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1、中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形如图：（1）2=AOB；（2）OA=OB。如图：连接 FB，将FOB 绕点 O 旋转至FOA 的位置，连接 FE、FE，可得OEFOEF。 模型精练1（2019秋九龙坡区校级月考）如图在四边形ABCD中，B+ADC180°，ABAD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=12BAD，求证：EFBEFD【点睛】在BE上截取BG，使BGDF，连接AG根据SAA证明ABGADF得到AGAF，BAGDAF，根据EAF=12BAD，可知GAEEAF，可证明AEGAEF，EGEF，那么EFGEBEBGB
2、EDF【解析】证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180°，ADF+ADC180°，BADF在ABG和ADF中，AB=ADB=ADFBG=DF，ABGADF（SAS），BAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAF=12BADGAEEAF在AEG和AEF中，AG=AFGAE=EAFAE=AE，AEGAEF（SAS）EGEF，EGBEBGEFBEFD2（2020锦州模拟）问题情境：已知，在等边ABC中，BAC与ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且MON60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系方法感悟：小芳的思
3、考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明【点睛】（1）在AC上截取CDAN，连接OD，证明CDOANO，根据全等三角形的性质得到ODON，CODAON，证明DMONMO，得到DMMN，结合图形证明结论；（2）在AC延长线上截取CDAN，连接OD，仿照（1）的方法解答【解析】解：（1）CMA
4、N+MN，理由如下：在AC上截取CDAN，连接OD，ABC为等边三角形，BAC与ACB的角平分线交于点O，OACOCA30°，OAOC，在CDO和ANO中，OC=OAOCD=OANCD=AN，CDOANO（SAS）ODON，CODAON，MON60°，COD+AOM60°，AOC120°，DOM60°，在DMO和NMO中，OD=ONDOM=NOMOM=OM，DMONMO，DMMN，CMCD+DMAN+MN；（2）补全图形如图2所示：CMMNAN，理由如下：在AC延长线上截取CDAN，连接OD，在CDO和ANO中，CD=ANOCD=OAN=150
5、°OC=OA，CDOANO（SAS）ODON，CODAON，DOMNOM，在DMO和NMO中，OD=ONDOM=NOMOM=OM，DMONMO（SAS）MNDM，CMDMCDMNAN3（2020章丘区模拟）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终MAN45°（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN
6、CD6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长【点睛】（1）在MB的延长线上，截取BEDN，连接AE，则可证明ABEADN，得到AEAN，进一步证明AEMANM，得出MEMN，得出BM+DNMN；（2）在DC上截取DFBM，连接AF，可先证明ABMADF，得出AMAF，进一步证明MANFAN，可得到MNNF，从而可得到DNBMMN；（3）由已知得出DN12，由勾股定理得出AN=AD2+DN2=65，由平行线得出ABQNDQ，得出BQDQ=AQNQ=ABDN=12，AQAN=13，求出AQ25；由（2）得出DNBMMN设BMx，则MN12x，CM6+x，在RtCMN中，
7、由勾股定理得出方程，解方程得出BM2，由勾股定理得出AM=AB2+BM2=210，由平行线得出PBMPDA，得出PMPA=BMDA=13，求出PM=12AM=10，得出APAM+PM310【解析】解：（1）BM+DNMN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BEDN，连接AE，四边形ABCD是正方形，ABAD，BADABCD90°，ABE90°D，在ABE和ADN中，AB=ADABE=DBE=DN，ABEADN（SAS），AEAN，EABNAD，EANBAD90°，MAN45°，EAM45°NAM，在AEM和ANM中，AE=ANEAM=NA
8、MAM=AM，AEMANM（SAS），MEMN，又MEBE+BMBM+DN，BM+DNMN；故答案为：BM+DNMN；（2）（1）中的结论不成立，DNBMMN理由如下：如图2，在DC上截取DFBM，连接AF，则ABM90°D，在ABM和ADF中，AB=ADABM=DBM=DF，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+BAFBAF+DAFBAD90°，即MAFBAD90°，MAN45°，MANFAN45°，在MAN和FAN中，AM=AFMAN=FANAN=AN，MANFAN（SAS），MNNF，MNDNDFDNBM，DNBMMN（
9、3）四边形ABCD是正方形，ABBCADCD6，ADBC，ABCD，ABCADCBCD90°，ABMMCN90°，CNCD6，DN12，AN=AD2+DN2=62+122=65，ABCD，ABQNDQ，BQDQ=AQNQ=ABDN=612=12，AQAN=13，AQ=13AN25；由（2）得：DNBMMN设BMx，则MN12x，CM6+x，在RtCMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2（12x）2，解得：x2，BM2，AM=AB2+BM2=62+22=210，BCAD，PBMPDA，PMPA=BMDA=26=13，PM=12AM=10，APAM+PM3104（2019麒麟
10、区模拟）已知，正方形ABCD中，MAN45°，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AHAB；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN45°，AHMN于点H，且MH2，NH3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）【点睛】（1）由三角形全等可以证明AHAB，（2）延长CB至E，使BEDN，证明AEMANM，能得到AHAB，（3）分别沿AM、
11、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AHx，则MCx2，NCx3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x【解析】解：（1）如图AHAB（2）数量关系成立如图，延长CB至E，使BEDNABCD是正方形，ABAD，DABE90°，在RtAEB和RtAND中，AB=ADABE=ADNBE=DN，RtAEBRtAND，AEAN，EABNAD，DAN+BAM45°，EAB+BAM45°，EAM45°，EAMNAM45°，在AEM和ANM中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AEMANMSAEMSA
12、NM，EMMN，AB、AH是AEM和ANM对应边上的高，ABAH（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM2，DN3，BDBAD90°分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AHABBCCDAD设AHx，则MCx2，NCx3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2MC2+NC252（x2）2+（x3）2（6分）解得x16，x21（不符合题意，舍去）AH65（2019秋东台市期末）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60°，BDC120°，BDDC探究：当M、N分别在直线AB
13、、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NCMN；此时QL=23；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明【点睛】（1）由DMDN，MDN60°，可证得MDN是等边三角形，又由ABC是等边三角形，CDBD，易证得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的
14、性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN，此时 QL=23；（2）在CN的延长线上截取CM1BM，连接DM1可证DBMDCM1，即可得DMDM1，易证得CDNMDN60°，则可证得MDNM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1BM，连接DM1，可证DBMDCM1，即可得DMDM1，然后证得CDNMDN60°，易证得MDNM1DN，则可得NCBMMN【解析】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN此时 QL=23 （2分）理由：DMDN，MDN60°，MDN是等边三角形，ABC是等
15、边三角形，A60°，BDCD，BDC120°，DBCDCB30°，MBDNCD90°，DMDN，BDCD，RtBDMRtCDN，BDMCDN30°，BMCN，DM2BM，DN2CN，MN2BM2CNBM+CN；AMAN，AMN是等边三角形，ABAM+BM，AM：AB2：3，QL=23；（2）猜想：结论仍然成立 （3分）证明：在NC的延长线上截取CM1BM，连接DM1（4分）MBDM1CD90°，BDCD，DBMDCM1，DMDM1，MBDM1CD，M1CBM，MDN60°，BDC120°，M1DNMDN60
16、6;，MDNM1DN，MNM1NM1C+NCBM+NC，AMN的周长为：AM+MN+ANAM+BM+CN+ANAB+AC，QL=23；（3）证明：在CN上截取CM1BM，连接DM1（4分）可证DBMDCM1，DMDM1，（5分）可证M1DNMDN60°，MDNM1DN，MNM1N，（7分）NCBMMN（8分）6请阅读下列材料：已知：如图（1）在RtABC中，BAC90°，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45°探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90°，得到ABE，连接ED，使问题得到解决请
17、你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数【点睛】（1）DE2BD2+EC2，将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE，容易证明AFDABD，然后可以得到AFAB，FDDB，FADBAD，AFDABD，再利
18、用已知条件可以证明AFEACE，从而可以得到DFEAFDAFE135°45°90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图，与（1）类似，以CE为一边，作ECFECB，在CF上截取CFCB，可得CFECBE，DCFDCA，然后可以得到ADDF，EFBE由此可以得到DFE1+2A+B120°，这样就可以解决问题【解析】解：（1）DE2BD2+EC2；（2）关系式DE2BD2+EC2仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FEAFDABD，AFAB，F
19、DDB，FADBAD，AFDABD，又ABAC，AFAC，FAEFAD+DAEFAD+45°，EACBACBAE90°（DAEDAB）45°+DAB，FAEEAC，又AEAE，AFEACE，FEEC，AFEACE45°，AFDABD180°ABC135°DFEAFDAFE135°45°90°，在RtDFE中，DF2+FE2DE2，即DE2BD2+EC2；（3）当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图，与（2）类似，以CE为一边，作ECFECB，在CF上截取CFCB，可得CFECBE，DC
20、FDCAADDF，EFBEDFE1+2A+B120°若使DFE为等腰三角形，只需DFEF，即ADBE，当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角DFE为120°7（2019夏津县二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF45度则有结论EFBE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EFBE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180
21、76;，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EFBE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明【点睛】（1）结论仍然成立延长CB到G，使BGFD，根据已知条件容易证明ABGADF，由此可以推出BAGDAF，AGAF，而EAF=12BAD，所以得到DAF+BAEEAF，进一步得到EAFGAE，现在可以证明AEFAEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；（2）结论不成立，应为EFBEDF，如图在CB上截取BGFD，由于B+ADC180°，ADF+ADC180°，可以得到BADF，再利用已知条件可以证明ABGA
22、DF，由此可以推出BAGDAF，AGAF，而EAF=12BAD，所以得到EAFGAE，现在可以证明AEFAEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EFEGEBBGEBDF【解析】解：（1）延长CB到G，使BGFD，连接AG，ABGD90°，ABAD，ABGADF，BAGDAF，AGAF，EAF=12BAD，DAF+BAEEAF，EAFGAE，AEFAEG，EFEGEB+BGEB+DF（2）结论不成立，应为EFBEDF，证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180°，ADF+ADC180°，BADFABAD，ABGADFBAGDAF，AGAFBAG+E
23、ADDAF+EADEAF=12BADGAEEAFAEAE，AEGAEFEGEFEGBEBGEFBEFD8（1）如图1，将EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF若EAF45°，BE、DF的长度是方程x25x+60的两根，请直接写出EF的长；（2）如图2，将EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF若ABAD，ABC与ADC互补，EAF=12BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC4，DC7，CF2，求CEF的周长EF的长
24、为：5；数量关系：EFDFBE【点睛】（1）先证明ABEADM，再证明AEFAMF，得到EFDF+BE即可；（2）先证明ADMABE，再证明EAFMAF，即可；（3）直接计算CEF的周长EF+BE+BC+CFDF+BC+CF9+4+215【解析】（1）解：如图1，延长CD使DMBE，连接AM；在ABE和ADM中，AB=ADABE=ADM=90°BE=DMABEADM，AEAM，EABDAM，EAF45°，且EABDAM，BAF+DAM45°，即MAF45°EAF，又AEAM，AFAF，AEFAMF，EFFM，FMDF+DM，EFDF+NB，即EFDF+B
25、E；BE、DF的长度是方程x25x+60的两根，BE2，DF3，EFDF+BE3+25，（2）证明：如图2，在DF上截取DMBE，D+ABCABE+ABC180°，DABE，ADAB，ADMABE，AMAE，DAMBAE；EAFBAE+BAFDAM+BAFBADFAM=12BAD，MAF=12BAD，EAFMAF；AF是EAF与MAF的公共边，EAFMAF，EFMF；MFDFDMDFBE，EFDFBE（3）由上面的结论知：DFEF+BE；BC4，DC7，CF2，DFCD+CF9CEF的周长EF+BE+BC+CFDF+BC+CF9+4+215即CEF的周长为15EFDFBEFC+CDBE5和（2）方法一样，EFDFBE故答案为EFDFBE