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1、复数的概念课件第1页，本讲稿共35页教学目标教学目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。教学重点教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。教学难点教学难点：复数及其相关概念的理解第2页，本讲稿共35页 引言：在人和社会的发展过程引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完的过程中，我们应该如何发扬和
2、完善，否定和抛弃呢？善，否定和抛弃呢？第3页，本讲稿共35页数数系系的的扩扩充充自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数？NZQR用图形表示包含关系：用图形表示包含关系：复习回顾复习回顾复习回顾复习回顾第4页，本讲稿共35页知识引入知识引入知识引入知识引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根我们已知知道：我们已知知道：我们能否将实数集进行扩充，使得在新的我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考思考？第5页，本讲稿共35页引入一个新数引入一个新数 ，叫做叫做虚数单位虚数单位，并规定：，并规定：（1 1）它的平方等于
3、它的平方等于1 1，即，即虚数单位虚数单位（2 2）实数可以与它进行）实数可以与它进行四则运算四则运算，进行四则运，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立算时，原有的加、乘运算律仍然成立 为了解决负数开方问题为了解决负数开方问题，即：将实数即：将实数a和数和数i相加记为相加记为:a+i；把实数把实数b与数与数i相乘记作相乘记作:bi；将它们的和记作将它们的和记作:a+bi (a,bR),第6页，本讲稿共35页复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示1.复数：把形如 a+bi(a,bR)的数叫复数i 叫做 虚数单位(imaginary unit)一一.复数的有关概念复数的有关概念第7页，本
4、讲稿共35页虚部实部用z表示复数,即z=a+bi(a,bR)叫做复数的代数形式2.复数的代数形式：规定:0i=0,0+bi=bi第8页，本讲稿共35页3.两个复数相等有两个复数Z1=a+bi(a,bR)和Z2=c+di(c,dR)a+bi=c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小第9页，本讲稿共35页4.复数的分类：复数z=a+bi(a,bR)条件数的类型R C实数集R是复数集C的真子集，虚数b0纯虚数a=0且b0实数0a=b=0实数b=0复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)
5、虚数(b0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a0)第10页，本讲稿共35页N Z Q R CNZQR思考思考C C1.数集数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？的关系是怎样的？第11页，本讲稿共35页复数集实数集虚数集纯虚数集2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系第12页，本讲稿共35页1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部练习练习:第13页，本讲稿共35页2.有下列命题：（1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数（2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数（3）若a为实数，则 z=a 一定不是虚数其中真命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3B第14页，本讲稿共35
6、页例例1 1：实数：实数m m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1 1）实数？）实数？（2 2）虚数？）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？解解：（：（1 1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z z是实数是实数（2 2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z z是虚数是虚数（3 3）当当 ，且，且 ，即，即 时，时，复数复数z z 是是纯虚数纯虚数新授课新授课第15页，本讲稿共35页第16页，本讲稿共35页分析在本题是复数的标准形式下，即zabi(a，bR)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可第17页，本讲稿共35页第18页，本讲稿共35页点评判断一个含有参数的复数在什么情
7、况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m30，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的对于复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它这是解复数问题的重要思路之一第19页，本讲稿共35页(1)下列命题中假命题是()A自然数集是非负整数集B实数集与复数集交集为实数集C实数集与虚数集交集是0D纯虚数集与实数集交集为空集答案C解析复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共
8、元素，C是假命题故选C.变式练习：变式练习：第20页，本讲稿共35页(2)已知a、bR，则ab是(ab)(ab)i为纯虚数的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析当ab0时，此复数为0是实数，故A、B不正确；第21页，本讲稿共35页第22页，本讲稿共35页1-1B第23页，本讲稿共35页新授课新授课例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求解：由复数相等的定义，得方程组解：由复数相等的定义，得方程组解得解得第24页，本讲稿共35页点评(1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据(2)根据复数相等的定义可知，在ac，bd中，只要有一个不成立
9、，那么abicdi.所以，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1i和35i不能比较大小第25页，本讲稿共35页(1)已知x2y22xyi2i，求实数x、y的值(2)已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值变式练习：变式练习：第26页，本讲稿共35页小结：1.知识点有:2.思想方法有：作业：P106A组1.2.第27页，本讲稿共35页附表一：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：第28页，本讲稿共35页附表二附表二：第29页，本讲稿共35页 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数
10、或部落的人数腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。英文英文calculatecalculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus calculus（石石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上古结绳卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上古结绳而治，后世圣人易之以书契。而治，后世圣人易之以书契。直至直至18891889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。年，皮亚诺才建立自然数序数理论。自然数自然数返回返回第30页，本讲稿共35页 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空算数并进行运算
11、时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（sunya）字，其原意也是空或空白。字，其原意也是空或空白。中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法了负整数的引入。减法运算可看作求解方程运算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，则所给方程未必有是自然数，则所给方程未必有自然数解。为
12、了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。整数整数返回返回第31页，本讲稿共35页分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对八部对“分分”的解释：的解释：“分，别也。从八从刀，刀分，别也。从八从刀，刀以分别物也。以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其法运算引入的。其“合分术合分术”有云：有云：“实如法而一。实如法而一。不满法者，以法命之。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义
13、了一个分数。以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。返回返回第32页，本讲稿共35页 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理引进无理数。约在公元前数。约在公元前530530，毕达哥拉斯学派已知道边长为，毕达哥拉斯学派已知道边长为1 1的正方的正方形的对角线的长度（即形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。15 15世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonard
14、o da Vinci,1452-1519Leonardo da Vinci,1452-1519）把把它们称为是它们称为是“无理的数无理的数”（irrational numberirrational number），），开普勒（开普勒（J.J.Kepler,1571-1630Kepler,1571-1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：给出了回答：无理数是有理数序列的极限。无理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用由于有理数
15、可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世纪中叶以前的实世纪中叶以前的实际做法。际做法。无理数无理数返回返回第33页，本讲稿共35页 实实数数系系的的逻逻辑辑基基础础直直到到1919世世纪纪7070年年代代才才得得以以奠奠定定。从从1919世世纪纪2020年年代代肇肇始始的的数数学学分分析析严严密密化化潮潮流流，使使得得数数学学 家家们们认认识识到到必必须须建建立立严严格格的的实实数数理理论论，尤尤其其是是关关于于实实数数系系的的连连续续性性的的理理论论。在在这这方方面面，外外尔尔斯斯特特拉拉斯斯（185
16、91859年年 开开始始）、梅梅雷雷（18691869）、戴戴德德金金（18721872）与与康康托托尔尔（1872 1872）作作出了杰出的贡献。出了杰出的贡献。实数实数返回返回第34页，本讲稿共35页复数复数 从从1616世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在大法（题。卡尔达诺在大法（15451545）中阐述一元三次方程解法）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代时，发现难以避免复数。关于复数及其代 数运
17、算的几何表示，数运算的几何表示，是是1818世纪末到世纪末到1919世纪世纪3030年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。立的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于18431843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。元数等等。返回返回第35页，本讲稿共35页