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1、1 第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 最新考纲 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算， 了解两个具体复数相加、减的几何意义 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部 若 b0， 则 abi 为实数， 若 b0， 则 abi 为虚数， 若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数 (2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR) (3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR) (4)复数的模： 向量
2、OZ的模r叫做复数zabi的模， 即|z|abi|a2b2 2复数的几何意义 复数 zabi一一对应复平面内的点 Z(a，b)一一对应平面向量OZ(a，b) 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1z2abicdi（abi）（cdi）（cdi）（cdi）acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、
3、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 常用结论 2 1(1 i)2 2i；1i1ii；1i1ii 2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*) 3zz |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n. 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 aC，则 a20.( ) (2)已知 zabi(a，bR)，当 a0 时，复数 z 为纯虚数( ) (3)复数 zabi(a，bR)的虚部为 bi.( ) (4)方程 x2x10 没有解( ) 答案 (1) (2) (3) (4)
4、 二、教材改编 1若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( ) A1 B0 C1 D1 或 1 A z 为纯虚数，x210，x10，x1. 2在复平面内，向量AB对应的复数是 2i，向量CB对应的复数是13i，则向量CA对应的复数是( ) A12i B12i C34i D34i D CACBBACBAB13i2i34i，故选 D. 3设复数 z 满足1z1zi，则|z|等于( ) A1 B. 2 C. 3 D2 A 1z1zi，则 zi11ii， |z|1. 4已知(12i)z43i，则 z_ 3 2i 由(12i) z 43i 得 z 43i12i43i12i52i.
5、z2i. 考点 1 复数的概念 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解 1.若复数(m2m)mi 为纯虚数，则实数 m 的值为( ) A1 B0 C1 D2 C 由纯虚数的概念得m2m0，m0，得 m1，故选 C. 2(2019 长沙模拟)已知 i 为虚数单位，若复数 za12ii(aR)的实部与虚部互为相反数，则 a( ) A5 B1 C13 D53 D za12iia（12i）（12i）（12i）ia52a55i， 因为复数 za12i
6、i(aR)的实部与虚部互为相反数， 所以a52a55， 解得 a53.故选 D. 3(2019 唐山模拟)已知z1i2i，则 z (z 的共轭复数)为( ) A3i B3i C3i D3i C 由题意得 z(2i)(1i)3i， 所以 z3i，故选 C. 4(2018 全国卷)设 z1i1i2i，则|z|( ) 4 A0 B.12 C1 D. 2 C 法一：因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i）2ii2ii，所以|z|1，故选 C. 法二：因为 z1i1i2i1i2i（1i）1i1i1i，所以|z|1i1i|1i|1i|221，故选 C. 解决此类时，一定要先看复数是否为 abi(a，
7、bR)的形式，以确定实部和虚部 考点 2 复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项， 不含 i 的看作另一类同类项， 分别合并即可 (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 (1)(2019 全国卷)若 z(1i)2i，则 z( ) A1i B1i C1i D1i (2)计算：（2i）（1i）212i( ) A2 B2 C2i D2i (3)(2019 惠州模拟)已知复数 z 的共轭复数为 z ，若 z (1i)2i(i
8、为虚数单位)，则 z( ) Ai Bi1 Ci1 Di (4)(2019 武汉调研)已知复数 z 满足 z|z|1i，则 z( ) Ai Bi C1i D1i 5 (1)D (2)A (3)C (4)B (1)由题意得 z2i1i2i（1i）（1i）（1i）1i，故选 D. (2)（2i）（1i）212i（2i）2i12i24i12i2，故选 A. (3)由已知可得 z2i1i2i（1i）（1i）（1i）1i，则 z1i，故选 C. (4)法一：设 zabi(a，bR)，则 z|z|(a a2b2)bi1i，所以a a2b21，b1，解得a0，b1，所以 zi，故选 B. 法二：把各选项代入验
9、证，知选项 B 满足题意 (1)在只含有 z 的方程中，z 类似于代数方程中的 x，可直接求解； (2)在含有 z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设 zabi，a，bR，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于 a，b 的方程组，求出 a，b，从而得出复数 z. 1.(2018 全国卷)(1i)(2i)( ) A3i B3i C3i D3i D (1i)(2i)2i2ii23i. 2对于两个复数 1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 C (1i)(1i)2，不正确；1i1i（1i）2（1i）（1i）i，正确；|i|1，正确；
10、22(1i)2(1i)22i2i0，正确 3 (2019 贵阳模拟)设 i 为虚数单位， 复数 z 满足 i(z1)1， 则复数 z( ) A1i B1i C1i D1i 6 C 由题意，得 z1i11i，故选 C. 4 已知 a 为实数， 若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数， 则ai2 0201i( ) A1 B0 C1i D1i D z(a21)(a1)i 为纯虚数， 则有 a210，a10， 得 a1， 则有1i2 0201i111i2（1i）（1i）（1i）1i. 考点 3 复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
11、 第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数 abi 与复平面上的点(a，b)一一对应 (1)(2019 全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 (2)(2019 全国卷)设 z32i，则在复平面内 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (3)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( ) A(3，1) B(1，3) C(1，) D(，3) (1)C (2)C (3)A (1)设复数
12、z 与 i 分别表示复平面内的点 Z 与点 P，则P(0，1)，且|zi|表示复平面内点 Z 与点 P 之间的距离，所以点 Z(x，y)到点 P(0，1)的距离为定值 1，所以 Z 的轨迹是以(0，1)为圆心，1 为半径的圆，故选 C. 7 (2)z32i，z32i， 在复平面内，z 对应的点为(3，2)，此点在第三象限 (3)由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以m30，m10，解得3m1，故选 A. 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可 1.如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是OA，OB
13、，则复数 z1z2对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D 由已知OA(2，1)，OB(0，1)，所以 z12i，z2i，z1z212i， 它所对应的点为(1，2)，在第四象限 2若复数 z 满足|zi| 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_ 2 设 zxyi(x，yR)，由|zi| 2得|x(y1)i| 2，所以x2（y1）2 2，所以 x2(y1)22，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以 2为半径的圆及其内部，它的面积为 2. 3已知复数 z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为 A，B，C，若OCOAOB(，R)，则 的值是_ 1 由条件得OC(3，4)，OA(1，2)，OB(1，1)， 根据OCOAOB得 (3，4)(1，2)(1，1)(，2)， 所以3，24解得1，2，所以 1.