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1、1 圆的方程 建议用时：45 分钟 一、选择题 1已知方程 x2y2kx2yk20 所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( ) A(1，1) B(1，0) C(1，1) D(0，1) D 由 x2y2kx2yk20 知所表示圆的半径 r12k244k2123k24， 要使圆的面积最大，须使半径最大， 所以当 k0 时，rmax1241， 此时圆的方程为 x2y22y0， 即 x2(y1)21，所以圆心为(0，1) 2以(a，1)为圆心，且与两条直线 2xy40，2xy60 同时相切的圆的标准方程为( ) A(x1)2(y1)25 B(x1)2(y1)25 C(x1)2y2
2、5 Dx2(y1)25 A 由题意得，点(a，1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径 r. |2a14|22（1）2|2a16|22（1）2，解得 a1. r|2114|22（1）2 5， 所求圆的标准方程为(x1)2(y1)25. 3设 P(x，y)是曲线 x2(y4)24 上任意一点，则 （x1）2（y1）2的最大值为( ) A. 262 B. 26 2 C5 D6 A （x1）2（y1）2的几何意义为点 P(x，y)与点 A(1，1)之间的距离易知点 A(1，1)在圆 x2(y4)24 的外部，由数形结合可知（x1）2（y1）2的最大值为（10）2（14）22 262.故选A. 4动点
3、A 在圆 x2y21 上移动时，它与定点 B(3，0)连线的中点的轨迹方程是( ) A(x3)2y24 B(x3)2y24 C(2x3)24y21 D.x322y212 C 设中点 M(x，y)，则动点 A(2x3，2y)点 A 在圆 x2y21 上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故选 C. 5过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|( ) A2 6 B8 C4 6 D10 C 设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则D3EF100，4D2EF200，D7EF500. 解得D2，E4，F20. 圆的方程为 x2y22x4y2
4、00. 令 x0，得 y22 6或 y22 6， M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)， |MN|4 6，故选 C. 二、填空题 6设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ|的最小值为_ 3 4 如图所示，圆心 M(3，1)与直线 x3 的最短距离为|MQ|3(3)6， 又圆的半径为 2，故所求最短距离为 624. 7圆(x1)2(y2)21 关于直线 yx 对称的圆的方程为_ (x2)2(y1)21 设对称圆的方程为(xa)2(yb)21，圆心(1，2)关于直线 yx 的对称点为(2，1)，故对称圆的方程为
5、(x2)2(y1)21. 8圆 C 的圆心在 x 轴上，并且经过点 A(1，1)，B(1，3)，若 M(m， 6)在圆 C 内，则 m 的范围为_ (0，4) 设圆心为 C(a，0)，由|CA|CB|得(a1)212(a1)232.所以 a2. 半径 r|CA|（21）212 10. 故圆 C 的方程为(x2)2y210. 由题意知(m2)2( 6)210，解得 0m4. 三、解答题 9已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求y3x2的最大值和最小值 解 (1)由圆 C：x2y24x14y450， 可得(
6、x2)2(y7)28， 圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 2. 又|QC| （22）2（73）24 2， |MQ|max4 22 26 2， |MQ|min4 22 22 2. (2)可知y3x2表示直线 MQ 的斜率 k. 4 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2， 可得 2 3k2 3， y3x2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 10.如图， 等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2 6，高为 3. (1)求这个等腰梯形的外接圆 E 的方程； (2)若线段 MN 的端点 N 的坐标
7、为(5，2)，端点 M 在圆 E 上运动，求线段 MN的中点 P 的轨迹方程 解 (1)由已知可知 A(3，0)，B(3，0)，C( 6，3)，D( 6，3)， 设圆心 E(0，b)，由|EB|EC|可知 (03)2(b0)2(0 6)2(b3)2，解得 b1. 所以 r2(03)2(10)210. 所以圆的方程为 x2(y1)210. (2)设 P(x，y)，由点 P 是 MN 中点，得 M(2x5，2y2) 将 M 点代入圆的方程得(2x5)2(2y3)210， 即x522y32252. 1(2018 全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P在圆(x2)2y
8、22 上，则ABP 面积的取值范围是( ) A2，6 B4，8 C 2，3 2 D2 2，3 2 A 圆心(2，0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2，0)，B(0，2)， 所以|AB|2 2， 所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2， 3 2，所以 S2，6，即ABP 面积的取值范围是2，6 5 2若直线 ax2by20(a0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长，则1a2b的最小值为( ) A1 B5 C4 2 D32 2 D 由题意知圆心 C(2，1)在直线 a
9、x2by20 上， 2a2b20，整理得 ab1， 1a2b1a2b(ab)3ba2ab 32ba2ab32 2， 当且仅当ba2ab，即 b2 2，a 21 时，等号成立 1a2b的最小值为 32 2. 3 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2， 圆心 C 到直线 l： x2y0 的距离为55，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的方程为_ (x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22 设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2， 则点 C 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题意可知r22b2，r2a21，|a2b|555，a1，b1，r22或a1
10、，b1，r22. 故所求圆 C 的方程为(x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22. 4已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解 (1)由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2) 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)，则由点 P 在 CD 上得 6 ab30. 又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 10， 所以(a1)2b240. 由解得a3，b6 或a5，b2. 所以圆心
11、P(3，6)或 P(5，2) 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 1(2019 厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)，B(2，0)，则PA PB的最大值为_ 12 由题意，知PA(2x，y)，PB(2x，y)，所以PA PBx2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)21，所以PA PB(y3)21y246y12.易知 2y4，所以，当 y4 时，PA PB的值最大，最大值为 641212. 2.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 ：yx2mx2m(mR)与
12、x 轴交于不同的两点 A，B，曲线 与 y 轴交于点 C. (1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在， 求出该圆的方程； 若不存在，请说明理由 (2)求证：过 A，B，C 三点的圆过定点 解 由曲线 ： yx2mx2m(mR)， 令 y0， 得 x2mx2m0.设 A(x1，0)，B(x2，0)，可得 m28m0，则 m0 或 m8，x1x2m，x1x22m.令x0，得 y2m，即 C(0，2m) (1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C，则AC BC0，得 x1x24m20，即 2m4m20，所以 m0(舍去)或 m12. 此时 C(0，1)，AB 的中点 M14，0 即圆心， 半径 r|CM|174， 7 故所求圆的方程为x142y21716. (2)证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x2y2mxEy2m0， 将点 C(0，2m)代入可得 E12m， 所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2y2mx(12m)y2m0. 整理得 x2y2ym(x2y2)0. 令x2y2y0，x2y20，可得x0，y1或x25，y45， 故过 A，B，C 三点的圆过定点(0，1)和25，45.