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1、专题7.1 数列的概念与简单表示练基础1（2021·全国高二课时练习）已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（ ）A6B7C8D9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐项求解即可求得答案.【详解】解析：a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（ ）A递推公式也是数列的一种表示方法Ban=an-1，a1=1(
2、n2)是递推公式C给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法Dan=2an-1，a1=2(n2)是递推公式【答案】C【解析】根据数列的概念及递推公式的概念逐项排除答案，得出结论.【详解】根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an=an-1(n2)与an=2an-1(n2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误；故选：C.3（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则ABCD【答
3、案】C【解析】根据三角函数的周期性可，同理得，可知周期为4，4（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，设其前n项和为，则下列命题正确的是（ ）ABCD若，则【答案】D【解析】依题意可得，设，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由，可得递增，根据即可证明D；【详解】解：由得，设，则，故A错取，知B错，时，数列不满足，知C错对于D，由，知递增，所以，知D正确；故选：D5（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为，且，所以，
4、所以数列是以为周期的周期数列，所以故选：A6（2021·河南高二三模（理）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）A55B58C60D62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
5、又;,故选：A.7（2021·河南高三其他模拟（文）数列满足递推公式，且，则（ ）A1010B2020C3030D4040【答案】B【解析】已知条件可化为左右两端同乘以有，即，通过累加求和，计算即可求得结果.【详解】左右两端同乘以有，从而，将以上式子累加得由得令，有故选：B.8.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，数列满足，若存在正整数，使得，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，则有，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理）已知数列的前项和为，则_【答案】4【解析】归纳出数列的周期，求出
6、一个周期的和，即得解.【详解】由题得，,所以数列的周期为6，所以.故答案为：410.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.【答案】最大项为【解析】设是该数列的最大项，则解得，最大项为练提升TIDHNEG1（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理）数列满足，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.【详解】，取，相减，则推出当时，原式 故选：A2（2020·四川凉山·期末（文）德国数学家科拉茨1937年提出了一个
7、著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1猜想的数列形式为：为正整数，当时，则数列中必存在值为1的项若，则的值为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】因为，所以，故选：B3.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即.故选：C.4（2021·全国高三其他模拟（理）大衍
8、数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，由此规律得到以下结论正确的是（ ）ABC当为偶数时，D当为奇数时，【答案】B【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则数列的通项公式为：，所以，当为偶数时，当为奇数时，故选：B5（2020·四川高一
9、期末（理）已知数列满足，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由和与通项的关系先求出，进而求出，再用裂项相消求出即可获解.【详解】设数列的前项和为，由题意得， 当时，即当时，所以，当时，也满足，所以故故，所以实数的取值范围为故选：A. 6（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理）已知数列，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的都有：，则数列的第47项的值为（ ）A384B47C49D376【答案】A【解析】根据，分别取不同的n值，求得，并根据，求得；取得，从而利用累加法求得，从而求得结果.【详解】时，解
10、得，时，得，时，得，从而有，时，得，时，得，则，又，故，取得，则故，则，故数列的第47项为故选：A7【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，下列命题正确的是（ ）AB数列是递增数列CD【答案】ABD【解析】选项A. 设,求出其导函数得出其单调性，可得，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B. 设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断; 选项C. 由可判断；选项：由选项B数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断.【详解】由题意，则设，则所以在上的单调递减，所以，即当时，可得，即设，所以在上的
11、单调递增，所以 取，可得，即所以，所以选项A正确.设，则由上在上恒成立，则 所以在上恒成立，所以在上单调递增.所以数列是递增数列，故选项B正确.由，所以，所以选项C不正确.由数列是递增数列，所以 由上，则，所以所以，故选项D正确.故选： ABD8【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分
12、割数列.现将斐波那契数列记为，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（ ）ABCD【答案】AD【解析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.【详解】由递推公式，可得，所以，A选项正确；又由递推公式可得，类似的有，累加得，故错误，B选项错误；由题可知扇形面积，故，故错误，C选项错误；由，类似的有，累加得，又，所以，所以正确，D选项正确；故选：AD.9（2021·全国高三其他模拟（理）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2
13、）.【解析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为，所以两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.10（2020·湖北宜昌·其他（文）数列中，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围【答案】（1），（2），且是正整数【解析】（1），（2）由数列的通项公式是，中的一个，和得数列的通项公式
14、是由可得，即由，得，解得或是正整数，所求的取值范围为，且是正整数练真题TIDHNEG1（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】显然可知，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解【详解】因为，所以，由，即根据累加法可得，当且仅当时取等号，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即故选：A2.（2019·浙江高考真题）设，数列中， ,则（ ）A当B当C当D当【答案】A【解析】对于B，令0，得，取，当b时，a1010，故B错误；对于C，
15、令x220，得2或1，取a12，a22，an210，当b2时，a1010，故C错误；对于D，令x240，得，取，10，当b4时，a1010，故D错误；对于A，an+1an0，an递增，当n4时，an1，（）6，a1010故A正确故选：A3（2017·全国高考真题（理）（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，
16、21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330C220 D110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：1,1,2,1,2,4,1,2,4,2k-1则该数列的前1+2+k=k(k+1)2项和为Sk(k+1)2=1+(1+2)+(1+2+2k-1)=2k+1-k-2，要使k(k+1)2>100，有k14，此时k+2<2k+1，所以k+2是第k+1组等比数列1,2,2k的部分和，设k+2=1+2+2t-1=2t-1，所以k=2t-314，则t5，此时k=25-3=29，所以对应满足条件的最小
17、整数N=29×302+5=440，故选A.4（2020·全国高考真题（理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）ABCD【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，对于选项A，不满足；对于选项B，不满足；对于选项D，不满足；故选：C5（2020·全国高考真题（文）数列满足，前16项和为540，则 _.【答案】【解析】分析：对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.详解：，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，.故答案为：.6.（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.【详解】（1）由题设可得又， 故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.