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1、赣州市2018 -2019学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.在复平面内，复数所对应的点在第几象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数，找到对应点，判断象限.【详解】复数对应点： 在第四象限故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，因此焦点坐标为故选D【点睛】本题
2、考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题3.一物体的运动方程为（为常数），则该物体在时刻的瞬时速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对运动方程为求导，代入，计算得到答案.【详解】对运动方程为求导代入 故答案选B【点睛】本题考查了导数的意义，意在考查学生的应用能力.4.具有线性相关关系的变量，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 中心点为：代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考
3、查学生的计算能力.5.若随机变量服从正态分布，且，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则，根据对称性，则，即，故故选：B6.将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件两次掷的玩具底面图案不相同，两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用条件概率公式得到答案.【详解】 故答案选C【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.7.函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算函数在处的切线斜率，根据斜率计算离心
4、率.【详解】切线与一条渐近线平行 故答案选D【点睛】本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.8.如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【详解】曲线分别是，的一部分则阴影部分面积为： 总面积为： 【点睛】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.9.已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据切线方程计算，再计算的导数，将2代入得到答案.【详解】函数的图像
5、在点处的切线方程是 故答案选C【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.10.从，中任取个不同的数字，从，中任取个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【详解】选取的两个偶数不包含0时： 选取的两个偶数包含0时：故共有96个偶数答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.11.已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质
6、将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆， ，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为： 故答案选A【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.12.设函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定是唯一整数解,再通过图像计算得到范围.【详解】 是函数单调递减；函数单调递增. 存在唯一的整数，使取，满足，则0是唯一整数.恒过定点 如图所示：即 综上所诉：故答案选C【点睛】本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.二、填空题.13.已知是虚数单位，若复
7、数满足，则 _.【答案】【解析】【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】故答案为【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14._.【答案】【解析】【分析】将定积分分为两部分，前一部分根据奇函数积分为0，后一部分转化为几何面积得到答案.【详解】为奇函数 表示半径为3的半圆面积：为故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算，根据奇函数的性质可以简化运算.15.观察下列等式：照此规律，则第五个等式应为_.【答案】【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案.【详解】等式左边：第排首字母为，数字个数为 等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律，意在考查
8、学生的应用能力.16.已知函数是的导函数，若，则的_.（其中为自然对数的底数）【答案】【解析】【分析】构造函数根据函数单调性解不等式得到答案.【详解】构造函数单调递增. 故答案为：【点睛】本题考查了函数的导数，利用函数的单调性解不等式，构造函数是解题的关键.三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中第项是常数项.（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项，【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用展开式的通项计算得到答案.（2）因为，所以二项系数最大的项为与，计算得到答案.【详解】解：（1）展开式的通项为因为第项为常数项，所以第项, 即 （2
9、）因为，所以二项系数最大项为与即【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.18.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了名不同性别的学生，现已得知人中喜爱阅读的学生占，统计情况如下表喜爱不喜爱合计男生女生合计（1）完成列联表，根据以上数据，能否有的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关?请说明理由：（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取位学生进行调查，求抽取的位学生中至少有人喜爱阅读的概率，（以下临界值及公式仅供参考），【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（
10、1）补全列联表，计算，与临界值表对比得到答案.（2）喜爱阅读的人数为随机变量，将2人喜欢阅读，3人喜欢阅读概率相加得到答案.【详解】解：列联表如表喜爱不喜爱合计男生女生合计由表可知因为，所以有的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关.（2）设人中喜爱阅读的人数为随机变量，由题可知所以人中至少有人喜爱阅读的概率为所以【点睛】本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的应用能力.19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量（单位：千克）与销售价格（单位：元千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值：（2）若该商品的成本为元千克，试确定销售
11、价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】(1) (2) 当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润【解析】【分析】（1）销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克代入函数解得.（2）求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值.【详解】解：（1）当元/千克时，解得 （2）设商场每日销售该商品的利润为，则，因当时，单调递增，当时，单调递减所以当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润【点睛】本题考查了函数的应用，求函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示
12、：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数每门课程学分学校要求学生在高中三年内从中选修门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.（1）求甲三种类别各选一门概率；（2）设甲所选门课程的学分数为，写出的分布列，并求出的数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）记事件甲三种类别各选一门，则根据排列组合公式得到答案.（2）的取值有：，分别计算对应概率得到分布列，再计算数学期望.详解】解：（1）记事件甲三种类别各选一门则（2）的取值有：，则所以分布列所以期望【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.21.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.
13、（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）根据离心率为，点在椭圆上联立方程组解得答案.（2）设存在定点，联立方程，利用韦达定理得到关系式，推出，代入数据计算得到答案.【详解】解：（1）由题可知又，解得，所以，即所求为（2）设存在定点，并设，由联立消可得所以，因为，所以，即所以，整理为所以可得即，所以所以存在定点满足题意【点睛】本题考查了椭圆离心率，定点问题，将转化为是解题的关键.22.已知函数，若函数有两个零点，.（1）求的取值范围；（2）证明：【答案】(1)
14、 (2)见证明【解析】【分析】（1）确定函数定义域，求导，讨论的范围确定函数的单调区间，最后得到的范围.（2）将，两个零点代入函数，通过化简得到：需证.转化为不等式，设函数求导根据单调性求最值得到证明.【详解】解；（1）函数的定义域为，当时，恒成立，则在递减，至多一零点当时，解得，解得，所以在递减.在递增函数要有两个零点，则最小值，解得经检验，即，则在有一个零点.又，令，则恒成立.所以在单调递增，即所以，即，则在必有一零点.所以时，函数有两个零点，（2）因为，为的两个零点，所以即，不妨碍，则即要证，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证，令，则，现在只需证设，则，所以在单调递增，即所以【点睛】本题考查了函数的零点问题，证明不等式，技巧强，综合性大，意在考查学生综合应用能力. - 18 -