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1、第19讲 不等式的证明高考预测一：一元不等式的证明 1证明：（1）；（2）【解析】证明：（1）令，则，在时单调递减，成立，；，等号成立；，即，在时单调递增，成立，令，则它的导数为当时，故函数在上是减函数当时，当且仅当时，故函数在，上是增函数故当时，函数取得最小值为0，故有，；（2）设，则，当时，当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，对都有，2设函数在处取得极值（1）求的值及函数的单调区间；（2）证明对任意的正整数，不等式【解析】（1）解：，在处取得极值，故，当，即时，当，即时，的增区间为，减区间为（2）证明：当时，左边，右边，成立；当时，左边，右边，成立；当时，原不等式等价于，令，则，当时，
2、从而，递减，所以，当时，有，即，综上所述：对任意的正整数，不等式都成立3设函数，其中（1）若，求在，的极小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）证明不等式：【解析】解：（1）由题意知，的定义域为时，由，得舍去），当，时，当，时，所以当，时，单调递减；当，时，单调递增，所以（2）（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得（3）当时，令，则在，上恒正在，上单调递增，当时，恒有即当时，有，即4当时，求证：【解析】证明：令，则，当时，即所以在上单调递减所以，属所以在上单调递减所以，即，高考预测二：函数不等式证明中的变形原理5已知函数讨论函数的单调性
3、；若在点，（1）处的切线斜率为求的解析式；求证：当【解析】解：由题意可得，定义域为对函数求导可得，时，由可得，由可得在单调递增，在，单调递减时，令可得或当时由可得，由可得故在单调递减，在，单调递增当时，同理可得在单调递减，在，单调递增当时，在增（6分）解：由知）知（8分）证明：令故当时，在单调递增，（1），又当时，在单调递增，（1）又，综上所述，且时，（14分）6已知函数求曲线在，（1）处的切线方程；（）若，求的取值范围；（）证明：【解析】解：所以（1），所以切线方程（），即：，则有，即要使成立令，那么，可知当时单调增，当时单调减故在处取最大值为，那么要使得成立，则有（）由（）可得：，即当时，
4、当时，综上所述，7已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为（1）求，的值；（2）如果当时，求的取值范围【解析】解：切线方程为即，（1）由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，（2）由（1）知，所以考虑函数，则，设，由知，当时，可得，从而当时，设由于当，时，故，而（1），故当时，可得，与题设矛盾设此时，而（1），故当时，可得，与题设矛盾综合得，的取值范围为，8已知函数，是自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）设，其中为的导函数证明：对任意，【解析】解：（1）求导数得，令，当时，；当时，又，所以时，；时，因此的单调递增区间为，单调递减区间为证明：（2）因为所以，由，求导得，所以当时，函数单调递
5、增；当，时，函数单调递减所以当时，又当时，所以当时，即综上所述，对任意，9已知函数，且为常数，为自然对数的底数）（1）讨论函数的极值点的个数；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）函数的你定义域为，在区间上单调递增，且，当时，在区间上恒成立，即，函数在上单调递增，此时无极值点；当时，方程有唯一解，设为，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，是函数的极小值点，即函数只有一个极值点；综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点；（2）当时，对任意的恒成立，即对恒成立，即对恒成立，记，记，故在上单调递增，又，存在，使得，且，在上单调递减，在，上单调递增，又，即，综上所述，实数的
6、取值范围为，10已知函数（其中，是自然对数的底数）（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）设的最小值为，当时，证明：【解析】解：（1）的定义域为，若时，当时，在上递增，且时，所以不恒成立，故不符合条件；若时，所以符合条件；若时，令，得，当，时，在，上递减；当，时，在，上递增，所以，即，得，综上，的取值范围是，（2）的定义域为，得，于是当时，递减；当时，递增，所以，得，当时，递增；当时，递减，所以，所以；要使，等价于，等价于，由（1）知时，得，在时，得，用替代，得，用替代，得（当且仅当时取等号），取，显然成立，综上知，高考预测三：函数不等式证明中的隐零点问题11已知函数，且（1）求；（2）证明
7、：存在唯一的极大值点，且【解析】解：（1）因为，则等价于，求导可知则当时，即在上单调递减，所以当时，（1），矛盾，故因为当时、当时，所以，又因为（1），所以，解得；另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），所以等价于在处是极小值，所以解得；（2）由（1）可知，令，可得，记，则，令，解得，所以在区间上单调递减，在，上单调递增，所以，又，所以在上存在唯一零点，所以有解，即存在两根，且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，所以必存在唯一极大值点，且，所以，由可知；由可知，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以；综上所述，存在唯一的极大值点，且12已知函数，（1）设，当时，求曲线在点，（1）
8、处的切线方程；当时，求证：对任意恒成立（2）讨论的极值点个数【解析】解：（1），当时，切线方程为；证明：即证对任意，只需证时，对任意都成立，令得，且时，单减，时，单增，（1），在上单增，当时，对任意恒成立（2），只有一个极值点或三个极值点，令，当只有一个极值点时，的图象必穿过轴且只穿过一次，即为单调减函数或者极值同号，为单调减函数时，在上恒成立，则，解得；极值同号时，设，为极值点，则，有解，则，且，同理，化简得，解得，当时，只有一个极值点；当有三个极值点时，同理可得，综上，当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点13设函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点
9、【解析】解：（1）若，则，当时，单调递减，当时，单调递增单调递减区间为，单调递增区间为（2）由可知，当时，显然没有零点；当时，设，在，单调递增，又，（2），在上存在唯一一个零点，不妨设为，则，当时，即，当，时，即，在上单调递减，在，上单调递增，的最小值为，两边取对数可得，即，（当且仅当时取等号），令（a），则（a），当时，（a），当，时，（a），（a）在上单调递增，在，上单调递减又，（e），当时，（a），当且仅当时取等号，由可知当时，故当时，故（a），当时，没有零点14已知函数（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），时，在上单
10、调递增，没有极值；时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数存在极小值，其极小值为，没有极大值；时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数存在极大值，其极大值为，没有极小值；（2）当时，恒成立，恒成立，设，设，下面证明有唯一解又，单调递增，（1），时，所以在上有零点，令，得，又，所以式等价于，由（1）知当时，在单调递增，所以，设，单调递增，又，（1），所以，使得，即有唯一解，即，因此方程有唯一解，代入得，有唯一解时，单调递减；，时，单调递增；所以的最小值为，所以即的取值范围为，15已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，（）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（）当时，若（其中恒成立，求的
11、最小值的最大值【解析】解：（）函数的定义域为，其导数为由或，设，当时，；当时，即在区间上递增，在区间上递减，又当时，当时，且恒成立当或时，方程无根，函数只有一个极值点当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，故函数只有一个极值点当时，方程有两个根、且，函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点综上所述，当或时，函数只有一个极值点（）依题意得，令，则对，都有成立，当时，函数在上单调递增，注意到，若，有成立，这与恒成立矛盾；当时，因为在上为减函数，且，函数在区间上单调递增，在上单调递减，若对，都有成立，则只需成立，当时，则的最小值，函数在上递增，在上递减，即的最小
12、值的最大值为；综上所述，的最小值的最大值为16已知函数，其中，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）求证：对任意，存在，使得在区间，上恒有【解析】解：（1）时，则，故，则在递减；（2）证明：当时，要证明对任意的，则只需证明任意，设（a），看作以为变量的一次函数，要使，则，即，恒成立，恒成立，对于，令，则，设时，即，在上，递增，在上，递减，则时，取得最大值，故成立，综上，在区间，上恒有17已知函数，（1）证明：当时，；（2）若，求【解析】解：（1）证明：，考虑到，所以当，时，此时，当，时，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，当，时，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，当，时，综
13、上所述，当时，（2）构造函数，考虑到，由（1）可知：在时恒成立，所以在，上单调递增，若，则在，为负，为正，在，单调递减，递增，所以，而当时，故满足题意若，因为，所以，由零点存在定理，必存在，使得，此时满足时，单调递减，所以，矛盾，舍去，若，因为当时，所以当时，此时必存在，使得，此时满足，时，单调递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在，时，成立，单调递增，矛盾，舍去综上所述，18已知函数（）当时，证明：对恒成立；（）若函数在存在极大值点，求的最小值【解析】解：（）证明：时，要证对恒成立，即证对恒成立，即证对恒成立，令，则，故在单调递增，且，故，即，故在上恒成立；（），故，在上存在极大值点，有
14、这个解，只有，故，设（a），则（a），令（a），解得：，故时，（a），时，（a），故（a），故的最小值是19已知函数，其中为常数（1）若在，上是增函数，求的取值范围；（2）证明：当时，【解析】解（1）因为在，上是增函数，所以在上恒成立，显然在，上单调递减，故，解得即为所求（2）要证，只需证恒成立，令，则，令，则，令，则，所以在，上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以在，上单调递减，所以，即恒成立，所以当时，高考预测四：双零点问题20已知函数是常数）在处切线的斜率等于1（1）求函数的单调区间并比较（2），（3），（4）的大小；（2）若方程为自然对数的底数）有且只有一个实根，求实
15、数的取值；（3）如果方程有两个不同的零点，求证【解析】解：（1）的导数为，在处切线的斜率为，解得，即有，当时，递增；当时，递减则的增区间为，减区间为；（2），（4）（2），而（3）（4），则（2）（4）（3）；（2）由题意得，在上有唯一解，由（1）可得，的增区间为，减区间为，所以（e），设，则在上单调递减，在上单调递增，所以（e），所以当且仅当时，有且只有一个实根，所以；（3）不妨设，可得，要证明 ，即证明，也就是，因为，所以即证明：，即：，令，则，于是令，则，故函数在上是增函数，所以（1），即成立所以原不等式成立21已知函数（其中是自然对数的底数，（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零
16、点，时证明：【解析】解：（1）由，得，当时，则对恒成立，此时的单调递增，递增区间为；当时，由，得到，即，由，得到，即所以，时，的单调递增区间是；递减区间是；综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递增区间是；递减区间是；（2）函数有两个零点，时，则需要满足时，有两个解，即，由于恒成立，则，设，由题意得：，得：，令，则，可化为：，要证：，只需证：，即证：，构造函数，则，在递增，（1），22已知函数，其中为自然对数的底数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，证明：【解析】解：（1）函数，求导，当时，则函数为上的单调递增函数当时，令，则若，则，在上是单调减函数；若，则，在上是单调增函数（2
17、）证明：由（）可知，不妨设，由两式相减得要证，即证，也就是证，即，即证，又，只要证令，则式化为 ，设，所以在上单调递增，所以23已知函数，（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围（2）若存在两个不同极值点，且，求证【解析】（1）解：由，得，在其定义域上单调递减，在恒成立，即在恒成立，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增则；（2）证明：若存在两个不同极值点，且欲证，只需证，只需证，也就是证，令，则，则，设，则，可知在，上单调递增（e）24已知函数，其中，讨论函数的单调性；（）设函数的导函数为若函数恰有两个零点，证明：【解析】（）解：由，得，（1）当，即时，在上单调递减；（2）当，即时
18、，当时，且，在上单调递增；当时，当变化时，的变化情况如下表： ， 0 单调递减 极小值 单调递增综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在，上单调递增，当时，在上单调递增，（）证明：由知，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，又（1），函数恰有两个零点，或当，即时，令，当时，且，有唯一的，使得，则不等式等价于，又，即，只需证明，即当时，证明成立，令，则，在，上单调递增，即当时，有（1）原不等式成立当，即时，令，当，时，且，有唯一的，使得，则不等式等价于，又，即，只需证明，即当时，证明成立，令，则在区间，上单调递增，即当时，有（1）原不等式成立综上，当函数恰有两个零点，原不等式成立25已
19、知函数（）讨论的单调性；（）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作，且，若，证明：【解析】解：，方程的判别式，当时，在为增函数，当时，方程的两根为，当时，在为增函数，当时，在，为增函数，在，为减函数，综上所述：当时，的增区间为，无减区间，当时，的增区间为，减区间，证明：，所以因为有两极值点，所以，欲证等价于要证：，即，所以，因为，所以原式等价于要证明：又，作差得，所以所以原式等价于要证明：，令，上式等价于要证：，令，所以，当时，所以在上单调递增，因此（1），所以在上恒成立，所以原不等式成立26已知函数，为自然对数的底数（1）求曲线在处的切线方程；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值
20、；（3）关于的方程有两个实根，求证：【解析】解（1）对函数求导得，又，曲线在处的切线方程为，即；（2）记，其中，由题意知在上恒成立，下面求函数的最小值，对求导得，令，得，当变化时，变化情况列表如下：，0递减极小值递增，记，则，令，得，当变化时，变化情况列表如下：10递增极大值递减（1），故当且仅当时取等号，又，从而得到；（3）先证，记，则，令，得，当变化时，变化情况列表如下：，0递减极小值递增，恒成立，即，记直线，分别与交于，不妨设，则，从而，当且仅当时取等号，由（2）知，则，从而，当且仅当时取等号，故，因等号成立的条件不能同时满足，故高考预测五：多元函数不等式的证明27已知函数（1）讨论的单
21、调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】解：（1）函数的定义域为，函数的导数，设，当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数，当时，判别式，当时，即，即恒成立，此时函数在上是减函数，当时，的变化如下表：，00递减递增递减综上当时，在上是减函数，当时，在，和，上是减函数，则，上是增函数（2）由（1）知，不妨设，则，则，则，则问题转为证明即可，即证明，则，即，即证在上恒成立，设，其中（1），求导得，则在上单调递减，（1），即，故，则成立（2）另解：注意到，即，不妨设，由韦达定理得，得，可得，即，要证，只要证，即证，构造函数，在上单调递减，（1），成立，即，成立即成立28已知函数（1）讨论的单
22、调性；（2）已知存在两个极值点，令，若，求的取值范围【解析】解：（1）（）当，即时，在上单调递减；（）当，即或时，令，得或当时，在上，单调递增；在上，单调递减当时，在和上，单调递减；在上，单调递增（2），则，由（1）可知，且则，从而令，则因为，所以（a），所以（a）在上单调递减，则（a）（4），即（a）因为，即，所以，故的取值范围为29已知函数，其中（1）求函数的单调区间（2）若函数有两个极值点、，且，证明：【解析】解：（1）的定义域为，令，则，当，即，则，故，当且仅当时，函数在上单调递增；当且，即，的两个根为，故当时，在单调递减，当，时，在，单调递增；当且，即时，的两个根为，故当，即，在单调
23、递增，当，时，在，单调递减，当，时，在，单调递增；综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由（1）可知，且，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，即，则，即得证30设函数（） 求的极值；（）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（）若，证明：【解析】（本小题满分14分）解：（）函数，则，令，解得：，且当时，时，因此：的极小值为（）令，则注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，恒成立；故实数的取值范围为：构造函数，在上是单调递增的；故（b）（a），即：另一方面，构造函数，在上是单调递减的故
24、（b）（a）即：综上，31已知函数（1）若恒成立，求实数的取值范围；（1）证明：若，则【解析】解：（）解法的导数为，令，得；令，得，即在单调递减，在上单调递增，可知（1），解得解法，即，令，则，令，得；令，得，即在单调递减，在上单调递增，可知（1），可得证明：取，知，由（）知，即，可得，即有，则32已知函数（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：若，则【解析】解：（1）函数，可得，令，得；令，得，即在单调递减，在上单调递增，可知的最小值是（1），解得；（2）证明：取，知，由（1）知，即，整理得即：33已知函数（1），且是函数的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若任意，不等式恒
25、成立，求实数的取值范围；（3）若，求证：【解析】解：（1） （2分）由题意知（2），代入得，经检验，符合题意从而切线斜率，切点为，切线方程为 （4分）（2）由条件得在上恒成立 （6分）设，则当时，单调递增；当时，单调递减（8分）所以当，的最大值为，所以 （10分）（3）当时，不等式：等价于（12分）令，则，设，则，（14分）当时，在上单调递增，（1），所以，原不等式成立 （16分）34（1）已知函数，使，求实数的取值范围；（2）证明：，其中；（3）设表示不超过的最大整数，证明：【解析】解：（1）若，令，则；若， ，不合题意；若，只需求导数，得令，解得当时，在上是减函数；当时，在上是增函数故在处
26、取得最小值，由，得，综上可知，实数的取值范围为，（4分）（）由（），知，即取，即当时，当且仅当时，等号成立，故当且时，有令，得，即令，得，即，亦即综上，得（9分）（）由（），得令，得对于，分别取，2，将上述个不等式依次相加，得， 对于，分别取，2，将上述个不等式依次相加，得，即， 综合，得易知，当时，又，（14分）35已知函数，其中是自然对数的底数，（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）对任意的，求证：【解析】解：（1）当时，此时，函数在上单调递增，则在上恒成立，解得；（2）证明：依题意知，当，时，所以，记，因为，所以在，上单调递增，则（1），从而，又因为，所以，由式，知，即，于是，故
27、当时，不等式成立36已知，求证：【解析】证明：要证只要证即构造函数令，只要证在，上单调递减，只要证，即，即为，当时，又，即，时，以上各步都可逆推，得37已知函数，（1）求函数的最大值；（2）设，当，时，试讨论函数的单调性；（3）利用（2）的结论，证明：当时，【解析】解：（1），当时，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，（1）（2），设，则，当时，当时，当时，又的定义域为，在和，上是减函数（3）由（2）可知当时，在上单调递减，设，则在上单调递减，即，38已知函数（1）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（2）当且时，试比较与的大小【解析】解：（1）函数的定义域为函数在处取得极值，移项，将分离得出，令，则令，可知在上，在，上，在处取得极小值，也就是最小值此时，所以（1）由（1）在上为减函数且时，有，整理得当时，由得，当时，由得