《2022年全国高中数学联赛模拟试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高中数学联赛模拟试题.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全国高中数学联赛模拟试题张国庆 四川自贡蜀光中学 643000 一填空题（每题 8 分,共 64 分）1. 设 a 是一 个 实数 , 如关 于 x 的不 等 式在 , 上 恒 成 立 ,就 a 的取 值范 围3 6是；f x y 2 x 4 y22.已知 xy=1,且 0y0, y 0 5x 0 10 代7入式消去 y 得 x 0 x 5 x 0 70 y 1 0 对一切 x0 R 恒成立可得：25 63x 5 y0x 0 x 5 y 10 y1 0 25 6325 63 9 10 y1 09由此解得直线 MN 恒过定点 Q 25, 914
2、10（2）当 MN / l 时,由 式知 x 0 5 x 0 70 1 , 解得 x 0 4375 代入 式得此时 MN的方25 63 7 5335 7程为 5 x 7 y 533 0 将此方程与椭圆方程联立消去 y 得 533x 2 533x 128068035 25 7 1225由此可得,此时 MN 截椭圆所得弦的中点横 坐标恰好为533Q 14 25,10 9 的横坐标,即 x2 533 714 2525代入式得弦中点纵坐标为 9恰为 Q点的纵坐标10所以 Q点平分线段 MN. 加试参考答案名师归纳总结 一、作直径 DE,连 AD、AE,就ADX= AED,AXD= EAD=90；,所以
3、 ADX第 7 页,共 9 页 DEA,于是AD DEAX, 即 AD 2=DE AX,同理 BD 2=DE BY,CD 2=DE CZ. AD由托勒密定理,有AB CD+BC AD=ACBD. 所以, ABDE CZ +BCDE AX =ACDE BY- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 ABCZ +BCAX =ACBY . 二、满意题目最大整数k=2,事实上,假如, yi 是质数,就 xi 也为质数,因为,xi =1, 就 yi =1 不为质数,如 xi=mn（整数 m、n1, 就 2 m-1|2 xi-1, 即 xi 为分数,就 yi 也为分数；
4、下面证明,对任意的奇质数a1、y1、y2、y3 中至少有一个合数（假设不然,就 x1、x2、x3 均为质数,由于x13 是奇数,就 x23,且 x23（mod4）,因此 x3x 3 127mod8,就 2 是 x3 二次剩余, 即存在 xN *,使得 x22mod x3, 从而,2 x2=2x 1mod x3, 就 x3|y 3,明显 y2是合数,由于 x23,就 2 -12x x3-1 x32+1=x3,所以 y2是合数；最终,假如 a=2,得 y1=3,y2=31,而 y3=2 11-1 能被 23 整除,所以 k=2. 三、证明：如 n 与 10 不互质,设 n=n1 2 5 ,（n1,
5、10）=1,取 b 使 bn=n1 2 + 5 + ,将 bm与 n1 看作原先的 m、n,因此可以不妨设（ n,10）=1. 此时,我们可以取到正整数c、k、r 、s 满意 c=10t+ m =10 t+ n . 为此,我们第一取正整数r 满意 10 rm-nn 2且 10 rm,由于（ n,10）=1,故10 与 10 rm-n 互质,因此我们可以取到 10 的某个幂次, 被 10 r m-n除余 1,将这个幂次记为 10 s+2r,由 n10 rmmod10 rm-n知,10 sn 210 s+2rm 2m 2mod10 r m-n, 所以 k= 10 sn 2-m 2为正整数,再取正整
6、数10 rm-n tmax10 sn+k,10 rk+m,令 c=10 t+ 10 sn+k =10 t + 10 rk+m . m n 此时, cm=10 tm+10 sn+k,cn=10 t n+10 rk+m,由于 10 r m-nn 2,所以10 s10 rm-n10 sn 210 sn 2-m 2, 即 k=10 10rm-n sn 2-m 210 s, 所以 cm由 m的数字接如干 0 再接 n 的数字接如干 0 再接 k的数字构成, cn 由 n 的数字接如干 0 再接 k 的数字接如干 0 再接 m的数字构成,明显在十进制表示下每个非零数字显现次数相同,证毕；名师归纳总结 四、
7、先证明：对于n n 的方格表有 T4n4. 第 8 页,共 9 页27- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设第 i 行有 ai 个白格, 第 j 列有 bj 个白格, R是红格的集合, 对于每个红格（i ,j ）,有 ai bj 个满意条件的方格组（ C1,C2,C3）,其中, C2=（i ,j ）,于是,T=ai bj. i j,）Ra22 i+bj=1 2jn1n-aja2j+1 2nn-bjb2 j,这是i j,）R由均值不等式得 T1 2j 1由于第 i 行有 n-ai 个红格,第 j 列有 n-bj 个红格；对于 0xn,由均值不等式知 （n-xx2= 1 22n-2xx x1 22 n 33=4n3, 27 当且仅当 x=2 n 时,上式等号成立；3故 Tn4n 3 +n4n 3= 4n 4. 2 27 2 27 27如 n=999,就 x=2 n =666. 3对于每行、每列均有 666 个白格的染法,上述关于 T 的不等式的等号均成立；名师归纳总结 下面的例子就能使得每行、每列均有666 个白格,如第 9 页,共 9 页i-j1,2,. ,666（mod999）,就将方格（ i ,j ）染为白色,其他方格染为红色,于是, T的最大值为49994=148 999 3； 27 - - - - - - -