《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 函数及其表示 教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 函数及其表示 教案.doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 第二章第二章 函数的概念与基本初等函数函数的概念与基本初等函数 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养数学运算的核心素养 2考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养心素养 3与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸
2、显分与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养类讨论思想的应用及数学运算的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1函数的概念函数的概念 函数函数 两集合两集合 A，B 设设 A，B 是两个是两个非空的数集非空的数集 对应关系对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合，使对于集合 A 中的中的任意任意一个数一个数 x，在集合，在集合B 中都有中都有唯一确定唯一确定的数的数 f(x)和它对应和它对应 名称名称 称称 f：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合 B 的一个函数的一个函数
3、 记法记法 yf(x)，xA 2函数的有关概念函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：函数的定义域、值域：在函数在函数 yf(x)，xA 中，中，x 叫做自变量，叫做自变量，x 的取值范围的取值范围 A 叫做函叫做函数的定义域；与数的定义域；与 x 的值相对应的的值相对应的 y 值值叫做函数值，函数值的集合叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值叫做函数的值域显然，值域是集合域显然，值域是集合 B 的的子集子集 (2)函数的三要素：函数的三要素：定义域定义域、值域值域和和对应关系对应关系 (3)相等函数：相等函数：如果两个函数的如果两个函数的定义域定义域和和对应关系对应关系完全一致
4、，则这两个函数相等，这是判断完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据两函数相等的依据 3函数的表示方法函数的表示方法 函数的表示方法有三种，分别为函数的表示方法有三种，分别为解析法解析法、列表法列表法和和图象法图象法同一个函数可以用不同的方法同一个函数可以用不同的方法表示表示 4分段函数分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系对应关系，这样的函数，这样的函数通常叫做分段函数通常叫做分段函数 2 5分段函数的相关结论分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段
5、函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关一、关键点练明键点练明 1(相等函数的判断相等函数的判断)下列下列 f(x)与与 g(x)表示同一函数的是表示同一函数的是( ) Af(x) x21与与 g(x) x1 x1 Bf(x)x 与与 g(x)x3xx21 Cyx 与与 y( x)2 Df(x) x2与与 g(x)3x3 答案：答案：B 2(函数的定义域函数的定义域)函数函数 f(x) 2x11x2的定义域为
6、的定义域为_ 解析：解析：由题意得由题意得 2x10，x20，解得解得 x0 且且 x2. 答案：答案：0,2)(2，) 3(函数的值域函数的值域)已知函数已知函数 f(x)2x3，xxN N|1x5，则函数，则函数 f(x)的值域为的值域为_ 解析：解析：x1,2,3,4,5，f(x)2x31,1,3,5,7.f(x)的值域为的值域为1,1,3,5,7 答案：答案：1,1,3,5,7 4(求函数的解析式求函数的解析式)已知已知 f(x)是一次函数，满足是一次函数，满足 3f(x1)6x4，则，则 f(x)_. 解析：解析：设设 f(x)axb(a0)，则，则 f(x1)a(x1)baxab，
7、依题设得，依题设得 3ax3a3b6x4， 3a6，3a3b4， a2，b23，则则 f(x)2x23. 答案：答案：2x23 5(分段函数求值分段函数求值)已知函数已知函数 f(x) log2x，x0，3x1，x0，则则 f f 14的值是的值是_ 解析：解析：由题意可得由题意可得 f 14log2142， 3 f f 14f(2)321109. 答案：答案：109 二、易错点练清二、易错点练清 1(对函数概念理解不清对函数概念理解不清)已知集合已知集合 Px|0 x4，Qy|0y2，下列从，下列从 P 到到 Q 的各的各对应关系对应关系 f 不是函数的是不是函数的是( ) Af：xy12x
8、 Bf：xy13x Cf：xy23x Df：xy x 解析：解析：选选 C 对于对于 C，因为当，因为当 x4 时，时，y23483 Q，所以，所以 C 不是函数不是函数 2(忽视自变量范围忽视自变量范围)设函数设函数 f(x) x1 2，x1，4 x1，x1，则使得则使得 f(x)1 的自变量的自变量 x 的取值的取值范围为范围为_ 解析：解析： 因为因为 f(x)是分段函数， 所以是分段函数， 所以 f(x)1 应分段求解 当应分段求解 当 x1 时，时， f(x)1(x1)21x2 或或 x0，所以，所以 x2 或或 0 x0，12x0，解得解得3x0，m24m0，解得解得 00，x11
9、，解得解得1x0 或或 00，4k212k0，得得 0k3.综上，综上，0k0，所以，所以 t1， 故故 f(x)的解析式是的解析式是 f(x)lg 2x1，x(1，) (2)(待定系数法待定系数法)设设 f(x)ax2bxc(a0)， 6 由由 f(0)0，知，知 c0，f(x)ax2bx， 又由又由 f(x1)f(x)x1， 得得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1， 即即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以所以 2abb1，ab1，解得解得 ab12. 所以所以 f(x)12x212x，xR R. (3)(解方程组法解方程组法)由由 f(x)2f(x)2x， 得得 f(x
10、)2f(x)2x， 2，得，得 3f(x)2x12x. 即即 f(x)2x12x3. 故故 f(x)的解析式是的解析式是 f(x)2x12x3，xR R. 方法技巧方法技巧 求函数解析式的常用方法求函数解析式的常用方法 待定待定 系数法系数法 当函数的特征已经确定时，一般用当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式待定系数法来确定函数解析式 换元法换元法 如果给定复合函数的解析式， 求外函数的解析式， 通常用换元法将内函数先换元，如果给定复合函数的解析式， 求外函数的解析式， 通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式然后求出外函数的解析式 配凑法配凑法 将将 f(g(x
11、)右端的代数式配凑成关于右端的代数式配凑成关于 g(x)的形式，进而求出的形式，进而求出 f(x)的解析式的解析式 解方程解方程 组法组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式函数解析式 针对训练针对训练 1(换元法换元法)已知函数已知函数 f(x1)xx1，则函数，则函数 f(x)的解析式为的解析式为( ) Af(x)x1x2 Bf(x)xx1 Cf(x)x1x Df(x)1x2 解析：解析：选选 A 令令 x1t，则，则 xt1，f(t)t1t2， 即即 f(x)x1x2.故选
12、故选 A. 7 2(配凑法配凑法)已知二次函数已知二次函数 f(2x1)4x26x5，求，求 f(x)的解析式的解析式 解：解：因为因为 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9， 所以所以 f(x)x25x9(xR R) 3(解方程组法解方程组法)已知已知 f(x)满足满足 2f(x)f 1x3x，求，求 f(x)的解析式的解析式 解：解：2f(x)f 1x3x， 把把中的中的 x 换成换成1x，得，得 2f 1xf(x)3x. 联立联立可得可得 2f x f 1x3x，2f 1xf x 3x， 解此方程组可得解此方程组可得 f(x)2x1x(x0) 考点三考
13、点三 分段函数分段函数 考法考法(一一) 分段函数求值分段函数求值 例例 1 (1)设函数设函数 f(x) x22x，x0，f x3 ，x0，则则 f(5)的值为的值为( ) A7 B1 C0 D.12 (2)(2021 宜昌调研宜昌调研)已知已知 f(x) log3x，x0，axb，x0(0a1)，且，且 f(2)5，f(1)3，则，则 f(f(3)( ) A2 B2 C3 D3 解析解析 (1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22112.故选故选 D. (2)由题意得，由题意得，f(2)a2b5， f(1)a1b3， 联立联立，结合，结合 0a0， 12x1，x0， 则则
14、 f(3) 12319，f(f(3)f(9)log392，故选，故选 B. 8 答案答案 (1)D (2)B 方法技巧方法技巧 分段函数求值的解题思路分段函数求值的解题思路 求求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值的形式时，应从内到外依次求值 考法考法(二二) 分段函数与方程、不等式结合分段函数与方程、不等式结合 例例2 (1)已知函数已知函数f(x) x1，1x0，2x，x0.若实数若实数a满足满足f(a)f(a
15、1)， 则， 则f 1a( ) A2 B4 C6 D8 (2)已知函数已知函数 f(x) log2x，x1，11x，x0. 当当 0a1 时，由时，由 f(a)f(a1)，即，即 2a a，解得，解得 a14，则，则 f 1af(4)8. 当当 a1 时，由时，由 f(a)f(a1)，得，得 2a2(a1)，不成立，不成立 故选故选 D. (2)当当 x1 时，不等式时，不等式 f(x)1 为为 log2x1，即，即 log2xlog22， 函数函数 ylog2x 在在(0，)上单调递增，上单调递增，1x2. 当当 x1(舍去舍去)， f(x)1 的解集是的解集是(，01,2故选故选 D. 答
16、案答案 (1)D (2)D 方法技巧方法技巧 解分段函数与方程或不等式问题的策略解分段函数与方程或不等式问题的策略 求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段的求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段的解析式分别求解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需解析式分别求解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解 解得值依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解 解得值(范围范围)后一定要检验是否符合相应段后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围的
17、自变量的取值范围 9 针对训练针对训练 1已知函数已知函数 f(x) 2x1，x0，1log2x，x0，则则 f(f(3)( ) A.43 B.23 C43 D3 解析：解析：选选 A 因为因为 f(3)1log23log2230且且 f(a)1，则实数，则实数 a 的值等于的值等于( ) A1 B. 2 C1 D 2 解析：解析：选选 AD f(a)1 且且 f(x) x21，x0，2x1，x0， 当当 a0 时，有时，有 f(a)a211，解得，解得 a 2或或 a 2(舍去舍去) 当当 a0 时，有时，有 f(a)2a11，解得，解得 a1. 综上可得，综上可得，a 2或或 a1.故选故
18、选 A、D. 3已知函数已知函数 f(x) x2x，x0，3x，x0，则实数，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A(1，) B(2，) C(，1)(1，) D(，2)(2，) 解析：解析：选选 D 当当 a0 时，不等式可化为时，不等式可化为 a(a2a3a)0， 即即 a2a3a0，即，即 a22a0，解得，解得 a2 或或 a0(舍去舍去)； 当当 a0， 即即3aa2a0， 解得解得 a0(舍去舍去) 综上，实数综上，实数 a 的取值范围为的取值范围为(，2)(2，) 创新考查方式创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有高斯是
19、德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子数学王子”的称号，用其名字的称号，用其名字命名的命名的“高斯函数高斯函数”为设为设 xR R， 用， 用x表示不超过表示不超过 x 的最大整数， 则的最大整数， 则 yx称为高斯函数 例称为高斯函数 例 10 如：如：2.13，3.13，已知函数，已知函数 f(x)2x32x1，则函数，则函数 yf(x)的值域为的值域为( ) A0,1,2,3 B0,1,2 C1,2,3 D1,2 解析：解析：选选 D f(x)2x32x12x122x1122x1， 2x0，12x1，012x11， 则则 022x12，1122x13，即，即 1f(x)3.
20、 当当 1f(x)2 时，时，f(x)1； 当当 2f(x)g(10) Ct0N N*，使使 f(t0)g(t0) DtN N*，f(t)g(t) 解析解析：选选 D 由题图纵轴可知由题图纵轴可知 f(t)与与 g(t)的值域不相同的值域不相同；f(9)30g(10)；函数函数 f(t)的图象在的图象在函数函数 g(t)的图象的下方的图象的下方，所以不存在所以不存在 t0，使使 f(t0)g(t0)；由题图可以看出由题图可以看出tN N*，f(t)g(t) 3定义新运算定义新运算“”：当：当 mn 时，时，mnm；当；当 mn 时，时，mnn2.设函数设函数 f(x)(2x)x(4x)，x1,
21、4，则函数，则函数 f(x)的值域为的值域为_ 11 解析：解析：由题意知，由题意知，f(x) 2x4，x1，2，x34，x 2，4，当当 x1,2时，时，f(x)2,0；当；当 x(2,4时，时，f(x)(4,60，故当，故当 x1,4时，时，f(x)2,0(4,60 答案：答案：2,0(4,60 4若函数若函数 yf(x)的图象上存在不同的两点的图象上存在不同的两点 M，N 关于原点对称，则称点对关于原点对称，则称点对(M，N)是函数是函数 yf(x)的一对的一对“和谐点对和谐点对”已知函数已知函数 f(x) ex，x0，则此函数的则此函数的“和谐点对和谐点对”有有_对对 解析：解析：由题
22、意可知，由题意可知，f(x)的的“和谐点对和谐点对”数可转化为数可转化为 yex(x0)和和 yx24x(x1，则则 f(f(2)( ) A1 B4 C0 D5e2 解析：解析：选选 A 由题意知，由题意知，f(2)541，f(1)e01，所以，所以 f(f(2)1. 3函数函数 ylg 1x2 2x23x2的定义域为的定义域为( ) A(，1 B1,1 C. 1，12 12，1 D. 1，12 12，1 解析：解析：选选 C 要使函数有意义，需要使函数有意义，需 1x20，2x23x20，即即 1x1，x2且且x12，所以函数所以函数 ylg 1x2 2x23x2的定义域为的定义域为 x|1
23、x12或或12x1 . 12 4(2021 重庆六校模拟重庆六校模拟)已知函数已知函数 f(x1)的定义域为的定义域为(2,0)，则，则 f(2x1)的定义域为的定义域为( ) A(1,0) B(2,0) C(0,1) D. 12，0 解析：解析：选选 C 函数函数 f(x1)的定义域为的定义域为(2,0)，即，即2x0，1x11，则，则 f(x)的定义的定义域为域为(1,1)由由12x11，得，得 0 x1，f(2x1)的定义域为的定义域为(0,1)故选故选 C. 5设函数设函数 f(x) x21，x2，log2x，0 x2，若若 f(m)3，则实数，则实数 m 的值为的值为( ) A2 B
24、8 C1 D2 解析解析：选选 D 当当 m2 时，由时，由 m213，得，得 m24，解得，解得 m2；当；当 0m2 时，由时，由 log2m3，解得，解得 m238(舍去舍去) 综上所述，综上所述，m2，故选，故选 D. 6若函数若函数 f(x)满足满足 f(3x2)9x8，则，则 f(x)的解析式是的解析式是( ) Af(x)9x8 Bf(x)3x2 Cf(x)3x4 Df(x)3x2 或或 f(x)3x4 解析：解析：选选 B 令令 t3x2，则，则 xt23，所以，所以 f(t)9t2383t2.所以所以 f(x)3x2，故，故选选 B. 7(多选多选)具有性质：具有性质：f 1x
25、f(x)的函数，我们称为满足的函数，我们称为满足“倒负倒负”变换的函数给出下列函变换的函数给出下列函数，其中满足数，其中满足“倒负倒负”变换的函数是变换的函数是( ) Ayln 1x1x By1x21x2 Cy x，0 x1 Dysin 1x21x2 解析：解析：选选 BCD 对于对于 A，令，令 f(x)yln 1x1x，则，则 f 1xln 11x11xln x1x1f(x)，不满，不满足足“倒负倒负”变换；变换； 13 对于对于 B， 令， 令 f(x)y1x21x2， 则， 则 f 1x1 1x21 1x2x21x211x21x2f(x)， 满足， 满足“倒负倒负”变换；变换； 对于对
26、于 C，令，令 f(x)y x，0 x1. 当当 0 x1，f(x)x，f 1xxf(x)； 当当 x1 时，时，01x1，f(x)1x，f 1xf(x)； 当当 x1 时，时，1x1，f(x)0，f 1xf(1)0f(x)， 满足满足“倒负倒负”变换；变换； 对于对于 D，令，令 f(x)ysin1x21x2， 则则 f 1xsin 1 1x21 1x2sin 11x211x2sin x21x21 sin1x21x2f(x)，满足，满足“倒负倒负”变换故选变换故选 B、C、D. 8已知函数已知函数 f(x) log2 x1 ，x1，1，x1，则满足则满足 f(2x1)f(3x2)的实数的实数
27、 x 的取值范围是的取值范围是( ) A(，0 B(3，) C1,3) D(0,1) 解析：解析：选选 B 由由 f(x) log2 x1 ，x1，1，x1可得当可得当 x1 时，时，f(x)1，当，当 x1 时，函数时，函数 f(x)在在1，)上单调递增，且上单调递增，且 f(1)log221，要使得，要使得 f(2x1)f(3x2)，则，则 2x11，解得解得 x3， 即不等式即不等式 f(2x1)f(3x2)的解集为的解集为(3，)，故选，故选 B. 9已知函数已知函数 f(2x)log2xx，则，则 f(4)_. 解析：解析：令令 x2，则，则 f(22)f(4)log222123.
28、答案：答案：3 10.若函数若函数 f(x)在闭区间在闭区间1,2上的图象如图所示，则此函数的解析式为上的图象如图所示，则此函数的解析式为 14 _ 解析：解析：由题图可知，当由题图可知，当1x0 时，时，f(x)x1；当；当 0 x2 时，时，f(x)12x， 所以所以 f(x) x1，1x0，12x，0 x2. 答案：答案：f(x) x1，1x0，12x，0 x2 11设函数设函数 f(x) axb，x0，2x，x0，且且 f(2)3，f(1)f(1) (1)求求 f(x)的解析式的解析式； (2)画出画出 f(x)的图象的图象 解：解：(1)由由 f 2 3，f 1 f 1 ，得得 2a
29、b3，ab2， 解得解得 a1，b1，所以所以 f(x) x1，x0，2x，x0. (2)f(x)的图象如图所示的图象如图所示 12设函数设函数 f(x) x1 2，x1，2x2，1x1，求，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：法一：数形结合法一：数形结合 画出画出 f(x)的图象，如图所示，作出直线的图象，如图所示，作出直线 y1，由图可见，符合，由图可见，符合 f(a)1 的的 a 的取值范围为的取值范围为(，2) 12，1 . 15 法二：分类讨论法二：分类讨论 当当 a1 时，由时，由(a1)21， 得得 a11 或或 a10 或或 a2， 又又 a1，a2； 当当1a1，得，得 a
30、12， 又又1a1，12a1，得，得 0a12， 又又a1，此时此时 a 不存在不存在 综上可知，综上可知，a 的取值范围为的取值范围为(，2) 12，1 . 13.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离的刹车距离 y(米米)与汽车的车速与汽车的车速 x(千米千米/时时)满足下列关系：满足下列关系：yx2200mxn(m，n 是常数是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(米米)与汽车的车速与汽车的车速 x(千米千米/时时)的关系图的关系图 (1)求出求出 y 关于关于 x 的函数表达式；的函数表达式； (2)如果要求刹车距离不超过如果要求刹车距离不超过 25.2 米，求行驶的米，求行驶的最大速度最大速度 解：解：(1)由题意及函数图象，得由题意及函数图象，得 40220040mn8.4，60220060mn18.6， 解得解得 m1100，n0，yx2200 x100(x0) (2)令令x2200 x10025.2，得，得72x70. x0，0 x70.故行驶的最大速度是故行驶的最大速度是 70 千米千米/时时