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1、圆锥曲线探究性问题大题优练8优选例题例1已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆交于，两点，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在点，满足为定值【解析】（1）由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组，得，则，所以，所以，所以椭圆的方程为（2）当直线不与轴重合时，设，联立方程组，得设，则有，于是，若为定值，则有，得，此时；当直线与轴重合时，也有，综上，存在点，满足为定值模拟优练1已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的
2、中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析【解析】（1）由题意可知，所以，设点，A，B在椭圆上，因为，由-，得，即，所以，由得，椭圆C方程为（2）设直线，联立，得，假设存在点D，则MD的直线方程为，所以，若为等边三角形，则，即，方程无实数解，不存在这样的点D2设为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于，两个点（1）求证：；（2）试判断在轴上是否存在点，使得直线和直线关于轴对称若存在，求出点的坐标；若不存在，请
3、说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）由题意得，过点T的直线不与x轴平行，故设直线，设，联立，消去得，即（2）假设存在这样的点，设，由（1）知，由和关于轴对称知，又，解得，即存在这样的点3已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由，可设，则，方程化为，又点在椭圆上，则，解得，因此椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，消去得，化简得，当时，取得最大
4、值，即此时，又，则，即，令，则，因此平面内存在两点，使得；当直线的斜率不存在时，设，则，即当取得最大值此时中点的坐标为，满足方程，即4如图，抛物线的焦点为，四边形为正方形，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线于点（1）若为线段的中点，求直线的斜率；（2）若正方形的边长为，直线，的斜率分别为，则是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）如图所示，过，分别向作垂线，垂足为，设中点为，过向作垂线垂足为，则，又，在中，直线的斜率为（2）正方形边长为，抛物线方程为，设，方程为，得，由，得，即存在常数，使得成立5在平面直角坐标系中，已知点，
5、点B在直线上，点M满足，点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明的个数；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，1个【解析】（1）因为，所以，则，即M到A点的距离等于M到直线的距离，故M是以A为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为（2）由已知得，设，直线的斜率为k，则直线的斜率为，则，联立抛物线方程，消y可得，则有，同理可得，由，可得，整理得，即，则有（1）或（2），将后，（1）即为（2）所以分析（1）即可令，当或时，；当时，故极大值为，极小值为，故只有1个零点综上，有1个，是以P为直角顶点的等腰直角三角形