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1、小题必练9：立体几何1掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题2能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图3能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系4能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系5能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题1【2020年新高考全国卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为)，地球上一点的纬度是指与
2、地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）ABCD【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线，是晷面的截线，依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质2【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，
3、n“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交；当两两相交时，设，根据公理可知，确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面，综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用一、选择题1设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则若，则若，则若，则其中正确命题的序号是（ ）A和B和C和D和【答案】A【解析】对于，因为，所以经过作平面
4、，使，可得，又因为，所以，结合得由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合，可得，故是真命题；对于，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有且成立，但不能推出，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确，综上所述，其中正确命题的序号是和2在正方体中，如图，、分别是正方形、的中心则过点、的截面是（ ）A正三角形B正方形C梯形D直角三角形【答案】A【解析】如下图所示，连接、，由于、分别为正方形、的中心，则、分别为、的中点，所以，过点、三点的截面为，易知为正三角形因此，过点、三点的截面为正三角形3某三棱锥的三
5、视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图还原几体何体如图，三棱锥是从长为，宽为，高为的长方体中截得，所以4如图，正三角形为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示，取中点，中点，连接，则，所以就是直线与所成角，设，则，可得，则，因为为弧的中点，可得，进而可得平面，因为平面，所以，在直角中，可得，即直线与所成角的余弦值为5已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则或【答案】A【解析】对于A：若，则或，故A错误，BC
6、D正确6如图所示，正方体中，分别为棱，的中点，则在平面内与平面平行的直线（ ）A不存在B有条C有条D有无数条【答案】D【解析】平面与平面有公共点，由公理知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行7如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）AB截面CD异面直线与所成的角为【答案】C【解析】因为截面是正方形，所以、，则平面、平面，所以，由可得，故A正确；由可得截面，故B正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故D正确8已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为的等边三角形，若球的体积为，则直线与平
7、面所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设的中心为，为的中点，过作，则为的中点，是直线与平面所成角是边长为的等边三角形，9如图，正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ）A平面B平面C二面角等于D异面直线与所成的角等于【答案】C【解析】对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形，故，平面，平面，平面，故正确；对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，易证平面，则平面，故正确；对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误；对于D，为异面直线与所成的角，为等边三角形，故正确10在平面五边形中，且将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后
8、所得几何体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点，即几何体外接球的球心取的中点，连接，由条件得，连接，因为，从而连接，则为所得几何体外接球的半径又，则，故所得几何体外接球的表面积等于11如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法错误的是（ ）A在棱上存在点使平面B异面直线与所成的角为C二面角的大小为D平面【答案】D【解析】解：如图，对于，取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故A正确；对于B，平面，即异面直线与所成的角为
9、，故B正确；对于C，平面平面，平面，是二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为，故C正确；对于D，假设平面，则，又依题意平面平面，则平面，故，而，相交，且在平面内，故平面，与平面矛盾，因此与平面不垂直，故D错误12在棱长为的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由正方体的性质可知，是正四面体，且正四面体的棱长为，在内，的最大值为，的最小值是到平面的距离，设在平面的射影为，则为正三角形的中心，的最小值为，又因为不在三角形的边上，所以的范围是二、填空题13已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的
10、底面半径（单位：cm）是_【答案】【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，14一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】【解析】根据几何体的三视图得该几何体的体积为长宽高分别为，的长方体体积的一半，即体积为15如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，分别为，的中点，则平面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为 【答案】【解析】设四棱锥的体积为，连接，则下面部分几何体的体积为，其中，所以，则上面部分几何体的体积为，故平面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为16已知三棱锥中，满足，则当三棱锥体积最大时，直线与夹角的余弦值是 【答案】【解析】如图所示，因为的面积为定值，所以当平面平面时，三棱锥体积最大，过作，过作，所以为与所成角或补角过点作交于，则平面，所以平面，即，因为，所以为直角三角形，所以，因为，所以为直角三角形，所以，则，所以，因此直线与夹角的余弦值是