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1、考点16 二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】 1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图象都过点(1
2、，1)，且在(0，)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数常用结论与微点提醒1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)ax2b
3、xc(a0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是()【答案】C【解析】(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线yx的上方，对照选项，C正确.2、已知a，b，cR，函数f (x)ax2bxc.若f (0)f (4)>f
4、 (1)，则()Aa>0,4ab0Ba<0,4ab0Ca>0,2ab0Da<0,2ab0【答案】A【解析】由f (0)f (4)，得f (x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，f (x)先减后增，于是a>0，故选A3、若二次函数ykx24x2在区间1，2上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)【答案】A【解析】二次函数ykx24x2的对称轴为x，当k>0时，要使函数ykx24x2在区间1，2上是增函数，只需1，解得k2.当k<0时，<
5、0，此时抛物线的对称轴在区间1，2的左侧，该函数ykx24x2在区间1，2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)4、若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()A(0，4 B.C. D.【答案】C【解析】yx23x4的定义域为0，m，显然，在x0时，y4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3，故选C.5、不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【答案】B【解析】f（x）x2+a|x|+4为偶函数；当a0，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，对称轴x0，f（0）40，不等式恒成立；当a0
6、时，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，可得a2160显然成立解得4a0，综上a4，+）故选：B.6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】 当，即，时，满足题意；当，即，或时，则，解之得，所以，又因为或，所以，综上所述，实数的取值范围为。考向一幂函数的图像与性质1幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的解析式为_2图中曲线是幂函数yx在第一象限的图像已知取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为_3已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，
7、)上是增函数？【答案】（1）（2） 2，2（3）m1【解析】（1）令f(x)x，则42，（2）：2，2（3）函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1变式1、已知幂函数f(x)(n22n2)x(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或2【答案】B【解析】幂函数f(x)(n22n2)x在(0，)上是减函数，n1，又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.故选B.变式2、若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()
8、Aa<b<c Bc<a<bCb<c<a Db<a<c【答案】D【解析】因为yx在第一象限内是增函数，所以a>b，因为y是减函数，所以a<c，所以b<a<c.故选D.方法总结：(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键考向二
9、 一元二次函数的解析式例2、（2）设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_(填序号)（2）已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_（3）已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式【解析】（1）由知，f(0)c0abc0，ab0，对称轴x0，知，错误，符合要求由知f(0)c0，ab0，x0，错误（2）作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0（3）法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x
10、24x7法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2nf(2)f(1)，抛物线的对称轴为xm又根据题意函数有最大值8，n8yf(x)a28f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7法三(利用零点式)：由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1又函数有最大值ymax8，即8解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7变式1变式、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.【答案】x24x3【解析】因为f(2x)f(2x)对xR
11、恒成立，所以yf(x)的图象关于x2对称.又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为21或23.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)a(x1)(x3).又点(4，3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1.故f(x)(x1)(x3)x24x3方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考向三 根的分布问题例3、(2019苏州期末）、已知函数（1）若的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；（2）方程在上有且只有一个实根，求实数a的取值范围解析 （1）由题意，
12、等价于，解得或（2）当时，此时在上有且只有一个实根，得；当时，即时，此时有，舍去；当时，即时，此时有或，舍去，综上：变式1、(2017苏锡常镇调研） 已知函数，若有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a的取值范围 【答案】解析 由题意，等价于，解得变式2、 已知函数，方程在上有实根，求实数a的取值范围解析1 当时，此时在上有且只有一个实根，得；当时，即时，此时有，舍去；当时，即时，此时有或，舍去，当时，此时在上有两个实根，无解；综上：解析2 方程即为，因为时，于是，令，设，即，所以在上单调递增，所以变式3、(2019常州期末）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是 【答案】解析1 记，当
13、时，解得，不符合条件；当时，（）当只有一个正根，且0不是它的根，则有或，解得；（）当有两个不等正根，则，此时无解，综上：实数a的取值范围是解析2 因为显然不适合方程，于是问题等价于至少有一个正根，记，所以在上递增，且，所以实数a的取值范围是方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。考向四 一元二次函数的最值问题例4、已知函数y4x212x3当xR时，值域为_；当x2，3时，值域为_；当x1，5时，值域为_2若函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围3求函数f(x)x22ax在区间0，
14、1上的最小值【解析】：1因为y4x212x346，所以当xR时，值域为6，)；当x2，3时，2，3，根据函数图象知函数在区间2，3上单调递增，故当x2时，y取得最小值5，当x3时，y取得最大值3，则值域为5，3当x1，5时，1，5，则当x时，y取得最小值6，当x5时，y取得最大值43，故值域为6，432作出函数yx22x3的图象如图由图象可知，要使函数在0，m上取得最小值2，则10，m，从而m1，当x0时，y3；当x2时，y3，所以要使函数取得最大值为3，则m2，故所求m的取值范围为1，23f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为xa(1)当a0时，f(x)在0，1上是增函数，f(x)min
15、f(0)0(2)当0a1时，f(x)minf(a)a2(3)当a1时，f(x)在0，1上是减函数，f(x)minf(1)12a，综上所述，f(x)min变式1、（2019年泰州中学期末试题）求二次函数在区间上的最大值【解析】 ，对称轴为当时（）当时，即时，；（）当时，即时，；当时，（）当时，即时，；（）当时，即时，综上所述，变式2、函数f(x)x24x1在区间t，t1(tR)上的最大值为g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值【解】(1)f(x)x24x1(x2)23.当t1<2，即t<1时，f(x)在区间t，t1上为增函数，g(t)f(t1)t22t2；当t2t
16、1，即1t2时，g(t)f(2)3；当t>2时，f(x)在区间t，t1上为减函数，g(t)f(t)t24t1.综上所述，g(t)(2)当t<1时，g(t)t22t2(t1)23<3；当1t2时，g(t)f(2)3；当t>2时，g(t)t24t1(t2)23<3.g(t)的最大值为3.方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括端点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获解考向五 一元二次函数的恒成立问题例5、已知函数f
17、(x)x2x1，在区间1，1上，不等式f(x)>2xm恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(，1)【解析】f(x)>2xm等价于x2x1>2xm，即x23x1m>0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m>0在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m1>0，得m<1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)变式1、若t2kt10在t1，1上恒成立，求实数k的取值范围【解析】求二次函数f(t)t2kt1在给定区间上的最大值M，二次函数f(
18、t)的图像的对称轴为直线t2k.当2k1，1，即k时，Mf(1)或f(1)，由M0，得f(1)0且f(1)0，解得k，又k，故k；当2k<1，即k<时，函数f(t)在2k，1上单调递增，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k<，故k<；当2k>1，即k>时，函数f(t)在1，2k上单调递减，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k>，故<k.综上知，实数k的取值范围为.变式2、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为 【答案】【解析】因为在上单调递减，所以，解法1 由题意得，即在上恒成立，即，在上恒成立，所以 即在上
19、恒成立，所以，.解法2 .因为，所以 即 解得.方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为：，不等式成立.(2)、“任意-存在”型这类问题的表现形式有二：，等式成立. ，不等式成立.这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：1、；2、；3、“存在-存在”型这类问题的表现形式有二：，等式成立. ，不等式成立.总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：1、（2020江苏7）已知是奇函数，当时，则的值是 【答案】【解析】是奇函数，当时，则2、(2016全国III) 已知，则A B C D【答案】A【解析】因为，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A3
20、、（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，在上，恒成立，只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；当时，在上，恒成立，只需满足恒成立，此时当两根分别为和，（1）当时，此时，当时，不恒成立，（2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足当时，此时，满足恒成立，综上可知满足在恒成立时，只有，故选C 4、(多选)已知函数f(x)|x22axb|(xR)，给出下列命题，其中是真命题的是()A若a2b0，则f(x)在区间a，)上是增函数B存在aR，使得f(x)为偶函数C若f(0)f(2)，则f(x)的图象关于x1对称D若a2b20，则函数h(x
21、)f(x)2有2个零点【答案】AB【解析】对于选项A，若a2b0，则f(x)|(xa)2ba2|(xa)2ba2在区间a，)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a0时，f(x)|x2b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a0，b2，函数f(x)|x22axb|化为f(x)|x22|，满足f(0)f(2)，但f(x)的图象关于x1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2b20，即a2b2，则h(x)|(xa)2ba2|2有4个零点，故D错误5、(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_【答案】【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以6、已知函数f(x)是定义在R上
22、的偶函数，且当x0时，f(x)x22x现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1，2)，求函数g(x)的最小值【解析】(1)f(x)在区间(1，0)，(1，)上单调递增(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22×(x)x22x(x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上，g(x)min