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1、44 三角函数图象的变换及三角函数模型的应用三角函数图象的变换及三角函数模型的应用 1用五点法画 yAsin(x)在一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示 x x yAsin(x) 0 A 0 A 0 2.图象变换(0) 路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式 yAsin(x)，x0，)，其中 A0，0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是 T_，这是
2、做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式 f1T_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x 称为相位；x_时的相位 称为初相 4如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助_来描述 5三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行_而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 6y|sinx|是以_为周期的波浪形曲线 7太阳高度角 、楼高 h0与此时楼房在地面的投影长 h 之
3、间有如下关系：_. 自查自纠： 1. x 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 2.| | 1 A 1 A 3.2 2 0 4三角函数 5.周期 函数拟合 6. 7.h0htan (2016四川)为了得到函数 ysinx3的图象， 只需把函数 ysinx 的图象上所有的点 ( ) A向左平行移动3个单位长度 B向右平行移动3个单位长度 C向上平行移动3个单位长度 D向下平行移动3个单位长度 解：把函数 ysinx 的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度就得到函数 ysinx3的图象故选 A. (2016全国卷)将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周
4、期后，所得图象对应的函数为 ( ) Ay2sin2x4 By2sin2x3 Cy2sin2x4 Dy2sin2x3 解：函数 y2sin2x6的周期为 ，将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y2sin2x462sin2x3.故选D. 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ( ) A5 B6 C8 D10 解：由图知3k2，k5，y3sin6x 5，ymax358.故选 C. (南京市、盐城市2017届高三一模)将函数 y3sin2x3 的图象向右平移 02个单位后
5、，所得函数为偶函数，则 _. 解：因为 y3sin2x3的图象向右平移(02) 个 单 位 后 ， 所 得 函 数 为y 3sin2（x）3，即 y3sin2x32 是偶函数，则 2032k2，k212，kZ，又因为 00)的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，若yg(x)在0，4上为增函数，则 的最大值为_ 解：函数 f(x)cosx22sinx22 3cosx23 sinx2 31cosx2 3 sinx 3cosx2sinx3， f(x)的图象向左平移3个单位， 得 y2sinx33的图象， 所以函数 yg(x)2sinx. 又 yg(x)在0，4上为增函数，所以T44，即
6、244，解得 2，所以 的最大值为 2.故填 2. 类型一类型一 五点法作图与求解析式五点法作图与求解析式 (1)作出函数 y2sinx23的图象 解：周期 T2124，振幅 A2. 按五个关键点列表： x23 0 2 32 2 x 23 3 43 73 103 y 0 2 0 2 0 描点作图： 点 拨： 用“五点法”作 yAsin(x)的简图， 主要是通过变量代换，设 Xx，由 X0，2，32，2 来求出相应的 x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象 (2)(2016 全国卷)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示，则 ( ) Ay2sin2x6 By2sin2x3 Cy2s
7、inx6 Dy2sinx3 解： 由图可知， T236， 所以 2，由五点作图法结合各选项可知 232，所以 6，所以函数的解析式为 y2sin2x6.故选A. 点 拨： 已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：升降零点法，由 2T，即可求出 ；求 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0， 则令 x00(或 x0)，即可求出 ；代入最值法， 将最值点(最高点、 最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 . (1)(2018浙江温州统考)已知函数 f(x)12sinx32cosx(0)的最小正周期为 . ()求 的值， 并在
8、上面提供的直角坐标系中画出函数 yf(x)在区间0，上的图象； ()函数 yf(x)的图象可由函数 ysinx 的图象经过怎样的变换得到？ 解：()函数可化为 f(x)sinx3， 因为 T，所以2，即 2， 所以 f(x)sin2x3. 列表如下： x 0 12 3 712 56 y 32 1 0 1 0 32 画出图象如图所示： ()将函数 ysinx(xR)图象上的所有点向左平移3个单位长度，得到函数 ysinx3(xR)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 可得函数 f(x)sin2x3(xR)的图象 (2)(2016 安徽安庆二模)已知函数 f(x)
9、Asin(x)(A0，0，|2)的图象如图所示，则 f(x)的递增区间为 ( ) A.12k2，512k2，kZ B.12k，512k ，kZ C.62k，562k ，kZ D.6k，56k ，kZ 解法一：由图象可知 A2，34T1112634， 所以 T，故 2. 由 f1112 2，得 2k3(kZ) 因为|1.25 时才可对冲浪者开放， 所以12cos6t11.25，cos6t12. 所以 2k36t2k3，kZ， 即 12k2t12k2，kZ. 因为 0t24，故可令中 k 分别为 0，1，2， 得 0t2 或 10t14 或 220，00)个单位长度后，所得到的图象关于直线 x51
10、2对称，则 m的最小值为 ( ) A.76 B.6 C.8 D.724 解：由图可知，函数的最小正周期是 ，所以 2， 则函数 ysin(2x)由 sin26 0 及 00)个单位长度后，ysin4（xm）3.因为该函数图象关于直线 x512对称，所以 4512m 32k，解得 m38k4，kZ，因为 m0，所以当 k1 时，m 有最小值为8.故选 C. 5如图为一半径是 3 m 的水轮， 水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮自点 Q 开始 1 min 旋转 4 圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系 yAsin(x)2(A0)，则有 ( ) A215，A3 B152
11、，A3 C215，A5 D152，A5 解：因为水轮上最高点距离水面 r25 m，即A25，所以 A3.又因为水轮每秒钟旋转860 215 rad，所以角速度 215.故选 A . 6. (2016北京)将函数 ysin2x3图象上的点 P4，t 向左平移 s(s0)个单位长度得到点 P.若P位于函数 ysin2x 的图象上，则 ( ) At12，s 的最小值为6 Bt32，s 的最小值为6 Ct12，s 的最小值为3 Dt32，s 的最小值为3 解： 因为点 P4，t 在函数 ysin2x3的图象上， 所以 tsin243sin612.又 P4s，12在函数 ysin2x 的图象上，所以12
12、sin24s ，则24s 2k6或 24s 2k56，kZ，得 sk6或 sk6，kZ，又 s0，故 s 的最小值为6.故选 A. 7(2016全国卷)函数 ysinx 3cosx 的图象可由函数 ysinx 3cosx 的图象至少向右平移_个单位长度得到 解： 因为 ysinx 3cosx2sinx3， ysinx 3cosx2sinx32sinx323， 所以函数ysinx 3cosx 的图象可由函数 ysinx 3cosx的图象至少向右平移23个单位长度得到故填23. 8把函数 ysin2x 的图象沿 x 轴向左平移6个单位， 纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 yf(x
13、)的图象，对于函数 yf(x)有以下四个判断： 该函数的解析式为 y2sin2x6； 该函数图象关于点3，0 对称； 该函数在0，6上是增函数； 若函数 yf(x)a 在0，2上的最小值为 3，则 a2 3. 其中正确判断的序号是_ 解：将函数 ysin2x 的图象向左平移6得到 ysin2x6sin2x3的图象，然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y2sin2x3的图象，不正确；yf32sin2332sin0， 函数图象关于点3，0 对称，正确；由22k2x322k，kZ，得512kx12k，kZ，即函数的单调增区间为512k，12k，kZ，当 k0 时，增区间为512，12，不正确；yf(
14、x)a2sin2x3a，当 0 x2时，32x343，当2x343，即 x2时，函数取得最小值，有 ymin2sin43a 3a 3，得 a2 3，正确故填. 9如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b. (1)求这一天 614 时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式 解：(1)由图可知：这段时间的最大温差为 301020(C) (2)从图可以看出：从 614 时的图象是 yAsin(x)b 的半个周期的图象， 所以T21468，所以 T16. 因为 T2，所以 8. 又因为 A3010210，b3010220， 所以 y10sin8x 20， 将点(
15、6，10)代入得 sin34 1， 所以342k32，kZ， 所以 2k34，kZ，取 34， 所以 y10sin8x3420，6x14. 10(2017山东青岛一模)已知函数 f(x)sin2x3cos2x62sinxcosx. (1)求函数 f(x) 图象的对称轴方程； (2)将函数 yf(x) 的图象向右平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x) 的图象，求 yg(x) 在3，2 上的值域 解：(1)f(x)sin2x3cos2x62sinxcosx 12sin2x32cos2x32cos2x12sin2xsin2x 3cos2xsi
16、n2x2sin2x3， 令 2x3k2，得 x12k2，kZ， 所以函数 f(x) 图象的对称轴方程为x12k2，kZ. (2)将函数 yf(x) 的图象向右平移12个单位，可 得 函 数 解 析 式 为 y 2sin2x1232sin2x6， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数解析式为 yg(x)2sinx26， 因为 x3，2 ， 所以x263，76， 可得 sinx2612，1 ， 所以 g(x)2sinx261，2 所以 yg(x)在3，2 上的值域为1，2 11(2017福建福州模拟)已知函数 f(x) 3sin2xcos4xsin4x1(其中 01
17、)，若点6，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心 (1)求 f(x)的解析式， 并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间，上的图象 解：(1)f(x)3sin2x(cos2xsin2x) (cos2xsin2x)1 3sin2xcos2x1 2sin2x61. 因为点6，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心， 所以36k，kZ，所以 3k12， kZ. 因为 01，所以 k0，12， 所以 f(x)2sinx61. 由 x6k2，kZ，得 xk3，kZ. 令 k0，得距 y 轴最近的一条对称轴方程为 x3. (2)由(1)知， f(x)2sinx61
18、， 当 x， 时，列表如下： x6 56 2 0 2 76 x 23 6 3 56 f(x) 0 1 1 3 1 0 则函数 f(x)在区间，上的图象如图所示 (2016厦门模拟)已知向量 a(2cosx，3sinx)，b(cosx，2cosx)，函数 f(x)a bm，mR，且当 x0，2 时，f(x)的最小值为 2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)先将函数 yf(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移12个单位，得到函数 yg(x)的图象，求方程 g(x)4在区间0，2 上的所有根之和 解：(1)f(x)2cos2x2 3sinxcosxm
19、cos2x 3sin2xm1 2sin2x6m1. 因为 x0，2，所以 2x66，76，当 2x676，即 x2时，f(x)min212m12，解得 m2，所以 f(x)2sin2x63，令 2k22x62k2得 f(x)的增区间为k3，k6 (kZ) (2)将函数 yf(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到 f(x)2sin4x63，再把所得的图象向右平移12个单位，得到函数 yg(x)的图象， 所以 g(x)2sin4x12632sin4x63， 又 g(x)4， 得 sin4x612， 解得 4x62k6或 4x62k56，kZ. 即 x k212或 x k24(kZ) ， 因 为x0，2， 所以 x12或4， 故所有根之和为1243.