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1、微 分 方 程第一节 微分方程的基本概念1.填空题(1) 微分方程的阶是 (2) 若是微分方程的一个特解，则 ， 0 2写出下列问题所确定的微分方程(1)已知曲线过点，其上任意一点处的切线的斜率为 ，求满足的微分方程.(2000题531)（2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程. (2000题531)(3)设函数在上连续，若由曲线，直线，（）与周所围平面图形绕轴旋转一周所称的旋转体的体积为求所满足的微分方程. （北大习题586）第二节 可分离变量方程1. 填空题(1) 微分方程满足初始条件的特解是 (2) 微分方程 的通解为
2、(3) 微分方程的通解是 2. 求解下列可分离变量的微分方程(1) 解 分离变量得 两边积分得 故原方程的通解为 (2) 解 两边除以 ，并分离变量得两边分别积分得方程的通解为 (3) 分离变量得两边分别积分得微分方程的通解为(4)分离变量可得 两边积分求得的通解为 ，即有. 第三节 齐 次 方 程1.填空题 (1) 微分方程的通解是 (2)已知函数满足微分方程,且在时,则时， 2.求解下列微分方程(1) 解 令 ，则有 两边积分得 原方程的通解为 (2) 解 方程可化为 令 ，则有 分离变量解之得 原方程的通解为 (3)解 另，则有分离变量两端积分得 原方程的通解为(4) 解 另 ，则方程化
3、为分离变量两端积分得 故原方程的通解为 第四节 一阶线性方程1. 选择题(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ）A B. C D.(2)*下列为伯努利方程的是( B)A B. C. D.2. 填空题(1) 满足的特解为(2)设，则 3.求解下列微分方程(1) 解 方程改写为 由一阶线性微分方程通解公式，得 即方程的通解为(2)解 原方程可改写为 由一阶线性微分方程通解公式， 因此，方程的通解为 (3)解 上方程变形为 由一阶线性微分方程通解公式，得 因此方程的通解为4.求解下列微分方程(1)*解 此方程为时的伯努立方程，两边除以 可得到 令 上方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式得到，因此，
4、原方程的通解为。(2)*解 两边同乘以,，并令 可得 两边同除以,并令得到 由一阶线性方程的通解公式，解得从而原方程的通解为 第五节 可降阶的高阶微分方程1. 填空题(1) 微分方程的通(2) 经过变换,可化为一阶微分方程二、求解下列微分方程的通解(1)解对原方程两端连续两次积分得(2)解令，则原方程化为由一阶线性方程的通解公式，得.从而有两端积分得到原微分方程的通解为(3)解令则，原方程化为则或者，由解得方程的一个解；由分离变量解得即方程的通解为 或.注：包括了时的解.三、求下列微分方程的通解(1)解令则原方程可化为由知，不是方程的解.因此，两端积分得，即有,由初始条件解得则， 解之得，由初
5、始条件，解得从而原方程的通解为(2)解令故，代入原方程化为两边积分得由初始条件解得,从而上式化简为两边积分得，由初始条件，可解得，因此，原方程的通解为第六节 高阶线性微分方程选择题(1). 若和是二阶齐次线性方程 的两个特解,则 (其中为任意常数) ( B )(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解 (C)是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解(2)设是方程 (*)的两个特解,则下列结论正确的是 ( D ) (A) 是(*)的解 (B) 是方程的解 (C) 是(*)的解 (D) 是方程的解(3).设是的解,伟任意常数，则该方程的通解为( D )(A) (B) (C) (D)(4) 下列函数
6、组线性无关的是( D )(A) (B) (C) (D) 第七节 常系数齐次线性微分方程1.填空题(1)设与是方程的两个解,则 (2)设与是一个四阶常系数微分方程的两个解，则这个微分方程的表达式为.2.求解下列微分方程(1) 解 原方程的特征方程为 ，特征根为 方程的通解为.(2)解 特征方程为 ，特征根为 ,方程的通解为.(3)解 特征方程为 ，特征根为,方程的通解为.第八节 常系数非齐次线性微分方程1.填空题微分方程的解可设为 。2.选择题(1)方程的一个特解形式是 ( ).(A) ； (B) ；(C) (D)(2)微分方程的特解形式为 ( D )(A) (B) (C) (D) 3.求解下列
7、微分方程(1)解：特征方程是特征根对应齐次方程的通解是：设原方程的特解为：，则，将其代入原方程待定系数得.所以 故原方程的通解为由解得 因此所求的特解是(2)求微分方程满足条件的特解.解：特征方程为：特征根为：对应齐次方程的通解是：设原方程的特解为：，将其代入原方程待定系数得.所以 故原方程的通解为由解得 因此所求的特解是.(3) 求解解：特征方程为：特征根为：对应齐次方程的通解是：设原方程的特解为：将其代入原方程得待定系数得，.所以 故原方程的通解是综合题1.填空题(1)连续函数满足,则的非积分表达式为 (2)函数的图形上的点的切线为,且满足微分方程则此函数为(3)微分方程满足的特解为(4)
8、微分方程的通解为2.选择题(1) 设是满足微分方程的解,并且,则( C ).(A) 在的某个领域内单调增加 (B)在的某个领域内单调减少(C) 在取得极小值 (D)在取得极大值(2)微分方程使且在原点处有拐点，且在该点以轴为切线的积分曲线为( A )(A) (B)(C) (D)3.求函数,使其满足解 对原方程两端关于求导得 由一阶线性微分方程的通解公式为，又 故所求函数为 .4.在过原点和点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴及曲线围成的图形的面积是另一条平行线与轴及曲线围成面积的两倍,求此曲线方程.解 设曲线方程为,在曲线上任取一点,则有.上式两端对求导得由此解出,由,解得故5.设具有二阶连续导数,并使曲线积分有路径无关,求解 记 ，由 ，得到微分方程 上方程为二阶非齐次常系数线性微分方程，对应齐方程的通解为设其特解为,代入上方程解得 则6.设具有二阶连续导数，而满足微分方程 ,求解 ，代入原方程，得 解得 7.设物体 从点出发，以速度大小为常数沿轴的正向运动,物体从点与同时出发,其速度大小为,方向始终指向,试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程.解 设在时刻，点位于点处，点的出发时间为由题意 ，从而 (*)另一方面，又 ，两边对求导得结合(*)式可得到所求的微分方程为 或者为，初始条件为