2022届高三数学一轮复习(原卷版)第05讲 函数的奇偶性与周期性(练)解析版.docx

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1、第05讲 函数的奇偶性与周期性【练基础】1(2020·浙江舟山模拟)下列函数既是奇函数,又在(0,)上单调递增的是()Ayx2 Byx3Cylog2x Dy3x【答案】B【解析】A.函数yx2为偶函数,不满足条件B函数yx3为奇函数,在(0,)上单调递增,满足条件Cylog2x的定义域为(0,),为非奇非偶函数,不满足条件D函数y3x为非奇非偶函数,不满足条件2(2021·河北石家庄模拟)函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示,则函数yf(x)·g(x)的图象可能为()【答案】A【解析】因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以yf(x)·g(x)为

2、奇函数,排除B;由两函数的图象可知当x时,yf(x)·g(x)<0;当x时,yf(x)·g(x)>0,所以只有选项A符合题意,故选A.3(2021·安徽省太湖中学模拟)若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数,则一定有()Ab0 Bac0Ca0且c0 Da0,c0且b0【答案】C【解析】设函数g(x)exex.g(x)exexg(x),所以g(x)是奇函数因为f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数所以h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立,有ax2c0恒成立所以ac0.当acb0时,f(x)0,也是偶函数,故选C.4(2021&

3、#183;福建省福州市三中模拟)已知函数yf(x)x是偶函数,且f(2)1,则f(2)()A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】yf(x)x是偶函数,f(x)(x)f(x)x,f(x)f(x)2x,令x2,则f(2)f(2)45,故选D.5(2021·江西省宜春中学模拟)若函数f(x)ln(ax)是奇函数,则a的值为()A1 B1C±1 D0【答案】C【解析】因为f(x)ln(ax)是奇函数,所以f(x)f(x)0.即ln(ax)ln(ax)0恒成立,所以ln(1a2)x210,即(1a2)x20恒成立,所以1a20,即a±1.6(2021·四川成都模

4、拟)若函数f(x)1的图象关于原点对称,则实数a等于()A2 B1 C1 D2【答案】A【解析】由已知得,函数f(x)为奇函数,所以f(1)f(1)0,即110,1a12a0,解得a2.7(2021·杭州四中模拟)设奇函数f(x)在(0,)上为单调递减函数,且f(2)0,则不等式0的解集为()A(,2(0,2 B2,0)2,)C(,22,) D2,0)(0,2【答案】D【解析】因为函数f(x)在(0,)上为单调递减函数,且f(2)0,所以函数f(x)在(0,2)上的函数值为正,在(2,)上的函数值为负,当x>0时,不等式0等价于3f(x)2f(x)0,又f(x)是奇函数,所以有

5、f(x)0,所以有0<x2,同理当x<0时,可解得2x<0.综上,不等式0的解集为2,0)(0,2,故选D.8(2021·沈阳市高三质检)已知函数f(x),实数a,b满足不等式f(2ab)f(43b)0,则下列不等关系恒成立的是()Aba2 Ba2b2Cba2 Da2b2【答案】C【解析】由题意知f(x)f(x),所以函数f(x)为奇函数,又f(x)1,所以f(x)在R上为减函数,由f(2ab)f(43b)0,得f(2ab)f(43b)f(3b4),故2ab3b4,即ba2.故选C.【练提升】1(2021·河北模拟)已知函数f(x)是定义在区间a,a(a0

6、)上的奇函数,若g(x)f(x)2019,则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B1 C2019 D4038【答案】D【解析】因为函数f(x)是定义在区间a,a上的奇函数,所以f(x)maxf(x)min0,所以g(x)maxg(x)minf(x)max2019f(x)min2019f(x)maxf(x)min40384038.2(2021·山东省聊城市三中模拟)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x23x2.若当x1,3时,nf(x)m恒成立,则mn的最小值为()A. B2C. D.【答案】A【解析】设x0,则x0,所以f(x)f(x)(x)23(x)2x23x2.所以在

7、1,3上,当x时,f(x)max;当x3时,f(x)min2.所以m且n2.故mn.3(2021·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)x1,则不等式xf(x)>0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)【答案】C【解析】若x2,0,则x0,2,当x0,2时,f(x)x1,f(x)x1,f(x)是偶函数,f(x)x1f(x),即当x2,0时,f(x)x1,即在一个周期2,2内,f(x)若x2,4,则x42,0,即f(x)f(x4)(x4)1x3,x2,4,作出函数f(x)在2,4上的图象如图:则

8、当x1,3时,不等式xf(x)>0等价为或即1<x<3或1<x<0,所以不等式xf(x)>0在1,3上的解集为(1,0)(1,3)4(2021·浙江宁波效实中学模拟)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)f(2ax),则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)【答案】D【解析】由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于xa(a0)对称,则f(x)为准偶函数,A,C中两函数的图象无对称轴,B中函数图象的对称轴只有x0,而D中f

9、(x)cos(x1)的图象关于xk1(kZ)对称5(2021·湖北省葛洲坝中学模拟)若函数f(x)x为偶函数,则a_.【答案】1或1【解析】令u(x)1,根据函数f(x)x为偶函数,可知u(x)1为奇函数,利用u(0)10,可得a21,所以a1或a1.6(2021·石家庄二中高三质检)已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数,又是减函数(1)求证:对任意x1,x21,1,有f(x1)f(x2)·(x1x2)0;(2)若f(1a)f(1a2)0,求实数a的取值范围【解析】(1)证明:若x1x20,显然不等式成立若x1x20,则1x1x21,因为f(x)在1,1上

10、是减函数且为奇函数,所以f(x1)f(x2)f(x2),所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20,则1x1x21,同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证,对任意x1,x21,1,有f(x1)f(x2)·(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1),所以由f(x)在定义域1,1上是减函数,得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1)7(2021·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且在2,0上是增函数,下面是关于f

11、(x)的判断:f(x)的图象关于点P(1,0)对称;f(0)是函数f(x)的最大值;f(x)在2,3上是减函数;f(x0)f(4kx0),kZ.其中正确的是_(正确的序号都填上)【答案】【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)f(x),又f(x2)f(x),所以f(x2)f(x),所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称,所以正确;由f(x2)f(x)知,f(x4)f(x2)f(x),所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(x0)f(4kx0)(kZ),所以正确;因为f(x)是以4为周期的函数,且在2,0上是增函数,所以f(x)在2,4上也是增函数,因此不正确;因为f(x)是定义

12、在R上的偶函数,所以f(x)在0,2上是减函数,所以f(x)在2,2上的最大值是f(0),又f(x)是以4为周期的函数,所以正确所以正确的判断是.8(2021·山东济南高三模拟)设常数aR,函数f(x)(ax)|x|.(1)若a1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2m>ff(x)对所有的x2,2恒成立,求实数m的取值范围【解析】(1)当a1时,f(x)(1x)|x|,当x0时,f(x)(1x)x,所以f(x)在内是增函数,在内是减函数;当x<0时,f(x)(x1)x,所以f(x)在(,0)内是减函数;综上可知,f(x)的单调增区间为,单调减区间为(,0),.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(1)f(1),即(a1)·1(a1)·1,解得a0.所以f(x)x|x|,ff(x)x3|x|;所以mx2m>ff(x)x3|x|,即m>对所有的x2,2恒成立因为x2,2,所以x211,5所以x212.所以m>.所以实数m的取值范围为.

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