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1、导数的应用你现在浏览的是第一页，共36页 拉格朗日中值定理 一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 你现在浏览的是第二页，共36页2.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论你现在浏览的是第三页，共36页3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维,设辅助函数设辅助函数.一般解题方法一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在
2、证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.必须必须多次应用多次应用中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)若结论为不等式若结论为不等式,要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.你现在浏览的是第四页，共36页例例
3、1.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即你现在浏览的是第五页，共36页例例2 2证证由介值定理由介值定理,你现在浏览的是第六页，共36页注意到注意到由由,有有+,得得你现在浏览的是第七页，共36页例例3.设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且 分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在 想到找一点 c,使证证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在0,2上有最大值 M 与最小值 m,故由介值定理,至少存在一点 由罗尔定理知,必存在 你现在浏览的是第八页，共36页洛必达法洛必达法则 二、二、洛必达法则洛必
4、达法则 你现在浏览的是第九页，共36页 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.1o.先做无穷小代换先做无穷小代换.你现在浏览的是第十页，共36页用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o.需要先验证条件需要先验证条件.应该怎么做？应该怎么做？.你现在浏览的是第十一页，共36页解：解：.例例1你现在浏览的是第十二页，共36页例例2解：解：.你现在浏览的是第十三页，共36页解解例例 3你现在浏览的是第十四页，共36页例例 4解解所求极限为所求极限为“-”型，通分后再运用洛必达法则型，
5、通分后再运用洛必达法则.例例 5解解你现在浏览的是第十五页，共36页例例6你现在浏览的是第十六页，共36页三、导数的应用1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题做证明题.2.熟练掌握求函数极值熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小确定极大还是极小)和最和最值以及拐点的方法值以及拐点的方法.3.求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线.4.会做会做y=f(x)的图形的图形.5.正确求出函数在某点处的曲率正确求出函数在某点处的曲率.6熟悉常用的马克劳林公式熟悉常用的马克劳林公式你现在浏览的是第十七页，共36页定理定理
6、1 函数函数单调性的判定法性的判定法你现在浏览的是第十八页，共36页2.求函数极值和最值求函数极值和最值求极值的步骤：求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；求求a,b上连续函数上连续函数f(x)的最值的步骤：的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2)把把 f(x)在这些点的值与在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。为最小值。注注：若连续函数：若连续函数f(x)在区间在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；内有唯一的极值点。
7、则极大值就是最大值；极小值就是最小值。极小值就是最小值。你现在浏览的是第十九页，共36页3计算函数凹凸区间计算函数凹凸区间你现在浏览的是第二十页，共36页方法方法1:1:方法方法2:2:3 计算函数拐点方法计算函数拐点方法你现在浏览的是第二十一页，共36页.4.给定函数给定函数 y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线求其竖直渐近线及斜渐近线。.你现在浏览的是第二十二页，共36页5 弧微分弧微分你现在浏览的是第二十三页，共36页.6.求求 函数在某点函数在某点 处的曲率处的曲率.(1)曲线曲线 y=f(x)在点在点 x=a处的曲率：处的曲率：.你现在浏览的是第二十四页，共36页.7.常用常用麦克
8、劳林公式：麦克劳林公式：2m-1阶阶2m阶阶你现在浏览的是第二十五页，共36页.7.常用麦克劳林公式：常用麦克劳林公式：.你现在浏览的是第二十六页，共36页例1例2例3例4你现在浏览的是第二十七页，共36页利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例5.求解解:由于用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便 !用泰勒公式将分子展到项,你现在浏览的是第二十八页，共36页例例1.证毕证毕.你现在浏览的是第二十九页，共36页例例2解：解：.你现在浏览的是第三十页，共36页例例3解：解：xy(,0)(,+)(0,+).(,+)你现在浏览的是第三十一页，共36页例例4 4解解奇函数奇函数你现在浏览的是第三十二页，共36页你现在浏览的是第三十三页，共36页列表如下列表如下:你现在浏览的是第三十四页，共36页极大值极大值拐点拐点极小值极小值你现在浏览的是第三十五页，共36页作图作图你现在浏览的是第三十六页，共36页