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1、 第 2 讲 导数与函数的单调性 一、知识梳理 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数 yf(x)在区间(a，b)上可导 f(x)0 f(x)在(a，b)内单调递增 f(x)0(f(x)0 恒成立， 所以 f(x)是增函数 2函数 y4x21x的单调增区间为( ) A(0，) B(12，) C(，1) D，12 解析：选 B由 y4x21x，得 y8x1x2， 令 y0，即 8x1x20，解得 x12， 所以函数 y4x21x的单调增区间为12， . 故选 B 3已知定义在区间(，)上的函数 f(x)xsin xcos x，则 f(x)的单调递增区间是_ 解析：f(x)sin xxcos
2、xsin xxcos x， 令 f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，2和0，2，即 f(x)的单调递增区间为，2和0，2. 答案：，2和0，2 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( ) 答案：(1) (2) 二、易错纠偏 常见误区| (1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件； (2)讨论函数单调性时，分类标准有误 1函数 f(x)cos xx 在(0，)上的单调性是( ) A先增后减 B先
3、减后增 C增函数 D减函数 解析：选 D因为 f(x)sin x10 恒成立， 所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x0，1a时，f(x)0；x1a， 时， f(x)0)， 当 f(x)0 时，解得 x1e， 即函数 f(x)的单调递增区间为1e， ； 当 f(x)0 时， 解得 0 x0，则当 x(，0)a3， 时，f(x)0；当 x0，a3时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，a3， 单调递增，在0，a3单调递减 若 a0，则 f(x)在(，)单调递增 若 a0；当 xa3，0 时，f(x)0 时为增函数；f(x)0)，讨论 f(x)的单调性 解：函数 f(x)的定义域为
4、(0，)， f(x)a(x1)11x（x1）（ax1）x， 令 f(x)0，则 x11，x21a， 若 a1，则 f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数； 若 0a1， 当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数， 当 x1，1a时，f(x)0，f(x)是增函数； 若 a1，则 01a0，f(x)是增函数，当 x1a，1 时，f(x)0，f(x)是增函数 综上所述，当 a1 时，f(x)在(0，)上是增函数； 当 0a1 时，f(x)在0，1a上是增函数，在1a，1 上是减函数，在(1，)上是增函数 考点二 求函数的单调区间(基础型) 复习指导| 会利用导数求不超过三次的
5、多项式函数的单调区间 核心素养：数学运算 已知函数 f(x)aln xxa1x(aR)求函数 f(x)的单调区间 【解】 f(x)的定义域为(0，)， f(x)ax11ax2x2ax1ax2（x1）x（1a）x2， 当 a10，即 a1 时，在(0，1a)上 f(x)0，在(1a，)上，f(x)0， 所以 f(x)的单调递增区间是(0，1a)，单调递减区间是(1a，)； 当 1a0，即 a1 时，在(0，)上，f(x)0 时，f(x)x4x的单调递减区间是( ) A(2，) B(0，2) C( 2，) D(0， 2) 解析：选 B令 f(x)14x2（x2）（x2）x20，则2x0，所以 x(
6、0，2)，故选 B 2已知函数 f(x)x454xln x32，求函数 f(x)的单调区间 解：f(x)x454xln x32，x(0，)， 则 f(x)x24x54x2. 令 f(x)0，解得 x1 或 x5. 因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去 当 x(0，5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数 故函数 f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0，5) 考点三 函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性 角度一 比较大小或解不等式 已知函数 f(x)是函数 f(x)的导函数，
7、 f(1)1e， 对任意实数都有 f(x)f(x)0， 设 F(x)f（x）ex，则不等式 F(x)0，知 F(x)0， 所以 F(x)在 R 上单调递减 由 F(x)1， 所以不等式 F(x)1e2的解集为(1，) 【答案】 B 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件， 构造辅助函数， 把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式 角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x)f
8、(x)g(x)在1，4上单调递减，求 a 的取值范围 【解】 (1)h(x)ln x12ax22x，x(0，)， 所以 h(x)1xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1xax20 有解 即 a1x22x有解， 设 G(x)1x22x， 所以只要 aG(x)min即可 而 G(x)1x121，所以 G(x)min1. 所以 a1，即 a 的取值范围是(1，) (2)由 h(x)在1，4上单调递减得， 当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立， 即 a1x22x恒成立 所以 aG(x)max，而 G(x)1x121， 因为 x1，4，所以1x14，1
9、， 所以 G(x)max716(此时 x4)， 所以 a716， 即 a 的取值范围是716， . 【迁移探究 1】 (变条件)本例条件变为：若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求 a 的取值范围 解：由 h(x)在1，4上单调递增得，当 x1，4时，h(x)0 恒成立， 所以当 x1，4时，a1x22x恒成立， 又当 x1，4时，1x22xmin1(此时 x1)， 所以 a1，即 a 的取值范围是(，1 【迁移探究 2】 (变问法)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上存在单调递减区间，求 a的取值范围 解：h(x)在1，4上存在单调递减区间， 则 h(x)1x22x有解
10、， 又当 x1，4时，1x22xmin1， 所以 a1，即 a 的取值范围是(1，) (1)已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围的两种思路 转化为不等式恒成立问题 若函数在某区间上单调递增f(x)0 在该区间上恒成立； 若函数在某区间上单调递减f(x)0 在该区间上恒成立 注意 一般地，f(x)在区间(a，b)上是增函数的充要条件是 f(x)0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间内 f(x)不恒为 0.其中不等式中等号不能省略，否则可能漏解！ 利用区间之间的包含关系 若已知 yf(x)在区间(a，b)上单调，则区间(a，b)应该是相应单调区间的子区间 (2)已知函数的单调区
11、间求参数的值时，首先利用导数，求出函数的单调区间(含参)，然后令该单调区间与已知区间相等，列方程求解 (3)已知函数在某区间内不单调求参数的取值范围时，通常利用极值点在该区间内，列不等式求解 1已知函数 f(x)xsin x，xR，则 f5，f(1)，f3的大小关系为( ) Af3f(1)f5 Bf(1)f3f5 Cf5f(1)f3 Df3f5f(1) 解析：选 A因为 f(x)xsin x， 所以 f(x)(x)sin(x)xsin xf(x) 所以函数 f(x)是偶函数，所以 f3f3. 又 x0，2时，得 f(x)sin xxcos x0， 所以 f(x)在0，2上是增函数 所以 f5f
12、(1)f(1)f5，故选 A 2已知函数 f(x)x3ax1. (1)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在(1，1)上为单调减函数，求实数 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调递减区间为(1，1)，求实数 a 的值； (4)若函数 f(x)在区间(1，1)上不单调，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为 f(x)在(，)上是增函数， 所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3x2对 xR 恒成立 因为 3x20， 所以只需 a0. 又因为 a0 时，f(x)3x20， f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0，即实数 a
13、 的取值范围为(，0 (2)由题意知 f(x)3x2a0 在(1，1)上恒成立， 所以 a3x2在(1，1)上恒成立， 因为当1x1 时，3x20. 令 f(x)0，解得 x3a3. 因为 f(x)在区间(1， 1)上不单调， 所以 f(x)0 在(1， 1)上有解， 需 03a31， 得 0a0，解得 x1，故选 D 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d) 解析：选 C由题意得，当 x(，c)时，f(x)0，所以函数
14、f(x)在(，c)上是增函数， 因为 abf(b)f(a)，故选 C 3函数 f(x)exx的图象大致为( ) 解析：选 B函数 f(x)exx的定义域为x|x0，xR，当 x0 时，函数 f(x)xexexx2，可得函数的极值点为：x1，当 x(0，1)时，函数是减函数，x1 时，函数是增函数，并且 f(x)0，选项 B、D 满足题意 当 x0 时，函数 f(x)exxf(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2) Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2) 解析：选 Df(x)的定义域是(0，)， f(x)1ln xx2，令 f(x)0，得 xe. 所以当 x(0，e)时，f(x
15、)0，f(x)单调递增，当 x(e，)时，f(x)f(3)f(2)，故选 D 5若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(1，)上为增函数，则实数 m 的取值范围是( ) A(，1 B(，1) C(，2 D(，2) 解析： 选 C 因为 f(x)6(x2mx1)， 且函数 f(x)在区间(1， )上是增函数， 所以 f(x)6(x2mx1)0 在(1，)上恒成立，即 x2mx10 在(1，)上恒成立，所以 mx21xx1x在(1，)上恒成立，即 mx1xmin(x(1，)，因为当 x(1，)时，x1x2，所以 m2.故选 C 6函数 f(x)x454xln x 的单调递减区间是_ 解析：因为
16、 f(x)x454xln x， 所以函数的定义域为(0，)， 且 f(x)1454x21xx24x54x2， 令 f(x)0，解得 0 x5，所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，5) 答案：(0，5) 7已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x22)0，函数单调递增，所以由 f(x22)f(3x)得 x223x，所以 1x0，解得 x1 或 x13； 令 f(x)0，解得13x1. 所以 f(x)的单调递增区间是，13和(1，)； f(x)的单调递减区间是13，1 . 10已知函数 f(x)bex1(bR，e 为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数 F(x)
17、f(x)ax(aR)的单调性 解：因为 f(0)b1， 所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为 kb1（2）02b12， 而 f(x)bex，由导数的几何意义可知， f(0)bb12， 所以 b1，所以 f(x)1ex1. 则 F(x)ax1ex1，F(x)a1ex， 当 a0 时，F(x)0 时，由 F(x)0，得 x0，得 xln a. 故当 a0 时，函数 F(x)在 R 上单调递减； 当 a0 时，函数 F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 综合题组练 1(综合型)设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数，且 f(x)g(x)f(
18、x)g(x)0，则当 axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a) 解析：选 C令 F(x)f（x）g（x），则 F(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）20，所以 F(x) 在 R 上单调递减又 axf（x）g（x）f（b）g（b）.又 f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x) 2 函数 f(x)的定义域为 R.f(1)2， 对任意 xR， f(x)2， 则 f(x)2x4 的解集为( ) A(1，1) B(1，) C(，1) D(，) 解析：选 B由 f(x)2x4，得 f(x)
19、2x40.设 F(x)f(x)2x4，则 F(x)f(x)2. 因为 f(x)2，所以 F(x)0 在 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上单调递增，而 F(1)f(1)2(1)42240，故不等式 f(x)2x40 等价于 F(x)F(1)，所以 x1，选 B 3若函数 f(x)ax33x2x 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由题意知 f(x)3ax26x1，由函数 f(x)恰好有三个单调区间，得 f(x)有两个不相等的零点，所以 3ax26x10 需满足 a0，且 3612a0，解得 a3，所以实数 a 的取值范围是(3，0)(0，) 答案：(3，0)(0，) 4已
20、知函数 f(x)12x24x3ln x 在区间t，t1上不单调，则 t 的取值范围是_ 解析：由题意知 f(x)x43x （x1）（x3）x， 由 f(x)0，得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内， 函数 f(x)在区间t，t1上就不单调， 由 t1t1 或 t3t1，得 0t1 或 2t3. 答案：(0，1)(2，3) 5设函数 f(x)13x3a2x2bxc，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (1)求 b，c 的值； (2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在
21、区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 解：(1)f(x)x2axb， 由题意得f（0）1，f（0）0，即c1，b0. 故 b0，c1. (2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)， 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0，a)时，f(x)0； 当 x(a，)时，f(x)0， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a) (3)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax2x2x成立， 即ax2xmin. 因为 x(2，1)，所以x(1，2)， 则x2x2（x）2x2 2， 当且仅当x2x，即 x 2时等号成立， 所以a2 2，则 a1 时，g(x)0. 解：(1)由题意得 f(x)2ax1x2ax21x(x0) 当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 有 x12a， 当 x0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增 (2)证明：令 s(x)ex1x，则 s(x)ex11.当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)s(1)，即 ex1x，从而 g(x)1xeexe（ex1x）xex0.