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1、圆锥曲线与面积有关的问题大题优练7优选例题例1已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为的周长为，所以，即又离心率，解得，椭圆的方程为（2）设，将代入，消去并整理得，则，四边形为平行四边形，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，平行四边形的面积为，故平行四边形的面积为定值为例2已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点的直线l与椭圆M交于E，H两点
2、，记与的面积分别为和，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）有条件可知，又，椭圆方程为（2）当直线l无斜率时，直线方程为，此时，；当直线l斜率存在时，设直线方程为，设，联立得，消掉y得，显然，方程有根，此时因为，所以，（时等号成立），所以的最大值为例3已知椭圆的左右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方若，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）面积的最，又，所以，解得，即，故椭圆C的标准方程为（2）由题可得直线的方程为，联立，得，则，因为
3、，则，得，当直线的斜率为0时，不符合题意；故设直线的方程为，由点P在点Q的上方，则，联立，得，则，得，则，得，又，则，不符合题意，所以，故直线的方程为模拟优练1已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）联立，得，因此的焦点为，设抛物线，则，则，故的方程为（2）联立，得或，不妨假设，则设，则，到直线的距离，因为当时，函数的值域为，所以，则，故面积的取值范围是2椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；
4、（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，又，所以，所以椭圆C的标准方程为（2）由题意可设直线l的方程为，由，显然且，令，易知S在单调递减，从而3已知椭圆的离心率为，且经过点设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的离心率，可得，即有，再结合、三者的关系可得，椭圆的方程可化为，将点代入上述椭圆方程可得，求解得，所以，椭圆的方程为（2）设直线，联立直线与椭圆的方程可得若直线与椭
5、圆相切，可得上述方程只有一个解，即有，化简可得，（*）设点的坐标为，过点作的垂线为，联立与求得，由上式可得，将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点的面积为，即面积的最大值为4设点，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形的面积的最大值【答案】（1）；（2）2【解析】（1）设P(x，y)，则，所以，当时，取到最小值0，则，则，所以椭圆C的方程为（2）将直线l的方程代入椭圆C的方程中，得，由直线l与椭圆C有且仅有一
6、个公共点可知，化简得根据点到直线距离公式，可得，当时，四边形是梯形，设直线l的倾斜角为，则，所以，化简整理，当时，；当k0时，四边形F1MNF2是矩形，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为25已知椭圆的长轴长为4，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4求证：为定值；若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为（2）点A，B的坐标分别为，设点P的坐标为(m，n)，由对
7、称性知点Q的坐标为，所以，所以又因为点P在椭圆上，所以，即，所以，同理，所以，为定值由题意，设由点，位于直线l的两侧，得，解得由，消去y并整理，得，由判别式，得当时，显然，判别式设，由根与系数的关系得，点到直线的距离因为，所以点到直线的距离因为，所以因此，四边形APBQ的面积因为，显然，当时，6已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点求证：与的面积之比为【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程，则，则，椭圆的方程（2）证明：设，则直线的斜率，直线的斜率，直线的方程，直线的斜率，直线的方程，解得，过做轴，则，则，与的面积之比为