析式为，点在直线上，纵坐标为，的中点的坐标为，把点坐标代入抛物线的解析式得到（2）当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，直线的解析式为，可得，代入抛物线的解析式得到，解得，直线的解析式为当点在轴左侧时，即为中点位置，直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题
32、的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题13（2020·山东德州?中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P根据以上操作，完成下列问题探究：（1）线段PA与PM的数量关系为_，其理由为：_（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标P的坐标猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是_验证：（4）设点P的坐
33、标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式应用：（5）如图3，点，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）【解析】【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；（3）用平滑的曲线作出图象，即可；（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，结合勾股定理，即可得到答案；（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外
34、接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解【详解】解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（2）M的坐标P的坐标（3）草图见图2：形状：抛物线（4）如图1，过点P作轴于点E，在中，即化简，得y关于x的函数解析式为 （5）连接，易得，又为等边三角形，当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°其圆心在的垂直平分线y轴上，的外接圆圆心为坐标原点O，设，则，即 又点D在该抛物线上 由联立解得：（舍去）数形结合可得，当时，点D的纵坐标的取值范围为【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形
35、的外接圆14（2020·四川遂宁?中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点（1）求抛物线的解析式（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x28x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(1，16)或(3
36、，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：ya(x1)(x3)，把点C坐标代入解析式，可求解；（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求SABD×2×66，设点E(m，2m2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+c（a0）的图象经过A(1，0)，B(3，0)，设抛物线解析式为：ya(x1)(x3)，抛物线ya(x1)(x3)(a0)的图象经过点C(0，6)，6a(01)(03)，a2，抛
37、物线解析式为：y2(x1)(x3)2x28x+6；（2）y2x28x+62(x2)22，顶点M的坐标为(2，2)，抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，点N(2，2)，设直线AN解析式为：ykx+b，由题意可得：，解得：，直线AN解析式为：y2x2，联立方程组得：，解得：，点D（4，6），SABD×2×66，设点E(m，2m2)，直线BE将ABD的面积分为1：2两部分，SABESABD2或SABESABD4，×2×(2m2)2或×2×(2m2)4，m2或3，点E(2，2)或(3，4)；（3）若AD为平行四边形的边，以A、D、P
38、、Q为顶点的四边形为平行四边形，ADPQ，xDxAxPxQ或xDxAxQxP，xP41+25或xP24+11，点P坐标为(5，16)或(1，16)；若AD为平行四边形的对角线，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，AD与PQ互相平分，xP3，点P坐标为(3，0)，综上所述：当点P坐标为(5，16)或(1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键15（2020·四川遂宁?中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这
39、样一个问题：定义：如果二次函数ya1x2+b1x+c1（a10，a1、b1、c1是常数）与ya2x2+b2x+c2（a20，a2、b2、c2是常数）满足a1+a20，b1b2，c1+c20，则这两个函数互为“旋转函数”求函数y2x23x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y2x23x+1可知，a12，b13，c11，根据a1+a20，b1b2，c1+c20，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数yx24x+3的旋转函数（2）若函数y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为旋转函数，求（m+n）2020的值（3）已知函数y2（x1）（x+
40、3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y2（x1）（x+3）互为“旋转函数”【答案】（1）yx24x3；（2）1；（3）见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；（2）由函数y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A
41、1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a20，b1b2，c1+c20可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y2（x1）（x+3）互为“旋转函数”【详解】解：（1）由yx24x+3函数可知，a11，b14，c13，a1+a20，b1b2，c1+c20，a21，b24，c23，函数yx24x+3的“旋转函数”为yx24x3；（2）y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为“旋转函数”，解得：，（m+n）2020（2+3）20201（3）证明：当x0时，y2（x1）（x+3）6，点C的坐标为（0，6）当y0时，2（x1）（x+3）0，解得：x11，x23，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）点A，B，C关于原点的对称点分别