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1、4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版关于力矩 转动定律 转动惯量1第1页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版 力不在转动平面内力不在转动平面内注注 （1 1）在定轴转动在定轴转动问题中，如不加说明，问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转动平面内的分力对转轴的力矩。转轴的力矩。转动平面把力分解为平行和垂直于转轴把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量方向的两个分量 2第2页，讲稿共31
2、张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版O合力矩合力矩合力矩等于各个合力矩等于各个力矩的代数和力矩的代数和.3第3页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版合内力矩合内力矩O刚体的合内力矩为零刚体的合内力矩为零设质点设质点1 1和质点和质点2 2间相互作用力间相互作用力在垂直转轴平面的分力各为在垂直转轴平面的分力各为F1212和和F2121,它们大小相等、方向相它们大小相等、方向相反且在同一直线上反且在同一直线上
3、,如图如图.它们的合力矩它们的合力矩质点系的合质点系的合内力矩内力矩=?04第4页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版例：例：有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：1 1、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定为零。一定为零。2 2、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能为、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能为零。零。3 3、当这两个力合力为零时，它们对轴的合力矩一定也、当这两个力合力
4、为零时，它们对轴的合力矩一定也为零。为零。4 4、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一定也为、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一定也为零。零。5第5页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版 二二二二.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元-外力外力-内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O6第6页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力
5、矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)，得：，得：7第7页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版得到：得到：上上式式左左端
6、端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M 表表示示；右右端端求求和和符符号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚刚体体转转动动惯惯量，以量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律8第8页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版讨论：讨论：（2）J 与总质量、质量分布以及转轴的位置有关与总质量、质量分布以及转轴的位置有关;（3）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速
7、 的力矩为正的力矩为正.惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1）M 一定，一定，J对比对比9第9页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版例题、例题、质量为质量为m半径为半径为R的薄圆盘从静止开始在恒力矩的薄圆盘从静止开始在恒力矩M的作用的作用下绕通过直径的光滑轴转动，下绕通过直径的光滑轴转动，（J=mR2/4），），t秒后点秒后点B的切向加速度的切向加速度at=_，法向加速度法向加速度an=_.解：由转动定律解：由转动定律M=J 得得=M/J而而 at=Ran=2R =
8、t10第10页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度.转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2决定转动惯量的要素：决定转动惯量的要素：(1)体密度体密度;(2)几何形状几何形状;(3)转轴位置转轴位置.两个相同的圆盘两个相同的圆盘,铁质与木质铁质与木质质量分布离轴越远质量分布离轴越远,J 越大越大同一刚体同一刚体,转轴位置不同转轴位置不同,J 就不相同就不相同11第11页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动
9、惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版v 质量离散分布质量离散分布 J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布：质量元：质量元：体积元：体积元12第12页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版 例例.求求长长L,质质量量m均均匀匀细细棒棒的的转转动动惯惯量量.(1)O轴轴通通过过棒棒一一端端且且与棒垂直与棒垂直;(2)O轴通过棒中点且与棒垂直轴通过棒中点且与棒垂直.xdxOO 解：解：取轴为坐标原点取轴为坐标原点,取长度微元如图取长度微元如
10、图dm=dx,=m/LdJ=r2dm=x2 dx(1)过棒的一端过棒的一端O=L3/3=mL2/3(2)过棒的中点过棒的中点O=x3/3=L3/12=mL2/12结果表明：结果表明：同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。13第13页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版例题例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为，质量为m，密度均匀。，密度均匀。
11、rRdr解解 设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r、宽度为宽度为dr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的，环的 质量质量dm=2 rdr 。可得。可得14第14页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版几种常见刚体的转动惯量：几种常见刚体的转动惯量：细棒细棒细棒细棒薄圆环薄圆环或薄圆筒或薄圆筒圆盘或圆盘或圆柱体圆柱体15第15页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章
12、刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版m1rm1质点与刚体组合的转动惯量质点与刚体组合的转动惯量16第16页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CO17第17页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五
13、版质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量OO1d=L/2O1O2O218第18页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版(2)为瞬时关系为瞬时关系(3)转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同(1),与与 方方向相同向相同 说明说明 转动定律应用转动定律应用19第19页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版竿竿子子长长些些还还
14、是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？20第20页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版例例1 1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m m1 1 和和 m m2 2 的物体的物体，m m1 1 mm2 2 ，滑轮的滑轮的 质量为质量为 m m，半径为，半径为 R R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 M Mf f ，绳与滑轮间无相对滑动
15、。，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：已知：m1，m2，m，R，Mf求：求：.解解:研究对象研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析建立坐标，受力分析 如图如图Mf对对m1：对对m2：对对m：21第21页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版联立求得：联立求得：注意：注意：当不计滑轮的质量当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：及摩擦阻力时：这便是质点动力学中所这便是质点动力学中所熟知的结果熟知的结果22第22页，讲稿共31张，创作于星期日4-
16、24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版例：例：已知已知 ：R R，m m 求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系。解：解：圆盘和物体受力分析如图：圆盘和物体受力分析如图：对圆盘：对圆盘：对物体：对物体：联立（联立（1）、（）、（2）、（）、（3）得：）得：第23页，讲稿共31张，创作于星期日18.10.2022234-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版 例例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水平面静止在光滑水平面上，和一
17、质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一，并系在另一质量为质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖直悬挂竖直悬挂滑轮与绳滑轮与绳索间无滑动，索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计不计(1)两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和水平和竖直两段绳索的张力各为多少？竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体物体 B 从从静止落下距离静止落下距离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？24第24页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯
18、量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版解解 (1)用用隔离法分别隔离法分别对各物体作受力分析，取如图对各物体作受力分析，取如图所示坐标系所示坐标系ABCOO25第25页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版OO26第26页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版解得：解得：27第27页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转
19、动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版如令如令 ，可得，可得 （2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率的速率28第28页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速角时的角加速度和角速度度和角速度例例3一长为一长为 l、质量为质
20、量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链与一固定铰链O相接，并可相接，并可绕其转动绕其转动由于此竖直放置由于此竖直放置的细杆处于非的细杆处于非m,lOmg29第29页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得式中式中得得m,lOmg30第30页，讲稿共31张，创作于星期日4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版感感谢谢大大家家观观看看第31页，讲稿共31张，创作于星期日