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1、1 抛物线 建议用时：45 分钟 一、选择题 1点 M(5，3)到抛物线 yax2的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是( ) Ax2112y Bx2112y 或 x2136y Cx2136y Dx212y 或 x236y D 将 yax2化为 x21ay.当 a0 时，准线 y14a，则 314a6，a112.当 a0，y20，x20. 由yk（x2），y22x得 ky22y4k0， 可知 y1y22k，y1y24. 直线 BM，BN 的斜率之和为 5 kBMkBNy1x12y2x22x2y1x1y22（y1y2）（x12）（x22）. 将 x1y1k2，x2y2k2 及 y1y2，y1
2、y2的表达式代入式分子，可得 x2y1x1y22(y1y2)2y1y24k（y1y2）k88k0. 所以 kBMkBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以ABMABN. 综上，ABMABN. 1(2018 全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN( ) A5 B6 C7 D8 D 过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)， 由y23（x2），y24x，得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以x1，y2，或x4，y4，不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM(0，2)，
3、FN(3，4)，所以FM FN8.故选D. 2已知 F 是抛物线 C1：y22px(p0)的焦点，曲线 C2是以 F 为圆心，p2为半径的圆，直线 4x3y2p0 与曲线 C1，C2从上到下依次相交于点 A，B，C，D，则|AB|CD|( ) A16 B4 C.83 D.53 A 因为直线 4x3y2p0 过 C1的焦点 F(C2的圆心)，故|BF|CF|p2，所以|AB|CD|AF|p2|DF|p2. 由抛物线的定义得|AF|p2xA，|DF|p2xD. 6 由4x3y2p0，y22px，整理得 8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xDp8，故|AB|CD|xAx
4、D2pp816.故选 A. 3(2019 贵阳模拟)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60 的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则 p_ 1 过点 A，B 向抛物线的准线 xp2作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B向 AC 作垂线，垂足为 E(图略)，A，B 两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|. BEAC，|AE|AF|BF|， 直线 AB 的倾斜角为 60， 在 RtABE 中，2|AE|AB|AF|BF|， 即 2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|. |AF|2，|BF|23，|AB|AF|BF|83. 设直线 A
5、B 的方程为 y 3xp2，代入 y22px， 得 3x25px3p240，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x253p，|AB|x1x2p83，p1. 4(2017 全国卷)设 A，B 为曲线 C：yx24上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程 解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，y1x214，y2x224，x1x24， 于是直线 AB 的斜率 ky1y2x1x2x1x241. 7 (2)由 yx24，得 yx
6、2. 设 M(x3，y3)，由题设知x321，解得 x32，于是 M(2，1) 设直线 AB 的方程为 yxm， 故线段 AB 的中点为 N(2，2m)，|MN|m1|. 将 yxm 代入 yx24得 x24x4m0. 当 16(m1)0，即 m1 时，x1，22 2 m1. 从而|AB| 2|x1x2|42（m1）. 由题设知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)，解得 m7. 所以直线 AB 的方程为 yx7. 1设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC的重心，则|FA|FB|FC|的值为( ) A1 B2 C3 D4 C 依题意，设点 A
7、(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F12，0 ，所以x1x2x331232，则|FA|FB|FC|x112x212x312(x1x2x3)3232323. 2.如图所示，抛物线 y14x2，AB 为过焦点 F 的弦，过 A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点 M，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则： 若 AB 的斜率为 1，则|AB|4； |AB|min2； yM1； 若 AB 的斜率为 1，则 xM1； xAxB4. 以上结论正确的所有序号是( ) 8 A B C D D 由题意得，焦点 F(0，1)，对于，lAB的方程为 yx1，与抛物线
8、的方程联立， 得yx1，y14x2，消去 x，得 y26y10， 所以 yAyB6，则|AB|yAyBp8，则错误； 对于，|AB|min2p4，则错误； 因为 yx2，则 lAM：yyAxA2(xxA)， 即 y12xAxx2A4，lBM：yyBxB2(xxB)， 即 y12xBxx2B4， 联立 lAM与 lBM的方程得y12xAxx2A4，y12xBxx2B4， 解得 MxAxB2，xAxB4. 设 lAB的方程为 ykx1，与抛物线的方程联立， 得ykx1，y14x2， 消去 y，得 x24kx40， 所以 xAxB4k，xAxB4， 所以 yM1，和均正确； 对于，当 AB 的斜率为 1 时，xM2，则错误，故选 D.