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1、专题26 反比例函数知识点一：反比例函数的定义形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 知识点二：反比例函数的图像和性质1.图像：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点 k0 k02.性质:当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0
2、时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 知识点三：反比例函数中反比例系数的几何意义如图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。在做题时，培养和养成数形结合的思想。1.反比例函数解析式的确定方法确定解析式的方法是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其
3、解析式。2.用函数的观点处理实际问题关键在于分析实际情景，建立函数模型，并且进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、不等式、方程之间的联系。生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。1.在工程与速度中的应用；2.反比例函数在电学中的运用；3.在光学中运用； 4.在排水方面的运用；5.在解决经济预算问题中的应用；6.其他方面
4、的应用。【例题1】（2020滨州）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且ABx轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A4 B6C8D12【答案】C【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S|k|即可判断【解析】过A点作AEy轴，垂足为E，点A在双曲线y=4x上，四边形AEOD的面积为4，点B在双曲线线y=12x上，且ABx轴，四边形BEOC的面积为12，矩形ABCD的面积为1248【例题2】（2020常德）如图，若反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A，ABx轴于B，且AOB的面积为6，则k【
5、答案】12【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题【解析】ABOB，SAOB=|k|2=6，k±12，反比例函数的图象在二四象限，k0，k12【例题3】（2020广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C反比例函数y=kx（x0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG（1）填空：k；（2）求BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形【答案】见解析。【分析】（1）设点B（s，t），st8，则点M（12s，12t），则k=12s12t
6、=14st2；（2）BDF的面积OBD的面积SBOASOAD，即可求解；（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y0，则x5m，故点F（5m，0），即可求解【解析】（1）设点B（s，t），st8，则点M（12s，12t），则k=12s12t=14st2，故答案为2；（2）BDF的面积OBD的面积SBOASOAD=12×8-12×23；（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2m），点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），则点E（4m，12m），设直线DE的表达式为：ysx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n12m=4ms+n，解得k=-12m
7、2b=52m，故直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y0，则x5m，故点F（5m，0），故FG8m5m3m，而BD4mm3mFG，则FGBD，故四边形BDFG为平行四边形反比例函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共18分）1（2020黑龙江）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（1，1），则k的值是（）A5B4C3D1【答案】D【分析】把B（1，1）代入y=kx即可得到结论【解析】点B在反比例函数y=kx的图象上，B（1，1），1=k-1，k12（2020内江）
8、如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作ACx轴，垂足为点C，D为AC的中点，若AOD的面积为1，则k的值为（）A43B83C3D4【答案】D【分析】根据题意可知AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值【解析】ACx轴，垂足为点C，D为AC的中点，若AOD的面积为1，AOC的面积为2，SAOC=12|k|2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，k43（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（2，3），AD5，若反比例函数y=kx（k0，x0）的图象经过点B，则k的值为（）A163B8C10D323【
9、答案】D【分析】过D作DEx轴于E，过B作BFx轴，BHy轴，得到BHC90°，根据勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根据矩形的性质得到ADBC，根据全等三角形的性质得到BHAE4，求得AF2，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】过D作DEx轴于E，过B作BFx轴，BHy轴，BHC90°，点D（2，3），AD5，DE3，AE=AD2-DE2=4，四边形ABCD是矩形，ADBC，BCDADC90°，DCP+BCHBCH+CBH90°，CBHDCH，DCG+CPDAPO+DAE90°，CPDAPO，DCPDAE，CBHDAE，AEDBHC9
10、0°，ADEBCH（AAS），BHAE4，OE2，OA2，AF2，APO+PAOBAF+PAO90°，APOBAF，APOBAF，OPAF=OABF，12×32=2BF，BF=83，B（4，83），k=3234（2020黔东南州）如图，点A是反比例函数y=6x（x0）上的一点，过点A作ACy轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则PAB的面积为（）A2B4C6D8【答案】A【分析】连接OA、OB、PC由于ACy轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到SAPCSAOC3，SBPCSBOC1，然后利用SPABS
11、APCSAPB进行计算【解析】如图，连接OA、OB、PCACy轴，SAPCSAOC=12×|6|3，SBPCSBOC=12×|2|1，SPABSAPCSBPC25（2020金华）已知点（2，a）（2，b）（3，c）在函数y=kx（k0）的图象上，则下列判断正确的是（）AabcBbacCacbDcba【答案】C【分析】根据反比例函数的性质得到函数y=kx（k0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则bc0，a0【解析】k0，函数y=kx（k0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，2023，bc0，a0，acb6（2020黔西南州）如
12、图，在菱形ABOC中，AB2，A60°，菱形的一个顶点C在反比例函数ykx（k0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）Ay=-33xBy=-3xCy=-3xDy=3x【答案】B【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式【解析】在菱形ABOC中，A60°，菱形边长为2，OC2，COB60°，点C的坐标为（1，3），顶点C在反比例函数ykx的图象上，3=k-1，得k=-3，即y=-3x二、填空题（每空3分，共27分）7.如果反比例函数（是常数，0）的图像经过点(1，2)，那么这个函数的解析式是 【答案
13、】【解析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(1，2)代入，得，即，那么这个函数的解析式是。8.若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“”，“”或“=”）【答案】【解析】比例函数中=30，此函数图象在一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，点A（1，1）、B（2，2）是此双曲线上的点，210，A、B两点在第一象限，由21，得1。9.如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过点B作轴的垂线，垂足为C，若ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 。【答案】【解析】设A（，）（，），则根据反比例函数的对称性，B（，）（，），因此 SABC=
14、 SACOSBCO=。则这个反比例函数的解析式为。10如图，菱形ABCD顶点A在函数y（x0）的图象上，函数y（k3，x0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB2，BAD30°，则k 【答案】6+2【解析】连接OC，AC过A作AEx轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DGx轴于点G，函数y（k3，x0）的图象关于直线AC对称，O、A、C三点在同直线上，且COE45°，OEAE，不妨设OEAEa，则A（a，a），点A在在反比例函数y（x0）的图象上，a23，a，AEOE，BAD30°，OAFCADBAD15°，OAEAOE45°
15、;，EAF30°，AF，EFAEtan30°1，ABAD2，AEDG，EFEG1，DG2AE2，OGOE+EG+1，D（+1，2），故答案为：6+2【点拨】连接OC，AC过A作AEx轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DGx轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果说明：学完解直角三角形后，再做这个题。11（2020辽阳）如图，在ABC中，ABAC，点A在反比例函数y=kx（k0，x0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若BCD的面积等于1，则k的值为 【答案】3【分析】作AEB
16、C于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得SCEA1，进而根据题意求得SAOE=32，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值【解析】作AEBC于E，连接OA，ABAC，CEBE，OC=15OB，OC=12CE，AEOD，CODCEA，SCEASCOD=（CEOC）24，BCD的面积等于1，OC=15OB，SCOD=14SBCD=14，SCEA4×14=1，OC=12CE，SAOC=12SCEA=12，SAOE=12+1=32，SAOE=12k（k0），k3，故答案为312（2020陕西）在平面直角坐标系中，点A（2，1），B（3，2），C
17、（6，m）分别在三个不同的象限若反比例函数y=kx（k0）的图象经过其中两点，则m的值为 【答案】1【分析】根据已知条件得到点A（2，1）在第三象限，求得点C（6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y=kx（k0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=kx（k0）的图象经过B（3，2），C（6，m），于是得到结论【解析】点A（2，1），B（3，2），C（6，m）分别在三个不同的象限，点A（2，1）在第三象限，点C（6，m）一定在第三象限，B（3，2）在第一象限，反比例函数y=kx（k0）的图象经过其中两点，反比例函数y=kx（k0）的图象经过B（3，2），C（6，m），3×26m
18、，m113（2020凉山州）如图，矩形OABC的面积为1003，对角线OB与双曲线y=kx（k0，x0）相交于点D，且OB：OD5：3，则k的值为 【答案】12【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值【解析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）矩形OABC的面积为1003，5m5n=1003，mn=43把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，k9mn9×43=1214（2020达州）如图，点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连
19、接OA、OB，则OAB的面积是 【答案】9【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，【解析】点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，A（4，3），B（2，6），作ADy轴于D，BEy轴于E，SAODSBOE=12×126，SOABSAOD+S梯形ABEDSBOES梯形ABED，SAOB=12（4+2）×（63）915（2020齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，2），并且AO：BO1：2，点D在函数y=kx（x0）的图象上
20、，则k的值为 【答案】2【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k【解析】如图，点C坐标为（2，2），矩形OBCE的面积2×24，AO：BO1：2，矩形AOED的面积2，点D在函数y=kx（x0）的图象上，k2三、解答题（6个小题，共75分）16（14分）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD（1）求P的度数及点P的坐标；（2）求OCD的面积；（
21、3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）如图，作PMOAYM，PNOB于N，PHAB于H利用全等三角形的性质解决问题即可（2）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题（3）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，可得AB6ab，推出OA+OB+AB6，可得a+b+6，利用基本不等式即可解决问题解：（1）如图，作PMOAYM，PNOB于N，PHAB于HPMAPHA90°，PAMPAH，PAPA，PAMPAH（AAS），PMPH，APMAPH，同理可
22、证：BPNBPH，PHPN，BPNBPH，PMPN，PMOMONPNO90°，四边形PMON是矩形，MPN90°，APBAPH+BPH（MPH+NPH）45°，PMPN，可以假设P（m，m），P（m，m）在y上，m29，m0，m3，P（3，3）（2）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，AB6ab，AB2OA2+OB2，a2+b2（6ab）2，可得ab186a6b，93a3bab，PMOC，OC，同法可得OD，SCODOCDO6（3）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，AB6ab，OA+OB+AB6，a+b+6，2+6，（2+）6，3（2），
23、ab5436，SAOBab2718，AOB的面积的最大值为2718【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题17.（14分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y（k0）的图象经过点C（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长【答案】见解析。【解析】（1）根据函数y（k0）的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；
24、（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y（k0）的图象上，kxy2，A（3，0）CBOA3，又CBx轴，B（4，2），设直线OB的函数表达式为yax，24a，a，直线OB的函数表达式为yx；（2）作CDOA于点D，C（1，2），OC，在平行四边形OABC中，CBOA3，ABOC，四边形OABC的周长为： 3+3+6+2，即四边形OABC的周长为6+2【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
25、18（12分）（2020江西）如图，RtABC中，ACB90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x0）的图象上，直线ACx轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB2OA时，点E恰为AB的中点，若AOD45°，OA22（1）求反比例函数的解析式；（2）求EOD的度数【答案】见解析。【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB2OA时，点E恰为AB的中点，得出OAAEBE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CEAEBE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出AOE2EOD，
26、从而求得EOD15°【解析】（1）直线ACx轴，垂足为D，AOD45°，AOD是等腰直角三角形，OA22，ODAD2，A（2，2），顶点A在反比例函数y=kx（x0）的图象上，k2×24，反比例函数的解析式为y=4x；（2）AB2OA，点E恰为AB的中点，OAAE，RtABC中，ACB90°，CEAEBE，AOEAEO，ECBEBC，AEOECB+EBC2EBC，BCx轴，EODECB，AOE2EOD，AOE45°，EOD15°19（11分）（2020南京）已知反比例函数y=kx的图象经过点（2，1）（1）求k的值（2）完成下面的解答
27、解不等式组2-x1，kx1解：解不等式，得 根据函数y=kx的图象，得不等式的解集把不等式和的解集在数轴上表示出来从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集【答案】见解析。【分析】（1）把点（2，1）代入y=kx即可得到结论；（2）解不等式组即可得到结论【解析】（1）反比例函数y=kx的图象经过点（2，1），k（2）×（1）2；（2）解不等式组2-x1，kx1解：解不等式，得x1根据函数y=kx的图象，得不等式的解集0x2把不等式和的解集在数轴上表示为：不等式组的解集为0x1，故答案为：x1，0x2，0x120（11分）（2020枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
28、y=12x+5和y2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO的面积【答案】见解析。【分析】（1）联立y=12x+5和y2x并解得：x=-2y=4，故点A（2.4），进而求解；（2）SAOBSAOCSBOC=12×OCAM-12OCBN，即可求解【解析】（1）联立y=12x+5和y2x并解得：x=-2y=4，故点A（2.4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k8，故反比例函数表达式为：y=-8x；（2）联立并解得：x2或8，当x
29、8时，y=12x+51，故点B（8，1），设y=12x+5交x轴于点C（10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，则SAOBSAOCSBOC=12×OCAM-12OCBN=12×4×10-12×10×1=1521（13分）（2020凉山州）如图，已知直线l：yx+5（1）当反比例函数y=kx（k0，x0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围（2）若反比例函数y=kx（k0，x0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2x13时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式x+5k
30、x的解集【答案】见解析。【分析】（1）由题意得：254k0，即可求解；（2）设点A（m，m+5），而x2x13，则点B（m+3，m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（m+5）（m+3）（m+2），即可求解【解析】（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x25x+k0，由题意得：254k0，解得：k254，故k的取值范围0k254；（2）设点A（m，m+5），而x2x13，则点B（m+3，m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（m+5）（m+3）（m+2），解得：m1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k4×14，观察函数图象知，当x+5kx时，0x1或x4