《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲 空间几何体的结构、表面积与体积.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲 空间几何体的结构、表面积与体积.doc（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 1 讲 空间几何体的结构、表面积与体积 一、知识梳理 1空间几何体的结构特征 2直观图 (1)画法：常用斜二测画法 (2)规则：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45 (或135 )，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(rr)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积
2、柱体(棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 VS底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V13S底h 台体(棱台和圆台) S表面积S侧S上S下 V13(S上S下 S上S下)h 球 S4R2 V43R3 常用结论 1.特殊的四棱柱 四棱柱 底面为平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面直平行六面体 底面为矩形长方体 底面边长相等正四棱柱 侧棱与底面边长相等正方体 上述四棱柱有以下集合关系：正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变. “三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度
3、不改变，相对位置不改变. 3正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2Ra； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. 二、教材衍化 1在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号) 答案： 2已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_cm. 解析：由题意，得 S表r2rlr2r2r3r212，解得 r24，所以 r2(cm) 答案：2 3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_
4、解析： 设长方体的相邻三条棱长分别为 a， b， c， 它截出棱锥的体积 V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积 V2abc148abc4748abc，所以 V1V2147. 答案：147 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台( ) (4)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( ) (5)菱形的直观图仍是菱形( ) (6)多面体的表面积等于各个
5、面的面积之和( ) (7)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( ) (8)长方体既有外接球又有内切球( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对空间几何体的结构特征认识不到位； (2)锥体的高与底面不清楚致误； (3)不会分类讨论致误 1下列结论中错误的是( ) A由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B正棱台的对角面一定是等腰梯形 C圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 解析：选 A由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以 A 选项错误B，C，D 说法均正确 2如图，长方体 AB
6、CD- A1B1C1D1的体积是 120，E 为 CC1的中点，则三棱锥 E- BCD 的体积是_ 解析：设长方体中 BCa，CDb，CC1c，则 abc120， 所以 VEBCD1312ab12c112abc10. 答案：10 3将一个相邻边长分别为 4，8 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_ 解析：当底面周长为 4 时，底面圆的半径为 2，两个底面的面积之和是 8；当底面周长为 8 时，底面圆的半径为 4，两个底面的面积之和为 32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积 322，故所求的表面积是 3228 或 32232. 答案：3228 或 32232 考点一 空间几何体的结构特征
7、(基础型) 复习指导| 利用实物模型认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 核心素养：数学抽象 1给出下列几个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 B不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 2给出以下命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋
8、转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 B由圆台的定义可知错误正确对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确 3给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体 其中正确命题的序号是_ 解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确， 若
9、三棱锥的三条侧棱两两垂直， 则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中的三棱锥 C1 ABC，四个面都是直角三角形 答案： 空间几何体概念辨析问题的常用方法 考点二 空间几何体的直观图(基础型) 复习指导| 会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易 组合)的直观图 核心素养：直观想象 1如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形 ABCD 为( ) A平行四边形 B梯形 C菱形 D矩形 解析：选 D由斜二测画法可知在原四边形 ABCD 中 DA
10、AB，并且 ADBC，ABCD，故四边形 ABCD 为矩形 2.一平面四边形 OABC 的直观图 OABC如图所示，其中 OCx，ABx，BCy，则四边形 OABC 的面积为 ( ) A3 22 B3 2 C3 D32 解析：选 B平面四边形 OABC 的直观图 OABC是直角梯形，其面积为12(12)132； 根据平面图形与它的直观图面积比为 124， 计算四边形 OABC 的面积为32243 2.故选 B 3 已知等边三角形 ABC 的边长为 a， 那么ABC 的平面直观图ABC的面积为( ) A34a2 B38a2 C68a2 D616a2 解析：选 D如图所示的实际图形和直观图， 由可
11、知，ABABa，OC12OC34a，在图中作 CDAB于 D，则 CD22OC68a.所以 SABC12ABCD12a68a616a2.故选 D 平面图形与其直观图的关系 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半 (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图24S原图形 考点三 空间几何体的表面积与体积(基础型) 复习指导| 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 核心素养：直观想象、数学运算 角度一 空间几何体的表面积 (1)(2020 河南周口
12、模拟)如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA1底面 ABC，ABBC，AA1AC2，直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30 ，则该三棱柱的侧面积为( ) A44 2 B44 3 C12 D84 2 (2)(2020 四川泸州一诊)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A(5 2) B(4 2) C(52 2) D(3 2) 【解析】 (1)连接 A1B.因为 AA1底面 ABC，则 AA1BC，又 ABBC，AA1ABA，所以 BC平面 AA1B1B，所以直线
13、 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为CA1B30 .又 AA1AC2，所以 A1C2 2，BC 2.又 ABBC，则 AB 2，则该三棱柱的侧面积为 2 222244 2，故选 A (2)因为在梯形 ABCD 中， ABC2， ADBC， BC2AD2AB2， 所以将梯形 ABCD绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1，高为BCAD211 的圆锥， 所以该几何体的表面积 S122121 1212(5 2).故选 A 【答案】 (1)A (2)A 三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法
14、求多面体的表面积. 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. 求不规则几何 体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 角度二 空间几何体的体积 (2020 贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，底面 ABCD是平行四边形，点 E 是棱 BB1的中点，点 F 是棱 CC1上靠近 C1的三等分点，且三棱锥 A1AEF 的体积为 2，则四棱柱 ABCD- A1B1C1D
15、1的体积为( ) A12 B8 C20 D18 【解析】 设点 F 到平面 ABB1A1的距离为 h，由题意得 VA1- AEFVF- A1AE.又 VF- A1AE13 SA1AEh1312AA1AB h16(AA1AB) h16S四边形ABB1A1h16VABCD- A1B1C1D1，所以VABCD- A1B1C1D16VA1- AEF6212.所以四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的体积为 12.故选 A 【答案】 A (1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不
16、规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体 积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 1.如图所示，已知三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为( ) A312 B34 C612 D64 解析：选 A三棱锥 B1- ABC1的体积等于三棱锥 A- B1BC1 的体积，三棱锥 A- B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为131232312. 2在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm，母线长最短 50 cm，
17、最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S_cm2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积 S12(5080)(40)2 600(cm2) 答案：2 600 3(2019 高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几何体， 其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 解析： 长方体 AB
18、CD- A1B1C1D1的体积 V1664144(cm3)，而四棱锥 O- EFGH 的底面积为矩形BB1C1C的面积的一半， 高为 AB 长的一半， 所以四棱锥O- EFGH 的体积 V2131246312(cm3)，所以长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得几何体的体积 VV1V2132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g) 答案：118.8 考点四 空间几何体中的接、切问题(综合型) 复习指导| 空间几何体中的接、切问题主要是与球有关的接、切，求解关键是找出球心所在的位置 (1)若直三棱柱 ABC- A1B1C1的 6 个
19、顶点都在球 O 的球面上，且 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的表面积为_ (2)(一题多解)(2019 高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ (3)已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为_ 【解析】 (1)将直三棱柱补形为长方体 ABEC- A1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABEC- A1B1E1C1的外接球 所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径 因此 2R 324212213. 故 S球4
20、R2169. (2)法一：由题意得圆柱的高为四棱锥高的一半，底面圆的直径为以四棱锥侧棱的四个中点为顶点的正方形的对角线，易求得圆柱的底面圆的直径为 1，高为 1，所以该圆柱的体积 V12214. 法二：由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为 512，故圆柱的高为 1，所以该圆柱的体积为 12214. (3)正四面体的表面积为 S1434a2 3a2，其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r1463a612a，因此内切球表面积为 S24r2a26，则S1S23a2a266 3. 【答案】 (1)169 (2)4 (3)6 3 处理球的“切”“接”问题的
21、求解策略 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 1正四棱锥 P- ABCD 的侧棱和底面边长都等于 2 2，则它的外接球的表面积是( ) A16 B12 C8 D4 解析：选 A设正四棱锥的外接球半径为 R，顶点 P 在底面上的射影为 O，因为 OA12AC12 AB2BC212(2 2)2(2 2)22， 所以 PO PA2OA2(2 2)2222.又 OA OBOCOD2，由此可知 R2，于是 S球4R216. 2设球 O 内切于正三棱柱 ABC- A1B1C1，则球 O 的体积与正三棱柱 ABC- A1B1C1的体积的比值为
22、_ 解析：设球 O 半径为 R，正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面边长为 a，则 R33a236a，即 a2 3R，又正三棱柱 ABC- A1B1C1的高为 2R，所以球 O 的体积与正三棱柱 ABC- A1B1C1的体积的比值为43R334a22R43R33412R22R2 327. 答案：2 327 基础题组练 1下列说法正确的有( ) 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 经过球面上不同的两点只能作一个大圆； 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； 圆锥的轴截面是等腰三角形 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 A中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并
23、不能保证侧棱会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；很明显是正确的 2圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A4S B2S CS D2 33S 解析：选 A由 r2S 得圆柱的底面半径是S，故侧面展开图的边长为 2S2 S，所以圆柱的侧面积是 4S，故选 A 3如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三棱锥 AABC，则剩余的部分是( ) A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D组合体 解析：选 B如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三
24、棱锥 AABC，剩余部分是四棱锥 ABCCB. 4(2020 安徽合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4.若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( ) A5 B 5 C9 D3 解析：选 B因为圆锥的底面半径 r4，高 h3，所以圆锥的母线 l5，所以圆锥的侧面积 Srl20，设球的半径为 R，则 4R220，所以 R 5，故选 B 5(2020 辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( ) A B2 C3 D4 解析：选 B将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为 R，则有 2R323，所以
25、 R1.设圆锥的内切球半径为 r，圆锥的高为 h，内切球球心必在圆锥的高线上，因为圆锥的母线长为 3，所以 h 912 2，所以有rhrR3，解得 r22，因此内切球的表面积 S4r22. 6有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为_ 解析： 由于该矩形的面积 S5420(cm2)， 所以其直观图的面积 S24S5 2(cm2) 答案：5 2 cm2 7一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为_cm. 解析：如图，过点 A 作 ACOB，交 OB 于点 C. 在 RtABC 中，AC12 cm，BC
26、835(cm) 所以 AB 1225213(cm) 答案：13 8.已知圆锥 SO， 过 SO 的中点 P 作平行于圆锥底面的截面， 以截面为上底面作圆柱 PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比值为_ 解析：设圆锥 SO 的底面半径为 r，高为 h，则圆柱 PO 的底面半径是r2，高为h2，所以 V圆锥SO13r2h，V圆柱POr22h2r2h8，所以V圆柱POV圆锥SO38. 答案：38 9. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P- A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1(如图
27、所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ 解：由 PO12 m，知 O1O4PO18 m. 因为 A1B1AB6 m，所以正四棱锥 P- A1B1C1D1的体积 V锥13 A1B21PO11362224(m3)； 正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)， 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) 故仓库的容积是 312 m3. 10.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)
28、若ABC120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120 ，可得 AGGC32x，GBGDx2. 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG32x. 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE22x. 由已知得，三棱锥 E- ACD 的体积 V三棱锥E- ACD1312 AC GD BE624x363，故
29、 x2. 从而可得 AEECED 6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E- ACD 的侧面积为 32 5. 综合题组练 1(2020 辽宁丹东测试)已知表面积为 12 的圆柱的上下底面的中心分别为 O1，O2.若过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则 O1O2( ) A2 3 B2 2 C 3 D 2 解析：选 B因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为 r，则母线长为 2r，所以圆柱的表面积为 2r22r2r12，解得 r 2，所以 O1O22r2 2，故选 B 2.如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个
30、球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( ) A34 B 2 C32 D94 解析：选 C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 A1为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 32432.故选C 3(2020 广东茂名一模)在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，D1B 与 DC 所成的角是 60 ，则长方体的外接球的表面积是( ) A16 B8 C4 D4 2 解析：选 A如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，因为 DCAB，所以相交直线 D1B与 AB 所成的角是异面直线
31、 D1B 与 DC 所成的角 连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1，得 ABAD1，所以在 RtABD1中，ABD1就是 D1B与 DC 所成的角，即ABD160 ，又 AB2，ABBD1cos 60 ， 所以 BD1ABcos 604，设长方体 ABCD- A1B1C1D1外接球的半径为 R，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得 4R2D1B216，则 R2， 所以长方体外接球的表面积是 4R216.故选 A 4. (多选)如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 3，线段 B1D1上有两个动点 E，F 且EF1，则当 E，F 移动时，下列结论正确的是( ) AAE平面
32、 C1BD B四面体 ACEF 的体积不为定值 C三棱锥 A- BEF 的体积为定值 D四面体 ACDF 的体积为定值 解析：选 ACD对于 A，如图 1，AB1DC1，易证 AB1平面 C1BD，同理 AD1平面C1BD，且 AB1AD1A，所以平面 AB1D1平面 C1BD，又 AE平面 AB1D1，所以 AE平面 C1BD，A 正确； 对于 B，如图 2，SAEF12EF h1121(3 2)23 2223 64，点 C 到平面 AEF的距离为点 C 到平面 AB1D1的距离 d 为定值，所以 VA- CEFVC- AEF133 64d64d 为定值，所以 B 错误； 对于 C，如图 3
33、，SBEF121332，点 A 到平面 BEF 的距离为 A 到平面 BB1D1D 的距离 d 为定值，所以 VA- BEF1332d12d 为定值，C 正确； 对于 D，如图 4，四面体 ACDF 的体积为 VA- CDFVF- ACD131233392为定值，D 正确 5已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45 .若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS. SAB 的面积为12 SASBsinASB12 SA2 1cos2ASB1516 SA25 15， 所以 SA28
34、0， SA4 5.因为 SA 与底面所成的角为 45 ， 所以SAS45 ， ASSA cos 45 4 5222 10.所以底面周长 l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为124 54 1040 2. 答案：40 2 6(2020 东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为 4 的圆柱有一外接球 O，当球 O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_ 解析：设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h， 则球的半径 Rr2h22. 因为球的体积 V43R3，故 V 最小当且仅当 R 最小 圆柱的侧面积为 2rh4，所以 rh2. 所以h21r， 所以 Rr21r2 2， 当且仅当 r21r2. 即 r1
35、 时取等号，此时 k 取最小值，所以 r1，h2，圆柱的表面积为 246. 答案：6 7(应用型)(2020 安徽六安一中模拟(四)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到 S圆及 S环两截面 可以证明S圆S环总成立 据此， 短半轴长为1， 长半轴长为3的椭球体的体积是_ 解析：因为 S
36、圆S环总成立，所以半椭球体的体积为 b2a13b2a23b2a， 所以椭球体的体积 V43b2a. 因为椭球体的短半轴长为 1，长半轴长为 3. 所以椭球体的体积 V43b2a431234. 答案：4 8(应用型)我国古代数学著作算法统宗第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(ch r o )：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之如屋脊：上斜下平”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍” ，是一种五面体(如图)：矩形 ABCD，棱 EFAB，AB4，EF2，ADE 和BCF 都是边长为2 的等边三角形，则此几何体的表面积为_，体积为_ 解析：由题意
37、知该五面体的表面积 SS矩形ABCD2SADE2S梯形ABFE242122 2212212(24) 221288 3.过点 F 作 FO平面 ABCD，垂足为 O，取 BC 的中点 P，连接 PF，过点 F 作 FQAB，垂足为 Q，连接 OQ.因为ADE 和BCF都是边长为 2 的等边三角形，所以 OP12(ABEF)1，PF 2212 3，OQ12BC1，所以 OF PF2OP2 2， 采用分割的方法， 分别过点 F， E 作与平面 ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分， 如图， 包含一个三棱柱 EMN- FQH， 两个全等的四棱锥：E- AMND，F QBCH，所以这个几何体的体积 VVEMNFQH2VFQBCHSQFHMQ213 S矩形QBCHFO122 2221312 210 23. 答案：88 3 10 23