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1、 第07讲 指数与指数函数【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析【课标解读】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征. 【备考策略】1.有理指数幂的运算；2.指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；3.图象过定点；4.底数分类讨论问题.【核心知识】知识点一 根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*
2、，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0，1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x&
3、lt;0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数yax(a>0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a>0且a1)的图象越高，底数越大.【高频考点】高频考点一指数幂的运算例1.(2021·山东省青岛市模拟)化简a·b2·÷(a，b>0) 【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数
4、是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式探究】(2021·河南省登封模拟)若实数a>0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D(a)4高频考点二 指数函数的图像及其应用例2.(2021·湖北省武汉市二中模拟)函数y(a>1)的图象大致是()【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到
5、特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断【变式探究】(2021·广州市番禺中学模拟)若直线y2a与函数y|ax1|(a>0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_高频考点三 比较指数式的大小例3【2020·天津卷】设，则的大小关系为（ ）A B C D【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一
6、般引入“1”等中间量比较大小；【变式探究】(2021·河北模拟)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Ba<c<bCb<a<c Db<c<a高频考点四 解简单的指数方程或不等式例4.(2020·全国卷)若2x2y3x3y，则()Aln(yx1)0Bln(yx1)0Cln|xy|0Dln|xy|0【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式探究】(2021·山西省阳泉市模拟)设函
7、数f(x)若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3，1) D(，3)(1，)高频考点五 指数函数性质的综合应用例5.（2020·江西九江一中调研）已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。【变式探究】(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 ，空气的温度是0 ，经过t分钟后物体的温度 可由公式0(10)ekt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数现有80 的物体，放在20 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ，则k约等于(参考数据：ln 31.099)()A0.6 B0.5 C0.4 D0.3