《2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式.doc（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、42 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 1同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： _； _ (2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式 2三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容： x 函数 sinx cosx tanx sin cos tan 2 32 2 (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余
2、弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把 当成_时，原三角函数式中的角如2 所在_原三角函数值的符号注意：把 当成锐角是指 不一定是锐角，如 sin(360 120)sin120， sin(270120)cos120，此时把 120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数 (3)诱导公式的作用 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数 去负（化负角为正角）任意正角的三角函数 脱周脱去k 3600到360的三角函数 化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3sincos，sincos，sincos 三者之
3、间的关系 (1)(sincos)2_. (2)(sincos)2_. (3)(sincos)2(sincos)2_. (4)(sincos)2(sincos)2_. 自查自纠： 1(1)sin2cos21 sincostan 2(1) x 函数 sinx cosx tanx sin cos tan 2 cos sin sin cos tan 32 cos sin 2 sin cos tan (2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3(1)1sin2 (2)1sin2 (3)2 (4)2sin2 若 sin513，且 为第四象限角，则 tan ( ) A.125 B125 C.512 D512 解：
4、因为 sin513，且 为第四象限角，所以 cos1213，所以 tan512.故选 D. (2017全国卷)已知 sincos43，则sin2 ( ) A79 B29 C.29 D.79 解：sin22sincos（sincos）211 79.故选 A. (2017郑州模拟)12sin（2）cos（2） ( ) Asin2cos2 Bsin2cos2 C(sin2cos2) Dcos2sin2 解：12sin（2）cos（2）12sin2cos2 （sin2cos2）2|sin2cos2|sin2cos2.故选 A. (2018兰州一诊)若 sin4 25，则cos4 _. 解：cos4 c
5、os24sin4 25.故填25. ( 2017郑州质检 ) 已 知cos22sin2，则sin3（）cos（）5cos52 3sin72的值为_ 解：因为 cos2 2sin2，所以sin2cos，则 sin2cos，代入 sin2cos21，得 cos215. 所以sin3（）cos（）5cos52 3sin72sin3cos5sin3cos8cos3cos7cos87cos217335.故填335. 类型一类型一 利用同角三角函数的基利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值本关系式进行化简和求值 (1)(2017全国卷)已知 a0，2，tan2，则 cos4_. 解：由 tan2 得
6、sin2cos. 又 sin2cos21，所以 cos215. 因为 0，2，所以 cos55，sin2 55. 因为 cos4coscos4sinsin4， 所以 cos455222 55223 1010. 故填3 1010. (2)(2018河南漯河统考)若点 P(cos， sin)在直线 y2x 上，则 cos22 ( ) A45 B.45 C35 D.35 解：由题知 sin2cos，sin2cos21，则 4cos2cos21， 所以 cos215.又 cos22sin22sincos4cos245.故选 B. 点 拨： 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可
7、以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；另外可以变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 (1)设 sin245，且 是第二象限角，则tan2的值为_ 解：因为 是第二象限角，所以2是第一或第三象限角 当2是第一象限角时， 有 cos21sin22145235， 所以 tan2sin2cos243； 当2是第三象限角时，与 sin245矛盾，舍去 综上，tan243.故填43. (2)已知 sincos 2，(0，)，则 tan_. 解法一：由sincos 2，sin2cos21， 得 2cos22 2cos10，即( 2cos1)20，所以 cos22.又 (0，
8、)，所以 34，tantan341. 解法二： 因为sincos 2， 所以(sincos)22， 得 sin21.因为 (0， )， 所以 2(0， 2)，232，所以 34，tan1.故填1. 类型二类型二 诱导公式的应用诱导公式的应用 (1)(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin435，则 tan4_. 解： 由题意知， 4是第一象限角， 得 cos445， 根据同角三角函数关系式可得 tan434. 所以 tan4tan421tan443.故填43. (2)化简sin（2）cos（）cos2 cos112cos（）sin（3）sin（）sin92_. 解：原式 （sin）（c
9、os）（sin）（sin）（cos） sinsincostan.故填tan. 点 拨： 应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率 (1)(2017合肥一模)已知 f(x)sinxcosx，则下列结论成立的是 ( ) A f(x)sinxcosx B f(x)sinxcosx C fx2sinxcosx D f2x sinxcosx 解：由 f(x)sin(
10、x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，fx2sinx2cosx2cosxsinx， f2xsin2x cos2x cosxsinx.故选 D. (2)(2017北京)在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称若sin13，则 cos()_. 解：因为 和 的终边关于 y 轴对称，所以 2k，kZ，那么 sinsin13，coscos，这样 cos()coscossinsin cos2sin22sin2179.故填79. 类型三类型三 关于关于 sin， cos 的齐的齐次式问题次式问题 已知tanta
11、n11，求下列各式的值 (1)sin3cossincos； (2)sin2sincos2. 解：由已知得 tan12. (1)sin3cossincostan3tan153. (2)sin2sincos2sin2sincossin2cos22 tan2tantan2121221212212135. 点 拨： 形如 asinbcos 和 asin2bsincosccos2的式子分别称为关于 sin，cos 的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cos 或 cos2)求解如果分母为 1，可考虑将 1 写成 sin2cos2.已知 tanm 的条件下，求解关于
12、 sin，cos 的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于 sin，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式； 因为 cos0， 所以可以用 cosn(nN*)除之， 这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入 tanm 的值，从而完成被求式的求值运算；注意 1sin2cos2 的运用 (荆州2017届质量检测)已知 tan(5x)2，则2cos2x2sinx1sinxcosx_. 解：tan(5x)2，即 tan(x)2，得 tanx2.又因为 2cos2x21cosx， 所以2cos2x2sinx1sinxcosxcosxsinxsinxcosx1tanxtanx13.故
13、填3. 1诱导公式用角度制和弧度制都可表示，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取 2已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况 (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解 (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解 (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解 3
14、计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 sin，cos 的齐次分式问题，常采用分子分母同除以 cosn(nN*)， 这样可以将被求式化为关于 tan 的式子 (2)巧用“1”进行变形，如 1sin2cos2 tan45等 (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取 (4)熟悉 sincos，sincos，sincos 三者之间的内在联系，利用(sincos)21 2sincos进行和积转换，可知一求二 1(福建四地六校2017届月考)已知 cos245，22，则 sin2 的值等于 ( ) A2425 B.2425 C1225 D.1225
15、 解： 由 cos245， 22， 得 sin45，cos35，则 sin22sincos2425.故选 A. 2(2017宁波模拟)已知 sinm3m5，cos42mm5， 其中 2， ， 则下列结论正确的是( ) Am5 B3m0，cos0. 因为(sincos)212sincos74， 所以 cossin72. 所以1tan1tancossincossin7212 7.故选A. 7已知 是第三象限角， 且 sin2cos25，则 sincos_. 解：由平方关系得2cos252cos21，且cos0， 解得 cos725， 从而 sin2425， 故 sincos3125.故填3125.
16、 8(黄冈2017届期末)已知函数 ysin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线 x1 对称，则sin2_. 解： yf(x)sin(x)2cos(x) 5sin(x)，其中 sin25，cos15， 因为函数的图象关于 x1 对称，所以 yf(1) 5，即 2k，kZ， sin2sin22k sin(22k)sin(2)sin22sincos2251545.故填45. 9已知 sin(3)13，求值： cos（）coscos（）1cos（2）sin()32cos（）sin()32. 解：因为sin(3)sin13，所以sin13. 所以原式coscos（cos1）coscos（cos）c
17、os 11cos11cos21cos22sin22132 18. 10(2018吉林长春月考)已知关于 x 的方程2x2( 31)xm0 的两个根为 sin 和 cos，(0，2)，求： (1)sin11tancos1tan的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及 的值 解：(1)由已知得sincos312，sincosm2， 则sin11tancos1tansin2sincoscos2cossinsin2cos2sincossincos312. (2)将式两边平方得 12sincos2 32. 所以 sincos34. 由式得m234，所以 m32. (3)由(2)可知原方程变为 2x2
18、( 31)x320，解得 x132，x212. 所以sin32，cos12或cos32，sin12. 又 (0，2)，所以 3或 6. 11(1)已知 tan3，求23sin214cos2 的值； (2)已知1tan11，求11sincos的值 解 ： (1)23sin2 14cos2 23sin214cos2sin2cos223tan214tan2123321432158. (2)由1tan11 得 tan2， 11sincossin2cos2sin2cos2sincostan21tan2tan1 221222157. ( 2018四川宜宾月考 ) 是 否 存 在2，2，(0，)，使等式 s
19、in(3) 2cos2 ， 3cos() 2cos()同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 解：假设存在角 ， 满足条件， 则由已知条件可得sin 2sin，3cos 2cos. 由22，得 sin23cos22. 所以 sin212，所以 sin22. 因为 2，2，所以 4. 当 4时，由式知 cos32， 又 (0，)，所以 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos32， 又 (0，)，所以 6，此时式不成立，故舍去 所以存在 4，6满足条件 42 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 1同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角
20、三角函数间有以下两个等式： _； _ (2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式 2三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容： x 函数 sinx cosx tanx sin cos tan 2 32 2 (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把 当成_时，原三角函数式中的角如2 所在_原三角函数值的符号注
21、意：把 当成锐角是指 不一定是锐角，如 sin(360 120)sin120， sin(270120)cos120，此时把 120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数 (3)诱导公式的作用 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数 去负（化负角为正角）任意正角的三角函数 脱周脱去k 3600到360的三角函数 化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3sincos，sincos，sincos 三者之间的关系 (1)(sincos)2_. (2)(sincos)2_. (3)(sincos)2(sincos)2_. (4)(
22、sincos)2(sincos)2_. 自查自纠： 1(1)sin2cos21 sincostan 2(1) x 函数 sinx cosx tanx sin cos tan 2 cos sin sin cos tan 32 cos sin 2 sin cos tan (2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3(1)1sin2 (2)1sin2 (3)2 (4)2sin2 若 sin513，且 为第四象限角，则 tan ( ) A.125 B125 C.512 D512 解：因为 sin513，且 为第四象限角，所以 cos1213，所以 tan512.故选 D. (2017全国卷)已知 sinco
23、s43，则sin2 ( ) A79 B29 C.29 D.79 解：sin22sincos（sincos）211 79.故选 A. (2017郑州模拟)12sin（2）cos（2） ( ) Asin2cos2 Bsin2cos2 C(sin2cos2) Dcos2sin2 解：12sin（2）cos（2）12sin2cos2 （sin2cos2）2|sin2cos2|sin2cos2.故选 A. (2018兰州一诊)若 sin4 25，则cos4 _. 解：cos4 cos24sin4 25.故填25. ( 2017郑州质检 ) 已 知cos22sin2，则sin3（）cos（）5cos52
24、3sin72的值为_ 解：因为 cos2 2sin2，所以sin2cos，则 sin2cos，代入 sin2cos21，得 cos215. 所以sin3（）cos（）5cos52 3sin72sin3cos5sin3cos8cos3cos7cos87cos217335.故填335. 类型一类型一 利用同角三角函数的基利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值本关系式进行化简和求值 (1)(2017全国卷)已知 a0，2，tan2，则 cos4_. 解：由 tan2 得 sin2cos. 又 sin2cos21，所以 cos215. 因为 0，2，所以 cos55，sin2 55. 因为 cos
25、4coscos4sinsin4， 所以 cos455222 55223 1010. 故填3 1010. (2)(2018河南漯河统考)若点 P(cos， sin)在直线 y2x 上，则 cos22 ( ) A45 B.45 C35 D.35 解：由题知 sin2cos，sin2cos21，则 4cos2cos21， 所以 cos215.又 cos22sin22sincos4cos245.故选 B. 点 拨： 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；另外可以变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 (1)设
26、 sin245，且 是第二象限角，则tan2的值为_ 解：因为 是第二象限角，所以2是第一或第三象限角 当2是第一象限角时， 有 cos21sin22145235， 所以 tan2sin2cos243； 当2是第三象限角时，与 sin245矛盾，舍去 综上，tan243.故填43. (2)已知 sincos 2，(0，)，则 tan_. 解法一：由sincos 2，sin2cos21， 得 2cos22 2cos10，即( 2cos1)20，所以 cos22.又 (0，)，所以 34，tantan341. 解法二： 因为sincos 2， 所以(sincos)22， 得 sin21.因为 (0
27、， )， 所以 2(0， 2)，232，所以 34，tan1.故填1. 类型二类型二 诱导公式的应用诱导公式的应用 (1)(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin435，则 tan4_. 解： 由题意知， 4是第一象限角， 得 cos445， 根据同角三角函数关系式可得 tan434. 所以 tan4tan421tan443.故填43. (2)化简sin（2）cos（）cos2 cos112cos（）sin（3）sin（）sin92_. 解：原式 （sin）（cos）（sin）（sin）（cos） sinsincostan.故填tan. 点 拨： 应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先
28、用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率 (1)(2017合肥一模)已知 f(x)sinxcosx，则下列结论成立的是 ( ) A f(x)sinxcosx B f(x)sinxcosx C fx2sinxcosx D f2x sinxcosx 解：由 f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，fx2sinx2cosx2cosxsinx
29、， f2xsin2x cos2x cosxsinx.故选 D. (2)(2017北京)在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称若sin13，则 cos()_. 解：因为 和 的终边关于 y 轴对称，所以 2k，kZ，那么 sinsin13，coscos，这样 cos()coscossinsin cos2sin22sin2179.故填79. 类型三类型三 关于关于 sin， cos 的齐的齐次式问题次式问题 已知tantan11，求下列各式的值 (1)sin3cossincos； (2)sin2sincos2. 解：由已知得 tan12. (1)
30、sin3cossincostan3tan153. (2)sin2sincos2sin2sincossin2cos22 tan2tantan2121221212212135. 点 拨： 形如 asinbcos 和 asin2bsincosccos2的式子分别称为关于 sin，cos 的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cos 或 cos2)求解如果分母为 1，可考虑将 1 写成 sin2cos2.已知 tanm 的条件下，求解关于 sin，cos 的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于 sin，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式； 因为
31、cos0， 所以可以用 cosn(nN*)除之， 这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入 tanm 的值，从而完成被求式的求值运算；注意 1sin2cos2 的运用 (荆州2017届质量检测)已知 tan(5x)2，则2cos2x2sinx1sinxcosx_. 解：tan(5x)2，即 tan(x)2，得 tanx2.又因为 2cos2x21cosx， 所以2cos2x2sinx1sinxcosxcosxsinxsinxcosx1tanxtanx13.故填3. 1诱导公式用角度制和弧度制都可表示，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取 2已知一个角的某一个三角函数值，求
32、这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况 (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解 (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解 (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解 3计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 sin，cos 的齐次分式问题，常采
33、用分子分母同除以 cosn(nN*)， 这样可以将被求式化为关于 tan 的式子 (2)巧用“1”进行变形，如 1sin2cos2 tan45等 (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取 (4)熟悉 sincos，sincos，sincos 三者之间的内在联系，利用(sincos)21 2sincos进行和积转换，可知一求二 1(福建四地六校2017届月考)已知 cos245，22，则 sin2 的值等于 ( ) A2425 B.2425 C1225 D.1225 解： 由 cos245， 22， 得 sin45，cos35，则 sin22sincos2425.故选 A. 2(2017宁
34、波模拟)已知 sinm3m5，cos42mm5， 其中 2， ， 则下列结论正确的是( ) Am5 B3m0，cos0. 因为(sincos)212sincos74， 所以 cossin72. 所以1tan1tancossincossin7212 7.故选A. 7已知 是第三象限角， 且 sin2cos25，则 sincos_. 解：由平方关系得2cos252cos21，且cos0， 解得 cos725， 从而 sin2425， 故 sincos3125.故填3125. 8(黄冈2017届期末)已知函数 ysin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线 x1 对称，则sin2_. 解： yf(
35、x)sin(x)2cos(x) 5sin(x)，其中 sin25，cos15， 因为函数的图象关于 x1 对称，所以 yf(1) 5，即 2k，kZ， sin2sin22k sin(22k)sin(2)sin22sincos2251545.故填45. 9已知 sin(3)13，求值： cos（）coscos（）1cos（2）sin()32cos（）sin()32. 解：因为sin(3)sin13，所以sin13. 所以原式coscos（cos1）coscos（cos）cos 11cos11cos21cos22sin22132 18. 10(2018吉林长春月考)已知关于 x 的方程2x2( 3
36、1)xm0 的两个根为 sin 和 cos，(0，2)，求： (1)sin11tancos1tan的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及 的值 解：(1)由已知得sincos312，sincosm2， 则sin11tancos1tansin2sincoscos2cossinsin2cos2sincossincos312. (2)将式两边平方得 12sincos2 32. 所以 sincos34. 由式得m234，所以 m32. (3)由(2)可知原方程变为 2x2( 31)x320，解得 x132，x212. 所以sin32，cos12或cos32，sin12. 又 (0，2)，所以 3
37、或 6. 11(1)已知 tan3，求23sin214cos2 的值； (2)已知1tan11，求11sincos的值 解 ： (1)23sin2 14cos2 23sin214cos2sin2cos223tan214tan2123321432158. (2)由1tan11 得 tan2， 11sincossin2cos2sin2cos2sincostan21tan2tan1 221222157. ( 2018四川宜宾月考 ) 是 否 存 在2，2，(0，)，使等式 sin(3) 2cos2 ， 3cos() 2cos()同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 解：假设存在角
38、， 满足条件， 则由已知条件可得sin 2sin，3cos 2cos. 由22，得 sin23cos22. 所以 sin212，所以 sin22. 因为 2，2，所以 4. 当 4时，由式知 cos32， 又 (0，)，所以 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos32， 又 (0，)，所以 6，此时式不成立，故舍去 所以存在 4，6满足条件 42 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 1同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： _； _ (2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数
39、值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式 2三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容： x 函数 sinx cosx tanx sin cos tan 2 32 2 (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把 当成_时，原三角函数式中的角如2 所在_原三角函数值的符号注意：把 当成锐角是指 不一定是锐角，如 sin(360 120)sin120， sin(270120)cos120，此时把 1
40、20当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数 (3)诱导公式的作用 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数 去负（化负角为正角）任意正角的三角函数 脱周脱去k 3600到360的三角函数 化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3sincos，sincos，sincos 三者之间的关系 (1)(sincos)2_. (2)(sincos)2_. (3)(sincos)2(sincos)2_. (4)(sincos)2(sincos)2_. 自查自纠： 1(1)sin2cos21 sincostan 2(1) x 函数 sin
41、x cosx tanx sin cos tan 2 cos sin sin cos tan 32 cos sin 2 sin cos tan (2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3(1)1sin2 (2)1sin2 (3)2 (4)2sin2 若 sin513，且 为第四象限角，则 tan ( ) A.125 B125 C.512 D512 解：因为 sin513，且 为第四象限角，所以 cos1213，所以 tan512.故选 D. (2017全国卷)已知 sincos43，则sin2 ( ) A79 B29 C.29 D.79 解：sin22sincos（sincos）211 79.故选
42、A. (2017郑州模拟)12sin（2）cos（2） ( ) Asin2cos2 Bsin2cos2 C(sin2cos2) Dcos2sin2 解：12sin（2）cos（2）12sin2cos2 （sin2cos2）2|sin2cos2|sin2cos2.故选 A. (2018兰州一诊)若 sin4 25，则cos4 _. 解：cos4 cos24sin4 25.故填25. ( 2017郑州质检 ) 已 知cos22sin2，则sin3（）cos（）5cos52 3sin72的值为_ 解：因为 cos2 2sin2，所以sin2cos，则 sin2cos，代入 sin2cos21，得 c
43、os215. 所以sin3（）cos（）5cos52 3sin72sin3cos5sin3cos8cos3cos7cos87cos217335.故填335. 类型一类型一 利用同角三角函数的基利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值本关系式进行化简和求值 (1)(2017全国卷)已知 a0，2，tan2，则 cos4_. 解：由 tan2 得 sin2cos. 又 sin2cos21，所以 cos215. 因为 0，2，所以 cos55，sin2 55. 因为 cos4coscos4sinsin4， 所以 cos455222 55223 1010. 故填3 1010. (2)(2018河南漯
44、河统考)若点 P(cos， sin)在直线 y2x 上，则 cos22 ( ) A45 B.45 C35 D.35 解：由题知 sin2cos，sin2cos21，则 4cos2cos21， 所以 cos215.又 cos22sin22sincos4cos245.故选 B. 点 拨： 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；另外可以变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 (1)设 sin245，且 是第二象限角，则tan2的值为_ 解：因为 是第二象限角，所以2是第一或第三象限角 当2是第一象限角时，
45、有 cos21sin22145235， 所以 tan2sin2cos243； 当2是第三象限角时，与 sin245矛盾，舍去 综上，tan243.故填43. (2)已知 sincos 2，(0，)，则 tan_. 解法一：由sincos 2，sin2cos21， 得 2cos22 2cos10，即( 2cos1)20，所以 cos22.又 (0，)，所以 34，tantan341. 解法二： 因为sincos 2， 所以(sincos)22， 得 sin21.因为 (0， )， 所以 2(0， 2)，232，所以 34，tan1.故填1. 类型二类型二 诱导公式的应用诱导公式的应用 (1)(2
46、016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin435，则 tan4_. 解： 由题意知， 4是第一象限角， 得 cos445， 根据同角三角函数关系式可得 tan434. 所以 tan4tan421tan443.故填43. (2)化简sin（2）cos（）cos2 cos112cos（）sin（3）sin（）sin92_. 解：原式 （sin）（cos）（sin）（sin）（cos） sinsincostan.故填tan. 点 拨： 应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数
47、的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率 (1)(2017合肥一模)已知 f(x)sinxcosx，则下列结论成立的是 ( ) A f(x)sinxcosx B f(x)sinxcosx C fx2sinxcosx D f2x sinxcosx 解：由 f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，fx2sinx2cosx2cosxsinx， f2xsin2x cos2x cosxsinx.故选 D. (2)(2017北京)在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角
48、 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称若sin13，则 cos()_. 解：因为 和 的终边关于 y 轴对称，所以 2k，kZ，那么 sinsin13，coscos，这样 cos()coscossinsin cos2sin22sin2179.故填79. 类型三类型三 关于关于 sin， cos 的齐的齐次式问题次式问题 已知tantan11，求下列各式的值 (1)sin3cossincos； (2)sin2sincos2. 解：由已知得 tan12. (1)sin3cossincostan3tan153. (2)sin2sincos2sin2sincossin2cos22 tan2
49、tantan2121221212212135. 点 拨： 形如 asinbcos 和 asin2bsincosccos2的式子分别称为关于 sin，cos 的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cos 或 cos2)求解如果分母为 1，可考虑将 1 写成 sin2cos2.已知 tanm 的条件下，求解关于 sin，cos 的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于 sin，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式； 因为 cos0， 所以可以用 cosn(nN*)除之， 这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入 tanm 的值，从而完
50、成被求式的求值运算；注意 1sin2cos2 的运用 (荆州2017届质量检测)已知 tan(5x)2，则2cos2x2sinx1sinxcosx_. 解：tan(5x)2，即 tan(x)2，得 tanx2.又因为 2cos2x21cosx， 所以2cos2x2sinx1sinxcosxcosxsinxsinxcosx1tanxtanx13.故填3. 1诱导公式用角度制和弧度制都可表示，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取 2已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况 (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的