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1、专题 12××不等式选讲命题趋势本部分主要考查均值不等式的应用，含绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等总体而言难度不大考点清单知识点1含绝对值不等式的解法1绝对值三角不等式（1）定理1：如果a，b是实数，则|a+b|a|+|b|，当且仅当ab0时，等号成立；（2）性质：|a|-|b|a±b|a|+|b|；（3）定理2：如果a，b，c是实数，则|a-c|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立2绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式|x|<a，|
2、x|>a的解法不等式a>0a=0a<0|x|<ax|-a<x<a|x|>ax|x>a或x<-ax|xR，且x0R（2）|ax+b|c(c>0)和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc；|ax+b|cax+bc或ax+b-c（3）|x-a|+|x-b|c(c>0)和|x-a|+|x-b|c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想知识点
3、2：不等式的证明方法1基本不等式定理一：设a，bR，则a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立定理二：如果a，b为正数，则，当且仅当a=b时，等号成立定理三：如果a，b，c为正数，则，当且仅当a=b=c时，等号成立2不等式的证明方法（1）比较法作差比较：a>ba-b>0，a<ba-b<0；作商比较：，（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法作出与所证不等式相反的假设；从条件出发，应用正确的推理
4、方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立（5）放缩法：要证a<b，可寻找合适的中间量c有a<c，c<b，从而证得a<b 精题集训（70分钟）经典训练题一、解答题1已知函数fx=2x-2+x-6（1）求不等式fx>10的解集；（2）记集合A=xfx-5a=0，若，求实数a的取值范围2已知函数（1）求不等式f(x)5的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围3已知函数fx=2x-1+x+2的最小值为m（1）画出函数fx的图象，利用图象写出函数最小值m；（2）若a，b，cR，且a+b+c=m，求证：ab+bc+ca34求证：5若a，bR，ab&
5、gt;0，a2+b2=1求证：6已知函数f(x)=x-2+x（1）求不等式f(x)x+2的解集；（2）若函数f(x)的最小值为m，正数a，b满足，求的最小值高频易错题一、解答题1已知函数fx=x2+1，g(x)=|x-a|-|2x-1|，（1）当时，解不等式；（2）对任意x1，x2R，若不等式f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围精准预测题一、解答题1已知函数（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）若不等式fxm2-m对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围2设函数fx=x2-2ax+a2+x2-8x+16 (a0)（1）当时，求不等式fx<x的解集；（2）若恒成立，求a的取值
6、范围3已知函数f(x)=|x+a|+|2x-3|（1）当时，求f(x)的最小值；（2）当xa，2a-2时，不等式恒成立，求实数a的取值范围4设函数f(x)=2x-1-x+1+ax，aR（1）若，求不等式f(x)>0的解集；（2）若函数f(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围5已知函数fx=3-x+x-mm>2的最小值为1（1）求不等式fx+x-m>2的解集（2）若，求ac+2bc的最大值6已知不等式x-2>3的解集与关于x的不等式x2-ax-b>0的解集相同（1）求实数a，b的值；（2）求函数的最大值及取最大值时的x值7（1）比较25与10+1的大小；（2）已知a
7、>0，b>0，且a+b=1，证明：2a+2+2b+2238已知函数（1）证明：x>0时，f(x)>0；（2）证明：参考答案经典训练题一、解答题1【答案】（1）或；（2）【解析】（1）依题意当x<1时，则，故；当1x6时，则x>6，无解；当x>6时，则x>6，故x>6，故不等式fx>10的解集为或（2）依题意，而，则可知fxmin=5，即fx的值域为，因为，故5a5，则，故实数a的取值范围为【点评】本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是根据绝对值为0时端点分段讨论取绝对值进行求解2【答案】（1）；（2）【解析】（1）f(x)5，即为，
8、等价于或或，解得，即不等式的解集为（2）因为，当且仅当时取最小值，所以由恒成立，可得，即，解得，故实数a的取值范围是【点评】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3【答案】（1）图象见解析，最小值为3；（2）证明见解析【解析】（1），图象如图所示：由图可知当x=1时fx取得最小值m=3（2）由题意得a+b+c=3，a，b，cR，三式相加并整理得a2+b2+c2ab+bc+ca，两边同时加：2ab+2bc+2ca，并配方得a+b+c23ab+
9、bc+ca，93ab+bc+ca，ab+bc+ca3成立【点评】本题考查绝对值函数的性质和利用基本不等式证明其它不等式，属基础题画图象时关键是根据绝对值得零点分段，然后分段绘制函数的图象，证明不等式时要注意使用基本不等式，并注意时当配凑，配方以便使用已知条件证明结论4【答案】证明见解析【解析】证明：因为，所以【点评】本题考查了放缩法证明不等式，关键在于放缩的度的掌握，属于中档题5【答案】证明见解析【解析】，因为a2+b2=12ab，当且仅当a=b时等号成立，所以，设ab=t，则ht在上单调递减，所以，所以当时，所以【点评】证明不等式通常利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号
10、6【答案】（1）；（2）最小值为1【解析】（1），由f(x)x+2，得或或，解得x0或x4，故不等式f(x)x+2的解集为（2）由绝对值三角不等式的性质，可知x-2+x(x-2)-x=2，当且仅当x(x-2)0时取“=”号，即b+2a=2ab，当且仅当，即时取等号，故的最小值为1【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，
11、这也是最容易发生错误的地方高频易错题一、解答题1【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，不等式，即，即，解得x2>4或(舍去)，由x2>4，解得x<-2或x>2所以不等式的解集是（2）由题意知，只需满足f(x)min>gx max即可fx=x2+1，fxmin=1，依题意，当时，由一次函数性质知，g(x)在上单调递增，在和上单调递减，由f(x)min>gx max，得，即所以实数a的取值范围是【点评】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=fx，xa，b，y=gx，xc，d（1）若x1a，b，x2c，d，总有fx1<g
12、x2成立，故fx max<gx2min ；（2）若x1a，b，x2c，d，有fx1<gx2成立，故fx max<gx2max ；（3）若x1a，b，x2c，d，有fx1<gx2成立，故fx min<gx2max ；（4）若x1a，b，x2c，d，有fx1=gx2，则fx的值域是gx值域的子集精准预测题一、解答题1【答案】（1）或；（2）-1m2【解析】（1）当a=2时，不等式为所以或或，解得或，综上所述，不等式的解集为或（2），而，当且仅当a=1时等号成立即当x和a变化时，fx的最小值为2，因为不等式fxm2-m对任意实数x及a恒成立，2m2-m，-1m2【点评】
13、本题是含参数的不等式恒成立问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如的解集是空集，则恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立 ，恒成立 2【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，当x1时，fx<x，无解；当1<x<4时，由fx<x，可得3<x<4；当x4时，由fx<x，可得4x<5，故不等式fx<x的解集为（2）因为恒成立，即，fx=x-a+x-4x-a-x-4=a-4，当a<0或a4时，不等式显然成立；当0<a<4时，得a2-5a+40，则1a<4，故a
14、的取值范围为【点评】绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3【答案】（1）最小值为；（2）【解析】（1）当时，由解析式可知，f(x)在和上单调递减，且在x=-1处连续，在上单调递增，故f(x)在处取得最小值，且，所以f(x)的最小值为（2）xa，2a-2，2a-2>a，a>2，又xa，2a-2，2x-3>0，x+5>0，f(x)x+5|x+a|+|2x-3|x+5x+a+2x-3x+5即a-2x+8在xa，2a-2上
15、恒成立，令y=-2x+8在xa，2a-2上单调递减，ymin=4a+12，a-4a+12，解得，综上，a的取值范围为【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（afxmin即可）；数形结合( 图象在y=gx 上方即可)；讨论最值fxmin或fxmax恒成立4【答案】（1）；（2）【解析】（1）若，不等式f(x)>0，即，则或或，解得x-1或-1<x<0或，故原不等式的解集为（2）由f(x)=2x-1-x+1+ax=0，得2x-1-x+1=-ax，设，h(x)=-ax，
16、在平面直角坐标系中做出g(x)的大致图象，如图所示，结合图象分析，可知当-3<-a<-1，即1<a<3时，g(x)、的图象有三个不同的交点，故函数f(x)恰有三个零点时，实数a的取值范围是【点评】函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用5【答案】（1）；（2）3【解析】（1）3-x+x-m3-x+x-m=3-m，当且仅当3-xx-m0时，fx取得最小值3-m又fx=3-x+x-m的最小值为1，3-m=1，m>2
17、，m=4fx+x-m>2，等价于x-3+2x-4>2当x3时，所求不等式等价于-3x+11>2，解得，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于-x+5>2，解得，与条件矛盾；当x4时，所求不等式等价于3x-11>2，解得，符合题意，综上，原不等式的解集为（2）m=4，6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2b2+c22ac+2bc，ac+2bc3当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就
18、是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误6【答案】（1）a=4，b=5；（2）时，f(x)的最大值为41【解析】（1）由|x-2|>3，得x-2>3或x-2<-3，即x>5或x<-1不等式|x-2|>3的解集为xx>5或x<-1，不等式x2-ax-b>0的解集为xx>5或x<-1；从而-1，5为方程x2-ax-b=0的两根，则（2）因为函数的定义域为3，44，又a=4，b=5，由柯西不等式可得：，当且仅当5x-3=444-x，即时等号成立，此时【点评】求解本题第一问的关键在于利用
19、绝对值不等式的解法求出不等式解集，再利用三个二次之间关系的求解即可；第二问求解时，只需直接利用柯西不等式求解即可，要熟记柯西不等式7【答案】（1）25>10+1；（2）证明见解析【解析】（1）因为(25)2-(10+1)2=20-(11+210)=9-210>0，所以(25)2>(10+1)2，因为25>0，10+1>0，所以25>10+1（2）证明：因为（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），所以，当且仅当时，等号成立，因为a+b=1，所以3(2a+2)+3(2b+2)6，当且仅当时，等号成立，所以2a+2+2b+223【点评】（1）不等式的大
20、小比较，可利用作差法或作商法，前者需要定号，后者需要和1比较大小且需注意代数式的符号（2）利用基本不等式证明不等式，注意将目标代数式配凑成与已知条件相关的新的代数式8【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）x>0时，故f(x)为增函数，f(x)>f0=0（2）由（1）知：，令时，有，故，将n式相加得：，【点评】（1）利用函数的导函数确定函数单调性证明函数不等式（2）由（1）结论，令有，应用累加求和求证不等式维权 声明江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育http：/wwwjtyhjycom）郑重发表如下声明： 一、本网站的原创内容，由本公司依照运营规划，安排专
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