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1、1 三角函数的图象与性质 建议用时：45 分钟 一、选择题 1下列函数中，周期为 2 的奇函数为( ) Aysin x2cos x2 Bysin2x Cytan 2x Dysin 2xcos 2x A ysin2x 为偶函数；ytan 2x 的周期为2；ysin 2xcos 2x 为非奇非偶函数，故 B、C、D 都不正确，故选 A. 2函数 y|cos x|的一个单调增区间是( ) A2，2 B0， C，32 D32，2 D 将 ycos x 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方，x 轴上方(或 x 轴上)的图象不变，即得 y|cos x|的图象(如图)故选 D. 3
2、如果函数 y3cos(2x)的图象关于点(43，0)对称，那么|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 A 由题意得 3cos(243)3cos(232)3cos(23)0， 所以23k2，kZ. 所以 k6，kZ，取 k0， 2 得|的最小值为6. 4函数 ycos2x2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A3，1 B3，2 C2，1 D2，2 D ycos2x2sin x1sin2x2sin x sin2x2sin x1， 令 tsin x， 则 t1，1，yt22t1(t1)22， 所以 ymax2，ymin2. 5若函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)为奇函数
3、，且在4，0上为减函数，则 的一个值为( ) A3 B6 C.23 D.56 D 由题意得 f(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin(2x6) 因为函数 f(x)为奇函数，所以 6k，kZ，故 6k，kZ.当 6时，f(x)2sin 2x，在4，0上为增函数，不合题意当 56时，f(x)2sin 2x，在4，0上为减函数，符合题意故选 D. 二、填空题 6函数 ycos(42x)的单调递减区间为_ k8，k58(kZ) 因为 ycos(42x)cos(2x4)， 所以令 2k2x42k(kZ)，解得 k8xk58(kZ)， 所以函数的单调递减区间为k8，k58(kZ) 7已知函数 f(
4、x)2sin(x6)1(xR)的图象的一条对称轴为 x，其中3 为常数，且 (1，2)，则函数 f(x)的最小正周期为_ 65 由函数 f(x)2sin(x6)1(xR)的图象的一条对称轴为 x，可得6k2，kZ， k23，又 (1，2)，53， 从而得函数 f(x)的最小正周期为25365. 8设函数 f(x)sin(2x3)若 x1x20，且 f(x1)f(x2)0，则|x2x1|的取值范围为_ (6，) 如图，画出 f(x)sin(2x3)的大致图象， 记 M(0，32)，N(6，32)，则|MN|6.设点 A，A是平行于 x 轴的直线 l 与函数 f(x)图象的两个交点(A，A位于 y
5、 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为 x1，x2，结合图形可知，|x2x1|AA|(|MN|，)，即|x2x2|(6，) 三、解答题 9已知 f(x) 2sin(2x4) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x4，34时，求函数 f(x)的最大值和最小值 解 (1)令 2k22x42k2，kZ， 得 k38xk8，kZ. 故 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ. 4 (2)当 x4，34时，342x474， 所以1sin(2x4)22， 所以 2f(x)1， 所以当 x4，34时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为 2. 10已知 a(sin x， 3cos x)，b(c
6、os x，cos x)，函数 f(x)a b32. (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程； (2)若方程 f(x)13在(0，)上的解为 x1，x2，求 cos(x1x2)的值 解 (1)f(x)a b32 (sin x， 3cos x) (cos x，cos x)32 sin xcos x 3cos2x32 12sin 2x32cos 2xsin(2x3) 令 2x3k2(kZ)，得 x512k2(kZ)， 即函数 yf(x)图象的对称轴方程为 x512k2(kZ) (2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1)与(x2，f(x2)关于 x512对称， 则 x1x256， cos(x1x
7、2)cosx1(56x1) cos(2x156)cos(2x13)2 sin(2x13)f(x1)13. 1(2019 太原模拟)已知函数 f(x)2sin(x3)的图象的一个对称中心为(3，5 0)，其中 为常数，且 (1，3)若对任意的实数 x，总有 f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是( ) A1 B.2 C2 D B 因为函数 f(x)2sin(x3)的图象的一个对称中心为(3， 0)， 所以33k，kZ，所以 3k1，kZ，由 (1，3)，得 2.由题意得|x1x2|的最小值为函数的半个周期，即T22. 2已知函数 f(x)2cos(x)b 对任意实数 x 有 f(
8、x4)f(x)恒成立，且 f(8)1，则实数 b 的值为( ) A1 B3 C1 或 3 D3 C 由 f(x4)f(x)可知函数 f(x)2cos(x)b 关于直线 x8对称，又函数 f(x)在对称轴处取得最值，故 2b1，b1 或 b3. 3已知函数 f(x)sin(x)023的最小正周期为 . (1)求当 f(x)为偶函数时 的值； (2)若 f(x)的图象过点6，32，求 f(x)的单调递增区间 解 由 f(x)的最小正周期为 ，则 T2，所以 2，所以 f(x)sin(2x) (1)当 f(x)为偶函数时，f(x)f(x)， 所以 sin(2x)sin(2x)， 展开整理得 sin
9、2xcos 0， 由已知上式对xR 都成立， 所以 cos 0.因为 023，所以 2. 6 (2)因为 f632， 所以 sin26 32，即332k 或3232k(kZ)， 故 2k 或 32k(kZ)， 又因为 023，所以 3， 即 f(x)sin2x3， 由22k2x322k(kZ) 得 k512xk12(kZ)， 故 f(x)的递增区间为k512，k12(kZ) 1设函数 f(x)sin(2x4)(x0，98)，若方程 f(x)a 恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3(x1x2x3)，则 2x13x2x3的值为( ) A B.34 C.32 D.74 D 由题意 x0，98，则
10、2x44，52， 画出函数的大致图象，如图所示 由图可得，当22a1 时，方程 f(x)a 恰有三个根由2x42得 x8， 由 2x432得 x58， 由图可知，点(x1，a)与点(x2，a)关于直线 x8对称，点(x2，a)与点(x3，a)关于直线 x58对称， 7 所以 x1x24，x2x354， 所以 2x13x2x32(x1x2)(x2x3)74. 2已知函数 f(x)a(2cos2x2sin x)b. (1)若 a1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)当 x0，时，函数 f(x)的值域是5，8，求 a，b 的值 解 f(x)a(1cos xsin x)b 2asin(x4)ab. (1)当 a1 时，f(x) 2sin(x4)b1， 由 2k2x42k32(kZ)， 得 2k4x2k54(kZ)， f(x)的单调增区间为2k4，2k54(kZ) (2)0 x，4x454， 22sin(x4)1.依题意知 a0， 当 a0 时， 2aab8，b5，a3 23，b5； 当 a0 时，b8，2aab5，a33 2，b8. 综上所述，a3 23，b5 或 a33 2，b8.