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1、全国高中数学联赛模仿试题(十)全国高中数学联赛模仿(十)第一试一、选择题：(每题6分，共36分)1、设集合M=-2,0,1，N=1,2,3,4,5，映射f：Mrarr;N使对任意的xisin;M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，那么如此的映射f的个数是(A)45 (B)27 (C)15 (D)112、已经明白sin2q=a，cos2q=b，0lt;qlt; ，给出 值的五个： ; ; ; ; .其中正确的选项：(A) (B) (C) (D)3、假设干个棱长为2、3、5的长方体，依一样方向拼成棱长为90的正方体，那么正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是(A)64 (B)66 (C)68
2、(D)704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,hellip;，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是假设干个3的幂之和，那么此数列的第100项为(A)729 (B)972 (C)243 (D)9815、 (其中 ，x表示不超过x的最大整数)的值为(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数 称为凸“数，当且仅当它满足alt;blt;c，cde(如12430，13531等)，那么在所有的五位数中凸“数的个数是(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134二、填空题：(每题9分，共54分)1、过椭圆 上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足)，并延长P
3、H到Q，使得HQ=lPH(lge;1).当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 .2、已经明白异面直线a、b所成的角为60deg;，过空间一点P作与a、b都成角a(0lt;alt;90deg;)的直线l，那么如此的直线l的条数是f(a)= .3、不等式 的解集为 .4、设复数z满足条件|z-i|=1，且zne;0，zne;2i，又复数w使得 为实数，那么复数w-2的辐角主值的取值范围是 .5、设a1,a2,hellip;,a2002均为正实数，且 ，那么a1a2hellip;a2002的最小值是 .6、在一个由十进制数字组成的数码中，假设它含有偶数个数字8，那么称它为优选“数码(
4、如12883，787480889等)，否那么称它为非优选“数码(如2348756，958288等)，那么长度不超过n(n为自然数)的所有优选“数码的个数之和为 .三、(20分)已经明白数列an是首项为2，公比为 的等比数列，且前n项和为Sn.(1) 用Sn表示Sn+1;(2) 是否存在自然数c和k，使得 2成立.四、(20分)设异面直线a、b成60deg;角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上挪动.求线段AB中点P的轨迹方程.五、(20分)已经明白定义在R+上的函数f(x)满足(i)关于任意a、bisin;R+，有f(ab)=f(a)+f(b);
5、(ii)当x1时，f(x)lt;0;(iii)f(3)=-1.现有两个集合A、B，其中集合A=(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-20，p、qisin;R+，集合B=(p,q)|f( )+ =0，p、qisin;R+.试征询是否存在p、q，使 ，说明理由.第二试一、(50分)如图，AM、AN是O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.假设 ，求证：ang;POQ=60deg;.MAPQNLO二、(50分)已经明白数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an(nge;1).求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数.三、(50分)设M为坐标平面上坐标为(p2002,7p2002)的点，其中p为素数.求满足以下条件的直角三角形的个数：(1) 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点;(2) 三角形的内心是坐标原点.参考答案第一试一、选择题：题号123456答案ACBDDB二、填空题：1、 ; 2、 ;3、 ; 4、 ;5、40022002; 6、 .三、(1) ; (2)不存在.四、 .五、不存在.第二试一、证略;二、n=3.三、 pne;2,7,11,13时，324个;p=2时，162个;p=7,11,13时，180个.