《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7讲 抛物线.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7讲 抛物线.doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 7 讲 抛物线 一、知识梳理 1抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等； (3)定点不在定直线上 2抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下
2、焦半径(其中 P(x0，y0) |PF|x0p2 |PF|x0p2 |PF|y0p2 |PF|y0p2 常用结论 与焦点弦有关的常用结论 (以图为依据) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p24. (2)|AB|x1x2p2psin2( 为直线 AB 的倾斜角) (3)1|AF|1|BF|为定值2p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 (6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p(通径) 二、教材衍化 1若抛物线的焦点是 F0，12，则抛物线的标准方程为_ 答案：x22y 2抛物线 y24x0 的准线方程_
3、答案：x1 3抛物线 y212x 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是_ 答案：(3，6) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切( ) (3)若一抛物线过点 P(2，3)，则其标准方程可写为 y22px(p0)( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)不注意抛物线方程的标准形式； (2)忽视 p 的几何意义 1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(
4、4，2)的抛物线的标准方程是( ) Ay2x Bx28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 解析：选 D设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛物线方程为 y2x；设抛物线为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线方程为 x28y. 2已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方 程是_ 解析：由已知可知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0) 设抛物线方程为 y2 2px(p0)， 则p2 2， 所以 p2 2， 所以抛物线方程为 y2 4 2x. 答案：y2 4 2x 考点一 抛物线的定义(基础型) 复
5、习指导| 了解抛物线的定义及几何图形 核心素养： 直观想象 (1)(2020 安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，点Px0，12在 C 上，且|PF|34，则 p( ) A14 B12 C34 D1 (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若 B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_ 【解析】 (1)抛物线的准线方程为 yp2，因为 Px0，12 在抛物线上，所以点 P 到准线的距离 d12p2|PF|34，则 p12，故选 B (2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|. 则有|
6、PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为 4. 【答案】 (1)B (2)4 【迁移探究 1】 (变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值 解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部 因为|PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离， 所以|PB|PF|BF| 4222 1642 5， 即|PB|PF|的最小值为 2 5. 【迁移探究 2】 (变设问)若本例(2)条件不变，求 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是_ 解析：由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距
7、离，由抛物线 y24x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离，所以点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点 F(1， 0)到直线3x4y70的距离， 即|37|32422. 答案：2 抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线” (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p2或|PF|y|p2. 1已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴
8、的距离为( ) A34 B1 C54 D74 解析：选 C如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为 M，作 AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1，MM1l 于点 M1，由抛物线的定义知 p12，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点M 到 y 轴的距离为|MM1|p212(|AA1|BB1|)1454.故选 C 2(2020 沈阳市质量监测(一)抛物线 y26x 上一点 M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点 M 到坐标原点的距离为_ 解析：由 y26x，知 p3，由焦半径公式得 x1p292，即 x13.代入得 y2118，则|MO| x21y213 3(O 为坐标原点)，故
9、填 3 3. 答案：3 3 考点二 抛物线的标准方程及性质(基础型) 复习指导| 了解抛物线的标准方程及其简单的几何性质 核心素养： 数学运算、直观想象 (1)(2020 陕西榆林二模)已知抛物线 y22px(p0)上的点 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x (2)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点， 交 C 的准线于 D， E 两点 已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C6 D8 【解析】 (1)抛物线 y22px(p0)上的点
10、 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大12，由抛物线的定义可得 xMp2xM12，所以 p1，所以抛物线方程为 y22x.故选 B (2)由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)， 由|AB|4 2，|DE|2 5， 可取 A4p，2 2 ，Dp2， 5 ， 设 O 为坐标原点，由|OA|OD|， 得16p28p245，得 p4，故选 B 【答案】 (1)B (2)B (1)求抛物线标准方程的方法 先定位：根据焦点或准线的位置； 再定形：即根据条件求 p. (2)抛物线性质的应用技巧 利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； 要结合图形分析
11、，灵活运用平面图形的性质简化运算 1若抛物线的焦点在直线 x2y40 上，则此抛物线的标准方程为_ 解析：令 x0，得 y2；令 y0，得 x4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，2)，故所求抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y. 答案：y216x 或 x28y 2(2020 沈阳质量检测(一)已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y23x 上，则AOB 的边长是_ 解析：如图，设AOB 的边长为 a，则 A32a，12a ，因为点 A 在抛物线 y23x 上，所以14a2332a，所以 a6 3. 答案：6 3 3(2020 东北四市模拟)若点 P 为抛物
12、线 y2x2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为_ 解析：由题意知 x212y，则 F0，18， 设 P(x0，2x20)， 则|PF| x202x201824x4012x201642x2018， 所以当 x200 时，|PF|min18. 答案：18 考点三 直线与抛物线的位置关系(综合型) 复习指导| 了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景 核心素养：数学运算、逻辑推理 (2019 高考全国卷)已知抛物线 C： y23x 的焦点为 F， 斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP3P
13、B，求|AB|. 【解】 设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F34，0 ，故|AF|BF|x1x232，由题设可得 x1x252. 由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212(t1)9. 从而12(t1)952，得 t78. 所以 l 的方程为 y32x78. (2)由AP3PB可得 y13y2. 由y32xt，y23x可得 y22y2t0. 所以 y1y22.从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x213. 故|AB|4 133. 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位
14、置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法 注意 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 1已知抛物线 x2ay 与直线 y2x2 相交于 M，N 两点，若 MN 中点的横坐标为 3，则此抛物线方程为( ) Ax232y Bx26y Cx23y Dx23y 解析：选 D设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)
15、 由x2ay，y2x2，消去 y 得 x22ax2a0， 所以x1x222a23，即 a3， 所以所求的抛物线方程是 x23y. 2(2018 高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN( ) A5 B6 C7 D8 解析： 选 D 法一： 过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)， 由y23(x2)，y24x， 得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以x1，y2或x4，y4，不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FM FN8.故选 D
16、 法二：过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)，由y23(x2)，y24x，得 x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24.易知 F(1，0)，所以FM(x11，y1)，FN(x21，y2)，所以FM FN(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D 3过点(2，1)斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y24x 只有一个公共点，则由 k 的值组成的集合为_ 解析：设 l 的方程为 y1k(x2)， 由方程组ykx(2k1)，y24x，得 ky24y4(2k1)0，
17、当 k0 时，y1，此时 x14，l 与抛物线仅有一个公共点14，1 ；当 k0 时，由 16(2k2k1)0，得 k1 或k12，所以 k 的值组成的集合为0，1，12. 答案：0，1，12 基础题组练 1已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A(1，0) B(1，0) C(0，1) D(0，1) 解析：选 B抛物线 y22px(p0)的准线为 xp2且过点(1，1)，故p21，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0) 2(2020 湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 P(m，3)到焦点的距离为 4，则抛物线方程
18、为( ) Ax28y Bx24y Cx24y Dx28y 解析：选 C依题意，设抛物线的方程为 x22py(p0)，则p234，所以 p2，所以抛物线的方程为 x24y，故选 C 3(2020 甘肃张掖第一次联考)已知抛物线 C1：x22py(y0)的焦点为 F1，抛物线 C2：y2(4p2)x 的焦点为 F2，点 Px0，12在 C1上，且|PF1|34，则直线 F1F2的斜率为( ) A12 B14 C13 D15 解析：选 B因为|PF1|34， 所以12p234，解得 p12. 所以 C1：x2y，C2：y24x，F10，14，F2(1，0)， 所以直线 F1F2的斜率为140114.
19、故选 B 4. (应用型)(2020 河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为 5 m，跨径为 12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A2512 m B256 m C95 m D185 m 解析：选 D建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线的解析式为 x22py，p0， 因为抛物线过点(6，5)，所以 3610p，可得 p185， 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185 m故选 D 5(2020河北衡水三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标分别为
20、(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|FA|FB|FC|10，则 x1x2( ) A6 B5 C4 D3 解析：选 A根据抛物线的定义，知|FA|，|FB|，|FC|分别等于点 A，B，C 到准线 x1 的距离，所以由|FA|FB|FC|10，可得 2x11x2110，即 x1x26.故选 A 6在直角坐标系 xOy 中，有一定点 M(1，2)，若线段 OM 的垂直平分线过抛物线 x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_ 解析： 依题意可得线段 OM 的垂直平分线的方程为 2x4y50， 把焦点坐标0，p2代入可求得 p52，所以准线方程为 y54. 答案：y54 7以抛物
21、线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为_ 解析：由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取A4p，2 2 ，Dp2， 5 ，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|， 得16p28p245，得 p4. 答案：4 8 (2020 湖南师大附中月考改编)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F， 其准线与双曲线x23y231 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_ 解析：抛物线的焦点坐标为0，p2，准线
22、方程为 yp2，准线方程与双曲线方程联立可得x23p2121，解得 x3p24，因为ABF 为等边三角形，所以32|AB|p，即3223p24p，解得 p6.则抛物线的焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为 y x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为323 22. 答案：6 3 22 9顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y2x4 所得的弦长|AB|3 5，求此抛物线方程 解：设所求的抛物线方程为 y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线 y2x4 代入y2ax， 得 4x2(a16)x160， 由 (a16)22560，得 a0 或 a32. 又 x1x2a
23、164，x1x24， 所以|AB| (122)(x1x2)24x1x2 5a164216 3 5， 所以 5a164216 45， 所以 a4 或 a36. 故所求的抛物线方程为 y24x 或 y236x. 10已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标 解：(1)抛物线 y22px 的准线为 xp2， 于是 4p25，所以 p2. 所以抛物线方程为 y24x.
24、 (2)因为点 A 的坐标是(4，4)， 由题意得 B(0，4)，M(0，2) 又因为 F(1，0)，所以 kFA43， 因为 MNFA，所以 kMN34. 又 FA 的方程为 y43(x1)， MN 的方程为 y234x， 联立，解得 x85，y45， 所以点 N 的坐标为85，45. 综合题组练 1(多选)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直于 l且交 l 于点 Q， M， N 分别为 PQ， PF 的中点， MN 与 x 轴相交于点 R， 若NRF60 ， 则( ) AFQP60 B|QM|1 C|FP|4 D|FR|2 解析： 选 ACD
25、如图， 连接 FQ， FM， 因为 M， N 分别为 PQ， PF 的中点， 所以 MNFQ，又 PQx 轴，NRF60 ，所以FQP60 ，由抛物线的定义知，|PQ|PF|，所以FQP为等边三角形，则 FMPQ，|QM|2，等边三角形 FQP 的边长为 4，|FP|PQ|4，|FN|12|PF|2，则FRN 为等边三角形，所以|FR|2.故选 ACD 2(多选)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，且|AF|3|BF|，则直线 AB 的斜率为( ) A 2 B 3 C 2 D 3 解析：选 BD如图所示，当点 A 在第一象限时，过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，
26、垂足分别为 D，E，过 A 作 x 轴的垂线，与 EB 交于点 C，则四边形 ADEC 为矩形由抛物线的定义可知|AD|AF|，|BE|BF|，设|AF|3|BF|3m，所以|AD|CE|3m，所以|AB|4m，在 RtABC 中，|BC|2m，所以ABC60 ，所以直线 l 的斜率为 3；当点 B 在第一象限时，同理可知直线 l 的斜率为 3. 3过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为_ 解析：由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113， 所以 x12，y12 2. 设
27、AB 的方程为 x1ty， 由y24x，x1ty 消去 x 得 y24ty40. 所以 y1y24，所以 y2 2，x212， 所以 SAOB121|y1y2|3 22. 答案：3 22 4过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN|AB|，则 l 的斜率为_ 解析：设抛物线的准线为 m，分别过点 A，N，B 作 AAm，NNm，BBm，垂足分别为 A，N，B. 因为直线 l 过抛物线的焦点，所以|BB|BF|，|AA|AF|. 又 N 是线段 AB 的中点，
28、|MN|AB|，所以|NN|12(|BB|AA|)12(|BF|AF|)12|AB|12|MN|，所以MNN60 ，则直线 MN 的倾斜角为 120 .又 MNl，所以直线 l 的倾斜角为 30 ，斜率是33. 答案：33 5设 A，B 为曲线 C：yx22上两点，A 与 B 的横坐标之和为 2. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，y1x212，y2x222，x1x22， 故直线 AB 的斜率 ky1y2x1x2x1
29、x221. (2)由 yx22，得 yx. 设 M(x3，y3)，由题设知 x31，于是 M1，12. 设直线 AB 的方程为 yxm，故线段 AB 的中点为 N(1，1m)，|MN|m12. 将 yxm 代入 yx22，得 x22x2m0. 由 48m0，得 m12，x1，21 12m. 从而|AB| 2|x1x2|2 2(12m). 由题设知|AB|2|MN|， 即 2(12m)m12， 解得 m72或 m12(舍) 所以直线 AB 的方程为 yx72. 6已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0，1)，设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处
30、的切线的交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程 解：设直线 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x22pkx2p0， 则 x1x22pk，x1x22p. (1)由 x22py 得 yxp，则 A，B 处的切线斜率的乘积为x1x2p22p， 因为点 N 在以 AB 为直径的圆上，所以 ANBN， 所以2p1，所以 p2. (2)易得直线 AN：yy1x1p(xx1)，直线 BN：yy2x2p(xx2)， 联立，得yy1x1p(xx1)，yy2x2p(xx2)， 结合式，解得xpk，y1，即 N(pk，1) |AB| 1k2|x2x1|1k2 (x1x2)24x1x2 1k24p2k28p， 点 N 到直线 AB 的距离 d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2， 则ABN 的面积 SABN12 |AB| d p(pk22)32 2p，当 k0 时，取等号， 因为ABN 的面积的最小值为 4， 所以 2 2p4，所以 p2，故抛物线 C 的方程为 x24y.