《2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．3 函数的奇偶性与周期性.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．3 函数的奇偶性与周期性.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、23 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 1奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数 f(x)就叫做偶函数 (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于_对称；奇函数的图象关于对称_ 3具有奇偶性函数的定义域的特点 具 有 奇 偶 性 函 数 的 定 义 域 关 于_ ， 即 “ 定 义 域 关 于_”是“一个函数具有奇偶性”的_条件 4周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对 于 函 数f(x) ， 如 果 存 在 一 个_T
2、 ， 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的_值时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 5函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数 f(x)为奇函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为_； (2)若函数 f(x)为偶函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为 6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇 奇 _ ， 偶 偶 _，奇奇_，偶 偶 _ ， 奇 偶 _. 7函数的对称性 如果函数 f(x)，xD，满足xD，
3、恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴 xab2；如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有 f(ax) f(bx)，那么函数的图象有对称中心ab2，0 . 8函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同) (2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心 A(a，0)，B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba) (3)如果函数 f(x)，xD 在定义域内有一条对称轴 xa 和一个对称中心 B(b， 0)(ab)，
4、 那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T4|ba|. 自查自纠： 1(1)f(x)f(x) (2)f(x)f(x) 2y 轴 原点 3原点对称 原点对称 必要不充分 4(1)非零常数 每一个 f(xT)f(x) (2)最小 5(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6奇 偶 偶 偶 奇 下列函数中，在其定义域内是偶函数又在 (，0)上单调递增的是 ( ) Af(x)x2 Bf(x)2|x| Cf(x)log21|x| Df(x)sinx 解：f(x)x2和 f(x)2|x|是偶函数，但在(，0)上单调递减， f(x)sinx 为奇函数， f(x)log21|x|是偶函数，且在(，0)上单调递
5、增故选 C. (2017全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2) ( ) A20 B20 C12 D12 解：f(2)f(2)2(8)412.故选D. (2017天津)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 aflog215， bf(log24.1)， cf(20.8)， 则 a，b，c 的大小关系为 ( ) Aabc Bbac Ccba Dcalog24.1220.8， 结 合 函 数 的 单 调 性 有 ：f(log25)f(log24.1)f(20.8)，即 cba.故选 C. ( 2018江苏 ) 函 数 f(x) 满 足 f
6、(x 4) f(x)(xR) ， 且 在 区 间 ( 2 ， 2 上 ， f(x) cosx2，0 x2，x12，20 且 a1) 解：(1)定义域要求1x1x0，所以1x1， 所以 f(x)的定义域不关于原点对称， 所以 f(x)不具有奇偶性 (2)解法一(定义法)：当 x0 时，f(x)x2 2x1，x0，f(x)(x)22(x)1x2 2x1f(x)； 当 x0 时，f(x)x22x1，x0， f(x)(x)22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数 (3)由4x20，|x3|30
7、得2x2 且 x0. 所以 f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称 所以 f(x)4x2（x3）34x2x. 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数 (4)由9x20，x290 得 x 3. 所以 f(x)的定义域为3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0，f(3)f(3)0. 所以 f(x) f(x) 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数 (5)由1x1x0，得1x1，即 f(x)ln1x1x的定义域为(1，1)又 f(x)ln1x1xln1x1x1 ln1x1xf(x)，故 f(x)为奇函数 (6)因为函数的定义域为 R， 又因为 f(x)f(x) logax （x）
8、21loga(x x21) loga( x21x)loga( x21x) loga( x21x)( x21x) loga(x21x2)loga10. 即 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 点 拨： 判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证 f(x)是否等于 f(x)， 或验证其等价形式 f(x)f(x)0或f（x）f（x） 1(f(x)0)是否成立对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误， 通常是用图象法来判断对于含有 x 的对数式或指数式的函数常用“f(x)f(x)0”来判断 (1)
9、(2017肇庆三模)在函数 yxcosx，yexx2，ylg x22，yxsinx 中，偶函数的个数是 ( ) A3 B2 C1 D0 解：yxcosx 为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylg x22与 yxsinx 为偶函数故选 B. (2) 已 知函 数 f(x)对 一切 x， y R， 都有 f(xy)f(x)f(y)， 则 f(x)一定为 ( ) A偶函数 B奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解：显然 f(x)的定义域是 R，关于原点对称令yx，得 f(0)f(x)f(x)令 xy0，得 f(0)0.所以 f(x)f(x)0，即 f(x)f(x)所以f(x)为奇函数故
10、选 B. (3)( 2018山东枣庄二模 ) 已 知f(x) ax log2(4x1)是偶函数，则 a ( ) A1 B1 C2 D2 解法一：由已知可得 f(x)f(x)，所以axlog2(4x1)axlog2(4x1)， 所以 log24x14x12ax，所以 log24x（4x1）4x（4x1）2ax，所以 2x2ax，所以 a1. 解法二：因为 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，所以 f(1)f(1)，即 alog2(411)a log2(411)，解得 a1.故选 A. (4)(2018武昌联考)若函数f(x)k2x1k 2x在定义域上为奇函数，则实数 k_. 解：因为 f(x
11、)k2x1k 2xk 2x12xk，所以 f(x)f(x)（k2x）（2xk）（k 2x1）（1k 2x）（1k 2x）（2xk） （k21）（22x1）（1k 2x）（2xk）. 由 f(x)f(x)0 对定义域中的 x 均成立可得 k21，所以 k 1.故填 1. (5)已知函数 f(x)x2x，x0，x2x，x0. 判断函数的奇偶性 解：当 x0 时，f(x)x2x，x0， f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，f(x)x2x，x0， f(x)(x)2xx2xf(x)所以 f(x)是奇函数 另解：作图 类型二类型二 利用函数性质求解析式利用函数性质求解析式 已知函数 f(x)
12、满足 f(x) f(x2)13. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若 f(1)2，求 f(99)的值； (3)若当 x0，2时，f(x)x，试求 x4，8时函数 f(x)的解析式 解： (1)证明： 由题意知f(x)0， 则f(x2)13f（x）.用 x2 代替 x 得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 f(x)为周期函数，且 4 为 f(x)的周期 (2)若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f（1）132. (3)当 x4，6时，x40，2，则 f(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4. 当 x(6，8时，x6(0，2，则 f(x6)x6，根
13、据周期为 4，则 f(x2)f(x6)x6. 又 f(x) f(x2)13， 所以 f(x)13f（x2）13x6. 所以解析式为 f(x)x4，4x6，13x6，6x8. 点 拨： 本题存在规律性：若 f(xa) f(x)b(常数)，则2a 为 f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)f(x)或 f(xa)1f（x）或 f(xa)1f（x），均可推得 2a为 f(x)的周期(a0) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称 (1)求证：f(x)是周期为 4 的周期函数； (2)若 f(x) x(0f(a)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，1)(2，)
14、 B(1，2) C(，2)(1，) D(2，1) 解：因为 f(x)是奇函数，所以当 xf(a)，得 2a2a，解得2a0 时，f(x)log12(1x2)112x，所以f(x)在(0，)上单调递减，因为 f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上单调递增，所以 f(x)f(2x1)等价于|x|2x1|，两边平方化简为 3x24x10，解得13x1，即 x 的取值范围是13，1 .故选 C. 点 拨： 单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质单调性与奇偶性之间有着密切的联系：奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且f(x)f(x)； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且 f(
15、x)f(x)f(|x|)综合利用函数的单调性和奇偶性，可以解决很多函数问题，特别是抽象函数问题 (1)已知 f(x)lg21xa是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是( ) A(1，0) B(0，1) C(，0) D(，0)(1，) 解：因为 f(x)lg21xa是奇函数，所以 f(x)f(x)lg21xalg21xa0，解得 a1，即 f(x)lg 1x1x，由 f(x)lg1x1x0，得01x1x1，解得1x0.故选 A. (2)(2018太原检测)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，当 x0，则函数 f(x)在a，b上 ( ) A有最小值 f(a
16、) B有最大值 fab2 C有最小值 f(b) D有最大值 f(b) 解：令 yx，得 f(0)f(x)f(x)，再令 x y0 得 f(0)0，代入得 f(x)f(x)，即 f(x)是奇函数，图象关于原点对称因为当 x0，yR，xyf(y)，即 f(x)在 R 上是减函数，可得 f(x)在a，b上有最小值 f(b)，最大值 f(a) 另解：依条件取 f(x)x.故选 C. (3)(2017合肥三模)定义在 R 上的函数 yf(x)在(， a)上是增函数， 且函数 yf(xa)是偶函数，当 x1a，且|x1a|f(x2) Bf(x1)f(x2) Cf(x1)f(x2) Df(x1)f(x2)
17、解：因为函数 yf(xa)是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a0 右移)可得函数 yf(x)的图象，因此函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称，此时函数 yf(x)在(a，)上是减函数由于 x1a 且|x1a|f(x2)故选 A. 类型四类型四 函数周期性与奇偶性的应用函数周期性与奇偶性的应用 (1)(2016河南重点中学二联)已知 f(x1)是周期为 2 的奇函数，当1x0 时，f(x) 2x(x1)，则 f32的值为_ 解：f(x1)是周期为 2 的函数，则 f(x)也是周期为 2 的函数，所以 f32f12. 由 f(x1)是奇函数，得 f(x1)f(x
18、1)， 即 f(x)f(2x)， 故 f32f12f32f1212. 故填12. 点 拨： 利用奇偶性和周期性，将待求的函数值转化为已知区间上的函数值求解 (2)(2016呼伦贝尔统考)已知函数 f(x)满足 f(x2)f(x2)，yf(x2)的图象关于 y 轴对称，当 x(0，2)时，f(x)log2x2，则下列结论中正确的是 ( ) Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5) Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df(4.5)f(6.5)f(7) 解：由题知 f(x)是以 4 为周期的周期函数，其图象的对称轴为 x2.因为当 x(0， 2)时， f(x)log2
19、x2，所以 f(x)在区间(0，2)上是增函数又 f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(21)f(21)f(1)，f(6.5)f(2.5) f(20.5)f(20.5)f(1.5)，且 00.511.52，所以 f(0.5)f(1)f(1.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故选 A. 点 拨： 易知函数 f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小解这类问题建议数形结合，直观明了 (1)(2016山东)已知函数f(x)的定义域为 R.当 x12时，fx12fx12.则 f(6) ( ) A2 B1 C0 D
20、2 解：当 x12时，由 fx12fx12，可得 f(x)f(x1)，所以 f(6)f(1)，而 f(1)f(1)， f(1)(1)312，所以 f(6)f(1)2.故选 D. (2)(2018湖北名校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意实数 x 均有 f(x4)f(x)2 2，若函数 f(x2)的图象关于直线 x2 对称，则 f(2 018)_. 解：由函数 yf(x2)的图象关于直线 x2 对称可知，函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数由 f(x4)f(x)2 2，得 f(x44) f(x4)2 2f(x)， 所以f(x)是周期为8的偶函数，所以 f(2
21、018)f(22528)f(2)，再令 x2，则f(2)f(2)2 2，又因为 f(2)f(2)，所以 f(2) 2.故填 2. 1判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断 f(x)与 f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性 2奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x) f(x)f(x)f(x)0f（x）f（x） 1(f(x)0)进行判断 3判断函数奇偶性的方法通常有 (1)定义法
22、：根据定义判断 (2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数 f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 (3)运用奇、偶函数的运算结论要注意定义域应为两个函数定义域的交集 4判断周期函数的一般方法 (1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算 (2)公式法： 若函数 f(x)是周期函数， 且周期为 T，则函数 f(axb)(a0)也为周期函数，且周期 TT|a|. 5函数奇偶性和周期性
23、的应用 已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换如：若 x0，则x0；若 1x2，则 3x24 等如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上 6解题中要注意以下性质的灵活运用 (1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|) (2)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0. (3)若 f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在 x 轴上 1下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 ( ) Ay 1x2 Byx
24、1x Cy2x12x Dyxex 解：根据奇偶函数的定义可知，选项 A，C 中的函数是偶函数，选项 B 中的函数是奇函数故选 D. 2(2017北京)已知函数 f(x)3x13x， 则 f(x) ( ) A是偶函数，且在 R 上是增函数 B是奇函数，且在 R 上是增函数 C是偶函数，且在 R 上是减函数 D是奇函数，且在 R 上是减函数 解：f(x)3x13x13x3xf(x)，所以函数是奇函数，并且 3x是增函数，13x是减函数，根据增函数减函数增函数，函数是增函数故选B. 3已知函数 f(x)x21，x0，cosx， x0， 则下列结论正确的是 ( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函
25、数 Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1， ) 解：由 f(x)的图象易判断 f(x)不是偶函数，不是单调函数， 也不是周期函数， 其值域为1， )故选 D. 4已知 f(x)是 R 上的奇函数，对 xR 都有 f(x4)f(x)f(2)成立，若 f(1)2，则 f(2 019) ( ) A2 B1 C2 D2 019 解：由 f(x4)f(x)f(2)，取 x2，得 f(24)f(2)f(2)，即 f(2)0，所以 f(2) f(2)0，则 f(x4)f(x)f(2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(2 019)f(4 5051)f(1)2.故选 A. 5(
26、2017池州模拟)已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件： 对任意的 x1，x24，8，当 x10； f(x4)f(x)； yf(x4)是偶函数 若 af(6)，bf(11)，cf(2 020)，则 a，b，c的大小关系正确的是 ( ) Aabc Bbac Cacb Dcba 解：根据题意，若对任意的 x1，x24，8，当 x10，则函数 f(x)在区间4，8上为增函数；若 f(x4)f(x)，则 f(x8)f(x4)f(x)，即函数 f(x)的周期为 8； 若 yf(x4)是偶函数，则函数 f(x)的图象关于直线 x4 对称af(6)，bf(11)f(3)f(5)，c f(2 020)f
27、(25284)f(4)， 又由函数f(x)在区间4，8上为增函数，则有 cba.故选 D. 6已知 g(x)是 R 上的奇函数，当 xf(x)，则实数 x 的取值范围是 ( ) A(，1)(2，) B(，2)(1，) C(1，2) D(2，1) 解：设 x0，则xf(x)，得 2x2x，解得2xf( 2)，则 a 的取值范围是_ 解：由题意，f(x)f(x)且 f(x)在(0，)上单调递减由 f(2|a1|)f( 2)，f( 2)f( 2)可得 2|a1| 2，即|a1|12，所以12a0 时， f(x)2xf(x)； 当 x0 时，f(x)2xf(x)所以对定义域内的任意 x 都有f(x)f
28、(x)，故 f(x)为奇函数根据指数函数的性质知，f(x)在(，0)上单调递增且值域为(， 1)，f(x)在(0，)上单调递增且值域为(1，)，故函数 f(x)在定义域上单调递增故选 B. 4已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)1f（x），且当 x0，2)时，f(x)log2(x1)， 则 f(2 017)f(2 019)的值为( ) A0 B4 C2 D2 解：当 x0 时，f(x2)1f（x），所以 f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期所以f(2 017)f(2 017)f(1)log221， f(2 019)f(3)1f（1）1，所以
29、 f(2 017)f(2 019)0.故选 A. 5(2018广东韶关模拟)定义在 R 上的偶函数f(x)满足：对任意的 x1，x2(，0(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10 ， 且f(2) 0 ， 则 不 等 式2f（x）f（x）5x0 的解集是 ( ) A(，2)(2，) B(，2)(0，2) C(2，0)(2，) D(2，0)(0，2) 解：因为f（x2）f（x1）x2x10 ， 当 x ( 2 ， 2) 时 ， f(x)0 ， 则2f（x）f（x）5x3f（x）5x0，即 x 与 f(x)异号，解得(，2)(0，2)故选 B. 6设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR，都
30、有 f(x)f(2x)，且当 x(0，1时，f(x)xex.若 af2 0183，bf2 0195，cf2 0207，则 ( ) Abca Babc Ccab Dbac 解：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x) f(x)f(2x)，即 f(x)是以 2 为周期的周期函数 因为对任意 xR， 都有 f(x)f(2x)， 所以函数f(x)的图象关于直线 x1 对称当 x(0，1时， f(x)1xex0， 即函数 f(x)在(0， 1上单调递增又af2 0183f67223f23，bf2 0195f40415f15，cf2 0207f28847f47，且154723，所以 b0 时， f(x)
31、 x1，则当 x0 时， f(x) x1，所以当 x0，f(x) x1f(x)，即当 x0 时，f(x)( x1) x1.故填 x1. 8(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)在1，)上单调递减，且 f(x1)是偶函数，不等式 f(m2)f(x1)对任意的x1，0恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解：f(x1)是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，所以 f(x)的图象关于直线 x1 对称，由 f(m2)f(x1)得|(m2)1|(x1)1|，所以|m1|2，解得3m1.故填3，1 9已知定义在 R 的函数 f(x)exex，其中 e是自然对数的底数 (1)判断
32、 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若关于x的不等式f(m2)f(cos2x4sinx)0在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)xR，f(x)exexf(x)，所以f(x)为 R 上的奇函数 (2)由题意知 f(x)exex是 R 上的增函数， f(m2)f(cos2x4sinx)f(cos2x4sinx)， 则 m2cos2x4sinxsin2x4sinx1 (sinx2)23， 因为 sinx1，1，则当 sinx1 时，g(x) sin2x4sinx1 取最小值2，所以 m2. 即实数 m 的取值范围是(，2) 10函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意
33、x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解：(1)因为对于任意 x1，x2D， 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令 x1x21，得 f(1)2f(1)，所以 f(1)0. (2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)， 所以 f(1)12f(1)0. 令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)， 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数 (3)依题意有 f(44)f(4)f(4)2， 由
34、(2)知，f(x)是偶函数，所以 f(x1)2f(|x1|)f(16) 又 f(x)在(0，)上是增函数 所以 0|x1|16，解得15x17 且 x1. 所以 x 的取值范围是x|15x17 且 x1 定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期若将方程 f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为 n，则 n 可能为 ( ) A0 B1 C3 D5 解：因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)0.又因为 T 是函数 f(x)的一个正周期，所以 f(T) f(T)f(0)0，又 fT2fTT2fT2，且 fT2fT2， 所以fT20， 于是可得fT2fT20，所以方程 f(x)0 在闭区间T，T上的根的个数可能为 5.故选 D.