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1、专题 3××不等式、复数、算法命题趋势1不等式高考中，不等式部分主要考查利用基本不等式求最值及线性规划问题，还有利用不等式的性质比较大小也是高考的热点，另外一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围2复数复数主要考查复数的概念及四则运算3算法算法主要考查程序框图的循环结构，以输出结果为主，且常与函数、数列等知识综合命题考点清单一、不等式1不等式的基本性质（1）a>bb<a（对称性）（2）a>b，b>ca>c（传递a）（3）a>ba+c>b+c（加法单调性）（4）a>b，c>da+c>b
2、+d（同向不等式相加）（5）a>b，c<da-c>b-d（异向不等式相减）（6）a>b，c>0ac>bc（7）a>b，c<0ac<bc（乘法单调性）（8）a>b>0，c>d>0ac>bd（同向不等式相乘）（9）a>b>0，（同向不等式相除）（10）a>b，（倒数关系）（11）a>b>0an>bn(nZ，且n>1)（乘方法则）（12）a>b>0na>nb(nZ，且n>1)（开方法则）（13）a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b&l
3、t;0a<b2一元二次不等式（1）一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解（2）一元不等式的恒成立问题对于ax2+bx+c>0对于ax2+bx+c>0a0恒成立的条件为：二次项系数a>0，<0；对于ax2+bx+c<0a0恒成立的条件为：a<0，<03分式不等式对于分式不等式：先移项通分标准化，则；4基本不等式a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立二、复数1形如a+bi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z表示全体复数构成的集合叫做复数集，
4、一般用大写字母C表示其中a，b分别叫做复数a+bi的实部与虚部2复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c且b=d特别地，a+bi=0a=0，b=0两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小3复数的分类复数a+bi(a，bR)，b=0时为实数；b0时为虚数，a=0，b0时为纯虚数，即复数（a+bi，a，bR）4复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一
5、一对应的，即复数z=a+b对应复平面内的点za，b5共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi(a，bR)（2）共轭复数的性质zRz=z；非零复数z是纯虚数z+z=0；z+z=2a，z-z=2bi；z1±z2=z1±z2；z1z2=z1z2；（3）两个共轭复数的积两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即zz=|z|2=|z|26复数的模向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a，bR)的模(或长度)，记作|z|或|a+bi|由模的定义可知|z|=|a+
6、bi|=r=a2+b2（显然r0，rR）当b=0时，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=|a|7复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，b，c，dR)8复数的乘法（1）复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)，则它们的积z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（2）复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律对任何z1，z2，z3C，有z1z2=z2z1 (交换
7、律)；(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律)；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)9复数的除法复数除法的实质是分母实数化，即三、算法程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序流程图通常由输入、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1已知，且，若，则（ ）ABCD2若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）A0B1CD23已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是（ ）
8、ABCD4若正实数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值是（ ）A12B15C25D275设复数z满足，则z=（ ）ABC1D26执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的M=（ ）ABCD7关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且：x2-x1=15，则a=（ ）ABCD8若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为（ ）ABCD9若，则 a+b的最小值是（ ）A6+23B7+23C6+43D7+4310复数 (为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11（多选）设为复数，z10下列命题中正
9、确的是（ ）A若z2=z3，则z2=±z3B若z1z2=z1z3，则z2=z3C若z2=z3，则z1z2=z1z3D若z1z2=z12，则z1=z212若复数z为纯虚数，且，则m=（ ）ABCD213执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（ ）ABCD14运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）Ak<3?Bk<4?Ck<5?Dk<6?二、填空题15已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_16若函数的定义域为R，则a的取值范围为_17已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是
10、_18若x，y满足约束条件，则的最大值 19已知x，yR+，且满足，则xy的最大值为_20在ABC中，B=60，AC=3，则AB+BC的最大值为_21已知函数f(x)=x2+mx-1，若对于任意的xm，m+1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为 22已知复数z满足1+iz=1-7i（是虚数单位），则z=_高频易错题一、选择题1（多选）已知x>1，则的值可以为（ ）A9B10C11D122（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）ABCD精准预测题一、选择题1复数，则复数z在复平面内所对应的点在第（ ）象限A一B二C三D四二、填空题2已知aR，函数，若对任意x-
11、3，+，fxx恒成立，则a的取值范围是_3已知a，bR，且a-3b+6=0，则的最小值为_4不等式的解集为_5能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的值为_参考答案经典训练题一、选择题1【答案】D【解析】，当a>1时，b>a>1，a-1>0，b-a>0，b-1>0，a-b<0，a-1a-b<0，(b-1)(b-a)>0；当0<a<1时，0<b<a<1，a-1<0，b-a<
12、;0，b-1<0，a-b>0，(a-1)(b-1)>0，a-1a-b<0，b-1b-a>0，观察各选项可知选D【点评】在解不等式时，一定要注意对a分为a>1和0<a<1两种情况进行讨论，否则很容易出现错误2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于z=x+2y，则，令Z=0，作直线，在可行域中作平行线，得最优解(0，1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D【点评】本题考点为线性规划的基本方法3【答案】A【解析】由ax<ay0<a<1，知x>y，所以，x3>y3，选A【点评】本题将函数不等式结合，利用函数的性质
13、即可解题，属于基础题型4【答案】C【解析】x+3y=xy变形得，因为x，y是正实数，则，当且仅当时，取最小值25，故选C【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为ax+by=xy时，需要先变形为，然后利用乘“1”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值5【答案】C【解析】，z+1=iz-1，z+1=iz-i，i-1z=i+1，故z=i，z=1，故选C【点评】此题主要考了复数的运算以及复数的概念，属于基础题6【答案】D【解析】根据题意由13成立，则循环，即；又由23成立，则循环，即；又由33成立，则循环，即；又由43不成立，则出循环，输出【点评】此题主要考查框图中循环结构的运行，过程当中，
14、要注意计算不要出错7【答案】A【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，所以x1+x2=2a，x1x2=-8a2，又x2-x1=15，所以(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x2x1=36a2=152，解得，因为a>0，所以，故选A【点评】本题考查了二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力8【答案】D【解析】x>0，y>0，x+y=1，x+1+y=2，（当且仅当，取等号），故选D【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先
15、要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）9【答案】D【解析】由题意，ab>0，且3a+4b>0，所以a>0，b>0，又，所以，3a+4b=ab，所以，所以，当且仅当，即a=2+23，b=3+23时，等号成立故选D【点评】本题考查了对数的运算法则，基本不等式性质，属于中档题10【答案】B【解析】z=i(1+i)=i+i2=-1+i，故对应的点在第二象限【点评】本题考查了复数的运算，复数平面的概念11【答案】BC【解析】由
16、复数模的概念可知，z2=z3不能得到z2=±z3，例如z2=1+i，z3=1-i，A错误；由z1z2=z1z3，可得z1(z2-z3)=0，因为z10，所以z2-z3=0，即z2=z3，B正确；因为z1z2=|z1|z2|，z1z3=|z1|z3|，而z2=z3，所以|z2|=|z3|=|z2|，所以z1z2=z1z3，C正确；取，显然满足z1z2=z12，但，D错误，故选BC【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于中档题12【答案】D【解析】由题意，复数，因为复数为纯虚数，所以m-2=0，解得m=2，故选D【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于基础题13【答案】B
17、【解析】初始值a=2，i=1，第一步：，i=1+1=2<2021，进入循环；第二步：，i=2+1=3<2021，进入循环；第三步：，i=3+1=4<2021，进入循环；第四步：，i=4+1=5<2021，进入循环；因此a的取值情况以4为周期，又2022除以4余2，当i=2022时，结束循环，此时对应的a的值为a=-3，即输出a的值为-3，故选B【点评】考点：框图的循环结构流程图，属于基础题型14【答案】B【解析】运行该程序：输入a=2，第一次循环：S=0+2×12=2，a=-2，k=1+1=2；第二次循环：S=2-2×22=-6，a=2，k=2+1=
18、3；第三次循环：S=-6+2×32=12，a=-2，k=3+1=4，因为输出的S的值为12，所以判断框中可以填k<4?，故选B【点评】本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解注意计算的准确性，属基础题二、填空题15【答案】0，8【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立=-a2-8a<0，解得0<a<8，故答案为0，8【点评】本题为一元二次不等式恒成立问题，属于基础题型16【答案】-1，0【解析】恒成立x2-2ax-a0恒成立，=(2a)2+4a0a(a+1)0，-1a0【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件
19、，属于中档题17【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线2x+y-2=0距离的平方为x2+y2的最小值，为，原点到直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点2，3距离的平方为x2+y2的最大值为13，因此x2+y2的取值范围为【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围18【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，
20、点A1，3与原点连线的斜率最大，故的最大值为3【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法19【答案】3【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力因为，所以xy3，当且仅当，即，时取等号，所以xy的最大值为3【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，不等式的解法，属于基础题20【答案】23【解析】由余弦定理：，即，整理可得：，解得：a+c23，当且仅当a=c=3时等号成立，则AB+BC，即a+c的最大值为23【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，基本不等式等知识点在运用基本不等式时，一定要注意在使用
21、不等式时，判断符号能否成立21【答案】【解析】因为函数f(x)=x2+mx-1的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的xm，m+1都有f(x)<0成立，解得，所以实数m的取值范围为【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了利用“三个二次”的结合求解参数的取值范围，是中档题22【答案】5【解析】由1+iz=1-7i，得，则|z|=(-3)2+(-4)2=5故答案为5【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题高频易错题一、选择题1【答案】CD【解析】因为x>1，所以x-1>0，所以，当且仅当，即x=6时，等号成立，故故选CD【点评】利用基本不等式求最值
22、时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2【答案】ABD【解析】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以a+b2，当且仅当时，等号成立，故D正确，故选ABD【点评】本题主要考查不等式的性质，
23、综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养精准预测题一、选择题1【答案】A【解析】z=1+i+-1+-i+1+i+-1+-i+1+i=1+i，对应的点为1，1，在第一象限，故选A【点评】本题考查了复数的代数形式以及几何意义，关键是利用2=-1进行化简二、填空题2【答案】【解析】分类讨论：当x>0时，fxx，即-x2+2x-2ax，整理可得，由恒成立的条件可知：a(-12x2+12x)max，x>0结合二次函数的性质可知：当时，则；当-3x0时，fxx，即x2+2x+a-2-x，整理可得a-x2-3x+2，由恒成立的条件可知a-x2-3x+2min，-3
24、x0，结合二次函数的性质可知：当x=-3或x=0时，则a2；综合可得a的取值范围是，故答案为【点评】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）afx恒成立；（2）afx恒成立有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析3【答案】【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且，因为对于任意x，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得：当且仅当，即时等号成立综上可得的最小值为【点评】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了
25、某个条件，就会出现错误4【答案】(-1，2)【解析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围2x2-x<4，2x2-x<22，y=2x是一个递增函数，x2-x<2-1<x<2，故答案为x-1<x<2【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大5【答案】-1，-2，-3【解析】-1>-2>-3，-1+-2=-3>-3，矛盾，所以1，2，3可验证该命题是假命题【点评】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举
26、反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一6【答案】4【解析】由程序框图知，当n=3时，第一次循环：“n=1”否，“n是奇数”是，则n=3+1=4，i=1+1=2；第二次循环：“n=1”否，“n是奇数”否，则，i=2+1=3；第三次循环：“n=1”否，“n是奇数”否，则，i=3+1=4；满足条件“n=1”，结束循环，输出的值为4，故答案为4【点评】含有循环结构的程序框图问题，根据框图的结构，逐次循环，注意条件的检验是关键维权 声明江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育http：/wwwjtyhjycom）郑重发表如下声明： 一、本网站的原创内容，由本公司依照运营规划，安
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